材料强度/最弱环节确定：基于三参数威布尔统计

材料强度

工程力学中的材料强度

简介 | 介绍性概念 | 梁的加载 | 扭转 | 应力状态 | 最弱环节确定：基于三参数威布尔统计

下一节 →  

当材料的某个特定属性的测量数据显示出很大的离散性时（例如，脆性材料的强度测量结果，或像参考文献 [1] 中所列的厚度变化很大的螺纹），可以通过基于三参数 威布尔 统计 来分析测量数据，从而获得该属性的特征值或最弱环节。

简介

当材料需要进行强度确定时，一系列强度测量将显示出离散性。当离散性与系列的平均值相比很低时，可以定义一个最小强度值 $f_{min}$ 为

(1) $f_{min}=f_{a}-u.s$

其中 $f_{a}$ 是平均强度，$s$ 是测量系列的标准差，$u$ 是与不失效概率相关的系数（例如，与 0.0001 的失效概率相关）。

然而，许多材料，例如厚度变化很大的螺纹、退火玻璃等脆性材料，将显示出与系列平均值相比很大的离散性，甚至非常大的离散性。甚至一系列测量平均值的离散性也可能与总体平均值相比表现出如此重要的离散性，以至于使用表达式 (1) 会导致毫无意义的最小强度。

在这些情况下，强度测量系列可以用 双参数威布尔分布 来描述，这意味着最小值趋近于零，或者

(2) $F(f;\alpha ,\beta )=1-\exp \left[-\left({\frac {f}{\beta }}\right)^{\alpha }\right]$

其中 $F$ 是失效的累积概率，$f$ 是测量的强度值，$\alpha$ 是第一个参数或形状参数，$\beta$ 是第二个参数或尺度参数。

适用的最小强度值 $f_{min}$ 可以通过以下表达式确定

(3) $f_{min}=\beta \left[\ln {\frac {1}{1-F}}\right]^{\frac {1}{\alpha }}$

其中累积概率 $F$ 失败的数值很低，例如 0.0001。

当强度测量的离散性非常重要，或者最小强度值肯定大于零时，直接应用双参数威布尔分布没有意义，应该用更复杂的方法替换，从而使用三参数威布尔分布，表示为

(4) $F(f;\alpha ,\beta )=1-\exp \left[-\left({\frac {f-\gamma }{\beta }}\right)^{\alpha }\right]$

其中 $\gamma$ 是第三个参数，即强度的最小值。换句话说，就是最薄弱的环节。

还应考虑到，参数应被视为随机变量的分布 ${\mathcal {D}}$，具有平均值和方差

(5) 第一个参数，即形状参数： $\alpha ={\mathcal {D}}(\alpha _{m},Var_{\alpha })$

(6) 第二个参数，即尺度参数： $\beta ={\mathcal {D}}(\beta _{m},Var_{\beta })$

(7) 第三个参数，即位置参数： $\gamma ={\mathcal {D}}(\gamma _{m},Var_{\gamma })$

量化方法

为了量化三个参数，特别是第三个参数，即最薄弱的环节，应该提供大量的分组数据。这些数据系列必须从从批次中抽取的测量样本中获得，其中每个批次应该被认为或多或少是均匀的。然后，参数的估计可以遵循以下迭代过程

步骤 i: 使用三参数威布尔分布，但将第三个参数 $\gamma _{min}=0$。通过最佳拟合方法将每个数据系列放入该分布中。这将为每个系列提供参数 $\alpha$ 和 $\beta$。有关最佳拟合方法，请参见参考文献 [2]，以及维基百科条目 "威布尔模量"。

步骤 ii： 对于参数 $\alpha$ 和 $\beta$，计算一个特定的值和范围，例如平均值 $f_{a}$ 和范围 $R_{p2-p1}=f_{p2}-f_{p1}$，可能分别为 $p1=0.05$ 和 $p2=0.95$。

步骤 iii： 将所有特定范围/特定值对，例如 $R_{p2-p1}$/$f_{a}$，放置在笛卡尔坐标系中，横坐标为特定范围，纵坐标为特定值。结果应该是一个指向纵坐标的拉伸云。

步骤 iv： 计算趋势或回归线，并计算特定范围等于零时的特定值。得到的值 $f_{a,R=0}$，也是第三个参数的平均值 $\gamma _{a,R=0}$。

步骤 v： 计算残差标准差 $s_{r}$ 的最佳估计，用于估计第三个参数的较低值，即实际最薄弱环节 $\gamma _{min}$，表达式如下

(8) $s_{r}={\sqrt {K_{f}{\frac {1-r^{2}}{n-2}}}}$ 和 (9) $K_{f}=\sum _{i=1}^{n}f_{a}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}f_{a}\right)^{2}$

其中 $K_{f}$ 是平均值 $f_{a}$ 的平方和，$n$ 是对数，$r$ 是相关系数。

步骤 vi：通过以下公式计算第三个参数的较低值

(10) $\gamma _{min}=\gamma _{a,R=0}-u.s_{r}$

其中 $u$ 是正态分布的偏心率，例如 $u=1.64$ 对应于 0.05 的概率。

步骤 vii：将步骤 i中使用的第三个参数替换为步骤 vi中估计的 $\gamma _{min}$ 值。重复步骤 i到步骤 vii，直到最后一次计算值和倒数第二次计算值之间的差值足够小。

