实分析/抽象代数基础

在实数部分，许多在初等数学中熟悉的数字类型（例如整数或有理数）通常用某些性质来描述，例如服从交换律或结合律。这些性质通常在实分析中被描述为，并且不会被进一步提及，因为这些主题通常会超出实分析的范围。因此，此页面完全可选，适用于只学习实分析的人。然而，这些术语是更广泛的数学领域的基础，这些领域可能对您的数学旅程有兴趣。因此，本节将说明抽象代数中讨论的代数结构类型的基本知识，以及它们在初等数学中熟悉的数字集中是如何应用的。

请注意，以下页面可能不严谨，也可能存在符号滥用！ 这只是为了提供一个主题的入门。对于那些希望了解更多关于抽象代数的人，以下链接w:抽象代数将带您到维基百科页面，并且维基教科书抽象代数将更详细地讨论该主题。

定义

抽象代数可以被认为是研究代数运算的数学领域，就像分析可以被认为是研究极限的领域一样。同样，抽象代数可以被认为是对代数结构中代数性质之间关系的研究，而分析可以被认为是对通过引入极限而依次推导出来的以下概念的研究。因此，抽象代数的基本构建块是以下内容

代数结构的概念

一个集合

A

和一些运算

\ast

，满足所有元素

a

在

A

中的某些公理性质。

运算是一个或多个输入被“转移”到某个输出的符号。类似于极限计算某些值，以及导数和积分将方程转换为其他方程一样，运算将输入转换为其他输出。抽象代数试图像我们在分析中使用变量来代替值一样，在一般意义上为某些类型的运算“转换”创建定理。

在实分析中，通常使用以下集合

自然数 $\mathbb {N}$
整数 $\mathbb {Z}$
有理数 $\mathbb {Q}$
实数 $\mathbb {R}$

以及通常给定它们以下运算

加法 $+$
减法 $-$
乘法 $\times$ 或 $\cdot$ 或变量之间没有空格
除法 $\div$ 或 $^{-1}$ 或有理函数表示法
指数运算 $a^{x}$

它们的不同计算方法，要么在其各自的部分中定义，要么假定是通过初等数学已知的。

人们可能会注意到，本维基教科书的第一部分本质上是将这些集合、运算以及运算的性质和功能作为公理化的真理来定义，以便迅速过渡到数学分析领域。这是开始高等数学的通常要求，以便为微积分、多项式和其他类似概念提供严谨性，而这些概念通常被人们谈论数学时所归因于数学对象。但是，本节将绕过这一点，并更深入地讨论这些运算。

符号

抽象代数使用常见的符号形式，在整个数学中相对统一。然而，其符号中最显著的方面是它对运算符变量的使用，这些变量通常用 $\ast$ 、 $\bullet$ 或 $\star$ 来表示。在通常的说法中，运算指的是完整的定义；运算符 指的是用来表示运算的符号；操作数 （也称为输入）指的是运算符将对其进行操作的变量；而元数指的是运算符中使用的操作数的个数。

简洁地用数学符号写出来，运算 $\ast$ 写作

\ast :A\times B\times \cdots \times Z\rightarrow Y

其中集合 $A,B,\cdots ,Z$ 表示运算符操作的集合—— $\times$ 是用来分离每个操作数的符号，而集合 $Y$ 表示陪域（也称为值域）。仔细观察符号，就会发现运算符的符号模仿了函数的定义。这不是偶然的；运算符被定义为函数。

与函数一样，集合之间的某些关系定义了运算符的特殊性质。我们将在后面的 #代数结构中详细介绍其中许多性质。但是，有两点很重要，需要定义在高等数学中经常看到的简写版本。首先，我们将定义两个术语。

封闭的定义

如果运算符

\ast

的定义中的所有集合都相等，那么该运算符就是封闭的。这被描述为

\ast :A\times \cdots \times A\rightarrow A

。

这通常写为 "在 X 下封闭"，其中 X 是运算符的名称。

二元运算符 的定义

一个运算符

\ast

接受两个操作数。这被描述为

\ast :A\times B\rightarrow Y

由于许多常见的运算符（以及实分析中几乎所有考察的运算符）都是二元且封闭的，因此对于这类运算符存在一种特殊的记法。对于任何给定的集合 $A$ 和运算符 $\ast$ ，该运算符作用于集合 $A$ 中的元素，并且也是二元且封闭的，则使用以下记法

(A,\ast )

几乎所有传统的运算符都是中缀；书写运算的方式是在操作数之间插入运算符。这记作 $a\bullet b$ ，其中 $A$ 是运算符 $\ast$ 和元素 $a,b\in A$ 兼容的某个集合。然而，其他记法包括前缀，当运算符正式地写在其操作数前面时，记作 $\ast (a,b)$ ，以及后缀，当运算符正式地写在其操作数后面时，记作 $(a,b)\ast$ 。前缀和后缀通常用于一元运算（只接受一个操作数的运算），并且它的括号通常会被省略。

性质

实分析中描述的代数结构通常使用以下数学性质。它们的包含或排除是区分不同代数结构的重要组成部分。一个非穷举的列表包括

交换性质：输入的位置是否影响输出
结合性质：重复运算的求值顺序是否影响输出
分配性质：先求另一个运算的操作数是否影响输出
逆元：对于任何给定的输入，是否存在一个操作数，使得输出为单位元
单位元：是否存在一个操作数，使得输出为输入

其他重要的性质是上述性质是左边的还是右边的；该性质是否仅在二元操作数在左边或右边时才会表现出来。

在包含了这些性质之后，需要注意的是，某些运算符通常用来暗示某种代数性质。常见的符号是 $+$ 和 $\times$ ，它们的使用方式与变量 $x$ 、 $y$ 和 $a$ 非常相似，用来暗示性质。总结一下，符号 $+$ 和 $\times$ 通常暗示分别在加法和乘法中表达的性质，而最主要的通常暗示的性质是分配性质，其中符号的作用与它们在算术中通常的作用相同。

数的代数结构

请注意，以下代数结构仅在与本维基教科书中提到的数字集相关的情况下才会提及。更详尽的列表可以在页面 w:Category:Algebraic structures 中找到，更规范的列表可以在页面 w:Algebraic structure 中找到。

使用抽象代数，在初等数学中对各种类型的数字及其运算符进行的代数运算成为了抽象代数概念的具体例子，例如多项式是函数的具体例子。这使得将代数定理，例如两个二项式的乘法，转化为对任何具有特定属性运算符的变量系统有效的广义定理变得非常容易。

为了枚举以下数字集，我们可以用适合抽象代数的方式对它们进行分类。

自然数

自然数 $\mathbb {N}$ （包括零）是

关于等式的自反的、对称的和传递的
关于不等式的传递的

因此