高中数学扩展/补充/复数/解答

高中数学扩展

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补充章节 — 素数和模算术 — 逻辑

数学证明 — 集合论和无限过程 — 计数与生成函数 — 离散概率

矩阵 — 进一步的模算术 — 数学规划 — 马尔可夫链

虚数单位

1. 计算 $i^{25}=i$
2. 计算 $i^{100}=1$
3. 计算 $i^{1000}=1$

的模式 $i^{1},i^{2},i^{3},...$ 表明 $i^{4n}=1$ 其中 n 是任何整数。这种情况适用于问题 2 和 3。对于问题 1，$i^{25}=i^{24}\times i^{1}=i$.

复数作为二次方程的解

1. 说服自己 x = 3 - 2i 也是该方程的解。

${\begin{matrix}x&=&3-2i&\\x^{2}&=&(3)^{2}+2(3)(-2i)+(-2i)^{2}\\&=&5-12i\\x^{2}-6x+13&=&5-12i-6(3-2i)+13\\&=&0\\\end{matrix}}$

1. 在 XY 平面中绘制点 A(3, 2) 和 B(3, -2)。绘制一条线，将每个点与原点连接起来。
2. 计算 AO 的长度（点 A 到原点的距离）和 BO 的长度。分别用 $r_{1}\ {\mbox{and}}\ r_{2}$ 表示。你观察到了什么？
   • $r_{1}={\sqrt {3^{2}+2^{2}}}={\sqrt {13}}$
   • $r_{2}={\sqrt {3^{2}+(-2)^{2}}}={\sqrt {13}}$
   • $r_{1}\ {\mbox{and}}\ r_{2}$ 相同
3. 计算每条线与 x 轴之间的角度，分别用 $\phi _{1}\ {\mbox{and}}\ \phi _{2}$ 表示。你观察到了什么？
   • $\phi _{1}=\tan ^{-1}(3/2)\approx 56$
   • $\phi _{2}=\tan ^{-1}(3/-2)\approx -56$
   • $\phi _{1}\ {\mbox{and}}\ \phi _{2}$ 仅在数字的符号上有所不同
4. 考虑复数

${\begin{matrix}z&=&r_{1}\cdot (\cos {\phi _{1}}+i\sin {\phi _{1}})\\w&=&r_{2}\cdot (\cos {\phi _{2}}+i\sin {\phi _{2}})\\\end{matrix}}$

使用你在练习 3 和 4 中计算出的值，将 z 和 w 代入上面的二次方程。你观察到了什么？你能得出什么结论？

${\begin{matrix}z&=&{\sqrt {13}}\cdot (\cos {\tan ^{-1}(3/2)}+i\sin {\tan ^{-1}(3/2)})&=&2+3i\\w&=&{\sqrt {13}}\cdot (\cos {\tan ^{-1}(3/-2)}+i\sin {\tan ^{-1}(3/-2)})&=&2-3i\\\end{matrix}}$

因此，由于 z 和 w 等于我们在解方程时找到的解，所以二次方程将等于 0。

加法和乘法

${\begin{matrix}x&=&3-2i\\y&=&3+2i\end{matrix}}$

计算

1. x + y
   • (3 - 2i) + (3 + 2i) = 6
2. x - y
   • 3 - 2i - (3 + 2i) = -4i
3. x²
   • (3 - 2i)(3 - 2i) = 9 + (2)(3)(-2i) + 4i² = 5 - 12 i
4. y²
   • (3 + 2i)(3 + 2i) = 9 + (2)(3)(2i) + 4i² = 5 + 12 i
5. xy
   • (3 - 2i)(3 + 2i) = 9 + 6 i - 6i - 4i² = 13
6. (x + y)(x - y)
   • ((3 - 2i) + (3 + 2i))((3 - 2i) - (3 + 2i)) = (6)(-4i) = -24i

除法 证明 zw 的乘积始终是实数。 $zw=(a+bi)(a-bi)=a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}=a^{2}-b$

