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高中数学扩展

补充章节 — 素数与模运算 — 逻辑

数学证明 — 集合论与无限过程 — 计数与生成函数 — 离散概率

矩阵 — 进阶模运算 — 数学规划 — 马尔科夫链

数学证明习题集

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1.

对于所有

{\begin{matrix}a&>&0\\n+a&>&n\\n&>&n-a\\{\sqrt {n}}&>&{\sqrt {n-a}}\\1&>&{\frac {\sqrt {n-a}}{\sqrt {n}}}\\{\frac {1}{\sqrt {n-a}}}&>&{\frac {1}{\sqrt {n}}}\end{matrix}}

因此

{\frac {1}{\sqrt {1}}}

,

{\frac {1}{\sqrt {2}}}

,

{\frac {1}{\sqrt {3}}}

...

>{\frac {1}{\sqrt {n}}}

当 a>b 且 c>d 时，a+c>b+d（另见找到更好的内容后替换它）。

因此我们有

{\frac {1}{\sqrt {1}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}......+{\frac {1}{\sqrt {n}}}>n\times {\frac {1}{\sqrt {n}}}

{\frac {1}{\sqrt {1}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}......+{\frac {1}{\sqrt {n}}}>{\frac {n}{\sqrt {n}}}\times {\frac {\sqrt {n}}{\sqrt {n}}}

{\frac {1}{\sqrt {1}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}......+{\frac {1}{\sqrt {n}}}>{\frac {n{\sqrt {n}}}{n}}

{\frac {1}{\sqrt {1}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}......+{\frac {1}{\sqrt {n}}}>{\sqrt {n}}

3.

让我们把命题叫做

{n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose n}=2^{n}

为 P(n)

假设对于某个 n 来说这是真的，那么

2\times \left\{{n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose 2}\right\}=2^{n+1}

\left\{{n \choose 0}+{n \choose n}\right\}+\left\{{n \choose 0}+2{n \choose 1}+2{n \choose 2}+...+2{n \choose n-1}+{n \choose n}\right\}=2^{n+1}

\left\{{n \choose 0}+{n \choose n}\right\}+\left\{{n \choose 0}+{n \choose 1}\right\}+\left\{{n \choose 1}+{n \choose 2}\right\}+\left\{{n \choose 2}+{n \choose 3}\right\}+...+\left\{{n \choose n-1}+{n \choose n}\right\}=2^{n+1}

现在使用该函数的恒等式：

{n \choose a}+{n \choose a+1}={n+1 \choose a+1}

（注意：如果在维基教科书中发现过这个，请在此处添加链接！），我们有

\left\{{n \choose 0}+{n \choose n}\right\}+{n+1 \choose 1}+{n+1 \choose 2}+{n+1 \choose 3}+...+{n+1 \choose n}=2^{n+1}

由于

{n \choose 0}={n \choose n}=1

对所有 n 成立，

{n+1 \choose 0}+{n+1 \choose n+1}+{n+1 \choose 1}+{n+1 \choose 2}+{n+1 \choose 3}+...+{n+1 \choose n}=2^{n+1}

{n+1 \choose 0}+{n+1 \choose 1}+{n+1 \choose 2}+{n+1 \choose 3}+...+{n+1 \choose n}+{n+1 \choose n+1}=2^{n+1}

因此，P(n) 意味着 P(n+1)，并且通过简单的代入，P(0) 为真。

因此，根据数学归纳法原理，P(n) 对所有 n 都成立。

另一种解法
注意：

(a+b)^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+\cdots +{n \choose n}b^{n}

令a = b = 1，我们得到

(1+1)^{n}=2^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n}

如所要求的。

5.

令

P(x)=x^{n}+y^{n}\,

是一个以 x 为变量，y 和 n 为常数的多项式。

{\begin{matrix}P(-y)&=&(-y)^{n}+y^{n}\\\ &=&-y^{n}+y^{n}({\mbox{When n is an odd integer}})\\\ &=&0\end{matrix}}

因此，根据因式定理（请在此处添加链接），(x-(-y))=(x+y) 是 P(x) 的一个因式。

由于另一个因式也是一个多项式，它对所有整数 x，y 和 n 都有整数值（我暂时跳过了确保所有系数都是整数值的步骤），因此现在很明显，

{\frac {x^{n}+y^{n}}{x+y}}

当 n 为奇数时，对所有整数 x，y 和 n 都是一个整数。

取自 "https://wikibooks.cn/wiki/High_School_Mathematics_Extensions/Mathematical_Proofs/Problem_Set/Solutions"

书籍：高中数学扩展

华夏公益教科书