高中数学扩展/补充/求和符号

高中数学扩展

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补充章节 — 素数与模运算 — 逻辑

数学证明 — 集合论与无限过程 — 计数与生成函数 — 离散概率

矩阵 — 更深入的模运算 — 数学规划 — 马尔可夫链

求和符号

补充章节
内容
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求和符号
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问题与项目
问题集
解决方案
练习答案
习题解答

我们通常用“+”号表示求和，但如果求和表达式很复杂很长，就会让人感到困惑。

例如：${\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}......+{\frac {1}{100\times 101}}$

写出以上表达式将是一项繁琐且混乱的工作！

为了更简洁和清晰地表示这类表达式，人们使用求和符号，即希腊字母大写“Σ”。在求和符号的右侧写出每个待求和项的表达式，并在求和符号的上方和下方分别写出变量的上限和下限。

示例 1：$\sum _{k=3}^{10}2k+1$
$=\ (2(3)+1)\ +\ (2(4)+1)\ +\ (2(5)+1)\ +......+\ (2(10)+1)$ $=\ 7\ +\ 9\ +\ 11\ +......+\ 21$

误解：从上面的例子可以看出，一个常见的误解是 Σ 符号上方的数字代表项数。这是错误的。 Σ 符号上方的数字是最后一次代入的数字。

这里需要说明求和下限可以取哪些值。

示例 2：${\frac {1}{4}}-{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{25}}......-{\frac {1}{9801}}+{\frac {1}{10000}}$
$={\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {1}{5^{2}}}......-{\frac {1}{99^{2}}}+{\frac {1}{100^{2}}}$
$=\sum _{k=2}^{100}(-1)^{k}{\frac {1}{k^{2}}}$

提示：如果项交替出现正负号，可以使用序列 $(-1)^{k}=-1,\ 1,\ -1,\ 1...$

练习

1. 使用求和符号表示第一个例子中的表达式。

将以下表达式转化为求和符号

1. $23\ +\ 24\ +\ 25\ +\ 26\ +......+\ 1927$
2. $13\ +\ 16\ +\ 19\ +\ 22\ +......+\ 301$
3. *$1\ -\ 2\ -\ 3\ +\ 4\ +\ 5\ -\ 6\ -\ 7\ +\ 8......+\ 400$(提示：重新排列项，或在表达式中获得多个项)
4. *$1000\ -\ {\frac {3}{1\times (1+3+5)}}\ -\ {\frac {5}{(1+3)\times (1+3+5+7)}}\ -\ {\frac {7}{(1+3+5)\times (1+3+5+7+9)}}......$(提示：您需要使用多个求和符号)

将以下求和符号改为普通形式

1. $\pi =4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$
2. $\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}$

(需要更多练习，特别是“阅读”求和符号并将其改回旧形式)

求和符号的运算

虽然大多数与求和相关的规则在普通系统中是有意义的，但在求和符号的这个新系统中，事情可能不像以前那样清晰，因此人们总结了一些与求和符号相关的规则（看看你能否识别出它们对应什么！）

• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\pm c\ =\ \pm (q-p+1)c\ +\ \sum _{i=p}^{q}A_{i}$
• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\pm B_{i}\ =\ \sum _{i=p}^{q}A_{i}\pm \sum _{i=p}^{q}B_{i}$
• $\sum _{i=p}^{q}cA_{i}\ =\ c\sum _{i=p}^{q}A_{i}$
• $\sum _{i=p}^{q}\left[\sum _{j=r}^{s}A_{ij}\right]\ =\ \sum _{j=r}^{s}\left[\sum _{i=p}^{q}A_{ij}\right]$

(注意：我建议为此获得一个视觉辅助工具：表明您可以沿任一方向对二维数组求和)

• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\ =\ \sum _{i=p-k}^{q-k}A_{i+k}$(索引替换)
• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\ =\ \sum _{i=p}^{r}A_{i}+\sum _{i=r+1}^{q}A_{i}\;,where\;p\leq r<q$(分解)
• $\left(\sum _{i=p}^{q}a_{i}\right)\times \left(\sum _{j=r}^{s}b_{j}\right)\ =\ \sum _{i=p}^{q}\sum _{j=r}^{s}a_{i}b_{j}$(因式分解/展开)

练习

(请在此处添加内容)

超越

"迭代是人的行为，递归是神圣的."

当人类重复求和时，他们决定使用一个更高级的概念，即乘积的概念。当然，每个人都知道我们使用$\times$。当我们重复乘积时，我们使用指数。回到主题，我们现在有了复杂求和的表示法。复杂乘积呢？事实上，也有乘积的表示法。我们使用大写的希腊字母“pi”来表示乘积，基本上其他一切都与求和符号相同，除了项不求和，而是相乘。
例如：$\prod _{h=2}^{5}2h-3$ = $[(2\times 2)-3]\times [(2\times 3)-3]\times [(2\times 4)-3]\times [(2\times 5)-3]$

练习

1. 已知阶乘由以下递推公式定义：
$0!\ =\ 1$
$n!\ \times \ (n+1)\ =\ (n+1)!$

现在尝试用乘积符号来定义它。