共轭复数 证明乘法法则同样成立。

${\begin{matrix}z&=&a+bi\\w&=&c-di\\\\x&=&z\times w\\&=&(a+bi)(c-di)&=&ac+bci-adi-bdi^{2}&=&ac-bd+(bc-ad)i\\{\bar {x}}&=&ac-bd-(bc-ad)i\\\\{\bar {z}}\times {\bar {w}}&=&(a-bi)(c+di)\\&=&ac-bic+adi-bdi^{2}\\&=&ac-bd-(bc+ad)i\\&=&{\bar {x}}\end{matrix}}$

复数根

1. 求 (3 + 3i)^1/2

${\begin{matrix}z&=&3+3i\\w&=&{\sqrt {z}}\\w^{2}&=&z\\w&=&a+ib\\w^{2}&=&a^{2}-b^{2}+2abi\\\\3&=&a^{2}-b^{2}&{\mbox{(1)}}&\\3&=&2ab&{\mbox{(2)}}&\\\\a&=&{\frac {3}{2b}}\\\\3&=&({\frac {3}{2b}})^{2}-b^{2}\\&=&{\frac {9}{4b^{2}}}-b^{2}\\0&=&{\frac {9}{4b^{2}}}-3-b^{2}\\&=&{\frac {9}{4}}-3b^{2}-b^{4}\\\\c&=&b^{2}\\0&=&{\frac {9}{4}}-3c-c^{2}\\c&=&{\frac {--3\pm {\sqrt {(-3)^{2}-4\times {\frac {9}{4}}\times -1}}}{2\times -1}}\\&=&{\frac {-3\pm {\sqrt {18}}}{2}}\\b^{2}&=&{\frac {-3\pm {\sqrt {18}}}{2}}\\b&=&{\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {18}}}{2}}}\\&=&{\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {18}}}{2}}}\\&=&{\sqrt {\frac {-3+3{\sqrt {2}}}{2}}}\\&=&{\sqrt {\frac {3({\sqrt {2}}-1)}{2}}}\\&=&{\sqrt {\frac {3}{2}}}{\sqrt {({\sqrt {2}}-1)}}\\&=&{\frac {\sqrt {6}}{2}}{\sqrt {({\sqrt {2}}-1)}}\\&=&{\frac {\sqrt {6({\sqrt {2}}-1)}}{2}}\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}3&=&2ab\\a&=&{\frac {3}{2b}}\\&=&{\frac {3}{2{\frac {\sqrt {6({\sqrt {2}}-1)}}{2}}}}\\&=&{\frac {3}{\sqrt {6}}}\times {\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}\\&=&{\frac {\sqrt {6}}{2}}\times {\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}\\&=&{\frac {\sqrt {6}}{2}}\times {\frac {\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}{{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\times {\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}}\\&=&{\frac {\sqrt {6}}{2}}\times {\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}\\&=&{\frac {\sqrt {6({\sqrt {2}}+1)}}{2}}\end{matrix}}$

因此，(3 + 3i)^1/2 的解是

${\sqrt {3+3i}}=\pm ({\frac {\sqrt {6({\sqrt {2}}+1)}}{2}}+{\frac {\sqrt {6({\sqrt {2}}-1)}}{2}}\times i)$

