高中数学扩展/数学证明/解答

高中数学扩展

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补充章节 — 素数与模算术 — 逻辑

数学证明 — 集合论与无限过程 — 计数与生成函数 — 离散概率

矩阵 — 扩展模算术 — 数学规划 — 马尔可夫链

数学证明

目前，主要精力集中在编写每个章节的主要内容上。因此，本练习解答部分可能已过时且看起来杂乱无章。

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数学归纳法练习

1.

证明 1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6

当 n=1 时，

左边 = 1² = 1

右边 = 1*2*3/6 = 6/6 = 1

因此，左边 = 右边。

因此，当 n=1 时，该公式成立。

假设对于某个正整数 k，该公式成立，

即 1² + 2² + ... + k² = k(k+1)(2k+1)/6

${\begin{matrix}1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}&=&{\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}\\1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}+(k+1)^{2}&=&{\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}\\\ &=&{\frac {1}{6}}(k+1)\left[k(2k+1)+6(k+1)\right]\\\ &=&{\frac {1}{6}}(k+1)\left[2k^{2}+7k+6\right]\\\ &=&{\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}\end{matrix}}$

因此，这对 k+1 也成立。

因此，根据数学归纳法的原理，这对于所有正整数 n 都成立。

2.

证明对于 n ≥ 1，

$(1+{\sqrt {5}})^{n}=x_{n}+y_{n}{\sqrt {5}}$

其中 x_n 和 y_n 是整数。

当 n=1 时，

$1+{\sqrt {5}}=x_{1}+y_{1}{\sqrt {5}}$

因此 x₁=1 且 y₁=1，两者均为整数。

因此，当 n=1 时，该公式成立。

假设对于某个正整数 k，该公式成立，

即 $(1+{\sqrt {5}})^{k}=x_{k}+y_{k}{\sqrt {5}}$ 其中 x_k 和 y_k 是整数。

${\begin{matrix}(1+{\sqrt {5}})^{k}&=&x_{k}+y_{k}{\sqrt {5}}\\(1+{\sqrt {5}})^{k+1}&=&(x_{k}+y_{k}{\sqrt {5}})(1+{\sqrt {5}})\\\ &=&x_{k}+y_{k}{\sqrt {5}}+x_{k}{\sqrt {5}}+5y_{k}\\\ &=&(x_{k}+5y_{k})+(x_{k}+y_{k}){\sqrt {5}}\end{matrix}}$

因为 x_k 和 y_k 都是整数，所以 x_k + 5y_k 和 x_k + y_k 也是整数。

因此，这对 k+1 也成立。

因此，根据数学归纳法的原理，这对于所有正整数 n 都成立。

3. （解法假设您了解二项式展开和求和符号）

注意

$\sum _{i=1}^{n}[i^{k}-(i-1)^{k}]=n^{k}$

证明对于所有整数m，存在一个关于

$\sum _{i=1}^{n}i^{m}$的显式公式。例如

$1^{3}+2^{3}+...+n^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

很明显，1¹ + 2¹ + ... = (n+1)n/2。所以当m=1时，命题成立。

假设

$\sum _{i=1}^{n}i^{j}$

对于所有j < k，都存在一个关于n的显式公式 (**) ，我们的目标是证明

$\sum _{i=1}^{n}i^{k}$

也存在一个显式公式。

从给定的性质开始，即

$\sum _{i=1}^{n}[i^{k+1}-(i-1)^{k+1}]=n^{k+1}$

$\sum _{i=1}^{n}[i^{k+1}-\sum _{j=0}^{k+1}{k+1 \choose j}i^{j}]=n^{k+1}$

$\sum _{i=1}^{n}[i^{k+1}-{k+1 \choose k+1}i^{k+1}-\sum _{j=0}^{k}{k+1 \choose j}i^{j}]=n^{k+1}$

$\sum _{i=1}^{n}[\sum _{j=0}^{k}{k+1 \choose j}i^{j}]=n^{k+1}$

$\sum _{j=0}^{k}[\sum _{i=1}^{n}{k+1 \choose j}i^{j}]=n^{k+1}$

$\sum _{j=0}^{k}[{k+1 \choose j}\sum _{i=1}^{n}i^{j}]=n^{k+1}$

由于我们知道小于k的任何次幂的幂和公式(**)，我们可以解上述方程并直接求出k次幂的公式。

因此，根据强数学归纳法的原理，该命题成立。

问题3的补充信息

问题3中用来求幂和一般公式的方法称为差分法，如我们所见，该方法考虑了所有相邻项之差的和。

除了上述方法（它给出了求一般公式的递归解）之外，还有其他方法，例如使用生成函数的方法。有关详细信息，请参阅生成函数项目页面中的最后一个问题。