2. 求解 (1 + 1i)^1/2

${\begin{matrix}z&=&1+1i\\w&=&{\sqrt {z}}\\w^{2}&=&z\\w&=&a+ib\\w^{2}&=&a^{2}-b^{2}+2abi\\\\1&=&a^{2}-b^{2}&{\mbox{(1)}}&\\1&=&2ab&{\mbox{(2)}}&\\\\a&=&{\frac {1}{2b}}\\\\1&=&({\frac {1}{2b}})^{2}-b^{2}\\&=&{\frac {1}{4b^{2}}}-b^{2}\\0&=&{\frac {1}{4b^{2}}}-1-b^{2}\\&=&{\frac {1}{4}}-b^{2}-b^{4}\\\\c&=&b^{2}\\0&=&{\frac {1}{4}}-1c-c^{2}\\c&=&{\frac {--1\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\times {\frac {1}{4}}\times -1}}}{2\times -1}}\\&=&{\frac {-1\pm {\sqrt {2}}}{2}}\\b^{2}&=&{\frac {-1\pm {\sqrt {2}}}{2}}\\b&=&{\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {2}}}{2}}}\\&=&{\frac {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\sqrt {2}}}\\&=&{\frac {{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\times {\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}}}\\&=&{\frac {\sqrt {2({\sqrt {2}}-1)}}{2}}\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}1&=&2ab\\a&=&{\frac {1}{2b}}\\&=&{\frac {1}{2{\frac {\sqrt {2({\sqrt {2}}-1)}}{2}}}}\\&=&{\frac {1}{\sqrt {2({\sqrt {2}}-1)}}}\\&=&{\frac {\sqrt {2({\sqrt {2}}+1)}}{{\sqrt {2({\sqrt {2}}-1)}}\times {\sqrt {2({\sqrt {2}}+1)}}}}\\&=&{\frac {\sqrt {2({\sqrt {2}}+1)}}{1}}\\\end{matrix}}$

因此 (1 + 1i)^1/2 的解是

${\sqrt {1+1i}}=\pm ({\frac {\sqrt {2({\sqrt {2}}+1)}}{2}}+{\frac {\sqrt {2({\sqrt {2}}-1)}}{2}}\times i)$

3. 求 i^1/3

${\begin{matrix}z&=&i\\w&=&z^{1/3}w^{3}&=&z\\\\w&=&(a+ib)\\w^{3}&=&(a^{2}-b^{2}+2abi)\times (a+ib)\\z&=&(a^{3}-3ab^{2})+i(3a^{2}b-b^{3})\\\\0&=&a^{3}-3ab^{2}\qquad (1)\\1&=&3a^{2}b-b^{3}\qquad (2)\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}0&=&a^{3}-3ab^{2}\\a^{3}&=&3ab^{2}\\a^{2}&=&3b^{2}\\\\1&=&3a^{2}b-b^{3}\\1&=&3(3b^{2})b-b^{3}\\1&=&9b^{3}-b^{3}\\1&=&8b^{3}\\{\frac {1}{8}}&=&b^{3}\\b&=&{\sqrt[{3}]{\frac {1}{8}}}\\&=&{\frac {1}{2}}\\\\a^{2}&=&3b^{2}\\&=&3({\frac {1}{2}})^{2}\\&=&{\frac {3}{4}}\\a&=&{\sqrt {\frac {3}{4}}}\\&=&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\end{matrix}}$

因此，i^1/3 的解为

${\sqrt[{3}]{i}}=\pm ({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\times i)$

进制

1. 以下数字以 2 进制表示。请将它们写成 10 进制。
   1. 101011 (2 进制) = 43 (10 进制) = 2⁵ + 2³ + 2¹ + 2⁰= 32+8+2+1
   2. 001101 = 13
   3. 10 = 2
   4. 011 = 3
2. 假设这些数字最初是以 5 进制表示，请将它们写成 10 进制。
   1. 101011 (5 进制) = 3256 (10 进制) = 5⁵ + 5³ + 5¹ + 5⁰ = 3125+125+5+1
   2. 001101 = 151
   3. 10 = 5
   4. 011 = 6
3. 使用 5 进制的前四列，我可以用多少种数字？
   

答案：625 = 5⁴ (每增加一列，可能的数字数量就会乘以 5)

1. 在计算中，每个 1 或 0 被称为一个“位”。它们以 8 位一组的形式存储，每组称为一个“字节”。有多少种可能的字节？
   

答案：256 = 2⁸ (从 00000000 到 11111111 的二进制值，或从 0 到 255 的十进制值)

1. 问题：直接编辑字节时，写 10110001 太长了，所以用十六进制表示（在本例中为 B1）。需要多少位十六进制才能覆盖所有可能的字节？
   

答案：2 位（16² = 2 位十六进制数的可能数量 = 256 = 字节的可能数量）