表示条件

为了选择整个或多或少不均匀总体中最具代表性的强度测量系列数量，但确保在每个批次中具有最具代表性的均匀测量件数量，应考虑一些条件。

a) 系列数量应代表所关注材料生产的足够时间间隔。最多包含五个系列的总体肯定太小，六到十个系列的总体可能会导致可疑的结果。

b) 建议每个系列的测量件数量至少为 10 件。一个系列的试件应从一个批次中随机选择，该批次在可被认为尽可能均匀的生产间隔内制造。

c) 每个系列的测量件应为一种尺寸：不同系列的测量件应尺寸不同。

可能的最小测量系列数量示例

线材：例如，从四个生产间隔或批次中的每一个，分布在为期一个月的生产期间内，其中每条线材的生产尽可能均匀，第一个拉伸测量系列应包含长度为 $l$ 的测量件，第二个系列应包含 3 倍 $l$ 的测量件，第三个系列应包含 10 倍 $l$ 的测量件。因此，总共 12 个拉伸测量件系列。

退火平板玻璃：例如，从四个生产间隔或批次中的每一个，分布在为期数月的生产期间内，其中每块退火平板玻璃的生产尽可能均匀（例如，系列可以从一块非常大的玻璃板上取样），第一个系列应包含表面积为 $A_{1}$ 的测量件，第二个系列应包含表面积为 $A_{2}$ 的测量件，第三个系列应包含表面积为 $A_{3}$ 的测量件。有关各种表面的信息，请参阅国际标准系列 CEN ISO 1288（参考文献 [3]）。因此，总共 12 个系列。

计算机生成的示例

图 1

下面给出了一个使用计算机生成数据的示例。

测量件:

- 4 个批次，每个批次包含 3348 个强度值；

- 每个批次提供 3 个测量件系列，其中测量件分别包含 121、25 或 9 个强度值，分别对应于第一个、第二个和第三个系列；

- 每个系列包含 12 个测量件；

- 总共 4 x 3 x 12 = 144 个测量件；

- 强度值 $f_{i}$ 是根据以下表达式随机分布的

(11) $f_{i}=20+4\mu _{0}+\left[\left(40+40\mu _{0}\right)\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)\right]$

其中 $\mu _{0}$ 是一个与批次相关的随机变量，其值在 0 到 1 之间，而 $\mu _{1}$ 和 $\mu _{2}$ 是与任何应力数相关的随机变量，其值也在 0 到 1 之间；

第三参数估计:

步骤 i 到 步骤 vii 已经执行了两次。结果以图形方式显示在图 1 中。通过重复整个过程 20 次，研究了该方法的稳定性。平均最小第三参数值为 $\gamma _{min}$ 为 16.2，标准差为 $s_{\gamma _{min}}$=2.2。

背景

符号

$f$ = 发生，例如断裂应力

$m$ = 表示平均值的下标

$A$ = 维度，例如长度、表面积等

$F$ = 发生发生的概率

$K$ = 影响发生的最负面的不规则强度

$R$ = 范围，或两个发生之间的差值

$Var$ = 一系列值内的方差

$\alpha$ = 威布尔分布的第一个参数

$\beta$ = 威布尔分布的第二个或尺度参数

$\gamma$ = 威布尔分布的第三个参数

参数受随机变化影响的威布尔分布

以下部分提供了从“引言”中的表达式到“量化方法”中的步骤 v 和 步骤 vi 中的表达式的发展信息。

从表达式 (4) 可以看出，对应于特定发生概率 *F* 的应力 $f_{F}$ 为

(i) $f_{F}=\gamma +\beta \left(\ln {\frac {1}{1-F}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$

从表达式 (i) 和表达式 (5) 到 (7) 可以得出结论

首先 具有确定发生概率的应力的方差为

(ii) $Var_{F}=Var_{\gamma }+Var_{\beta +\alpha }$ 其中 + 表示“合并”。

当概率 $F$ 以 $\ln {\frac {1}{1-F}}=1$ 的方式选择时，表达式 (i) 将简化为

(iii) $f_{F}=\gamma +\beta$ 可以详细说明为

(iv.a) 平均值 $f_{F;m}=\gamma _{m}+\beta _{m}$ 和

(iv.b) 方差 $Var_{F}=Var_{\gamma }+Var_{\beta }$

其次 具有确定概率 $F$ 发生的应力值 $f_{F}$ 随第二个参数 $\beta$ 的值线性变化。当 $\beta$ 的值可以减小到零时，剩余的表达式将为

(v) $f_{F}=\gamma$ 可以详细说明为

(vi.a) 平均值 $f_{F;m}=\gamma _{m}$ 和

(vi.b) 方差 $Var_{F}=Var_{\gamma }$

第二个或尺度参数 $\beta$ 的属性

对于像线材这样非均匀物体或像退火玻璃这样的脆性材料，物体在应力作用下的失效取决于物体的大小$A$以及从失效开始的物体内部或表面不规则的强度$K$。例如，对于线材，尺寸由长度表征，不规则的强度由厚度变化等表征。对于退火玻璃，尺寸由物体表面表征，不规则的强度由表面缺陷的存在和深度表征。

这种依赖关系可以表示为

(vii) ${\frac {\beta _{A_{1}}}{\beta _{A_{2}}}}=K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}$

因此，表达式（6）可以更详细地表示为

(viii) $\beta _{A_{1}}={\mathcal {D}}\left[K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}\beta _{A_{2;m}},K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}Var_{A_{2;m}}\right]=K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}{\mathcal {D}}\left(\beta _{A_{2;m}},Var_{A_{2;m}}\right)$

这个表达式表明，当大小$A_{1}$趋近于无穷大，或者不规则性使得$K$趋近于零时，第二个参数$\beta$的值趋近于零。

第二个参数$\beta$归零

对于某个测量系列，以概率$F_{1}$发生的事件$f_{F_{1}}$，以及以概率$F_{2}$发生的事件$f_{F_{2}}$是

(ix) $f_{F_{1}}=\gamma +\beta \left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$ 和

(x) $f_{F_{2}}=\gamma +\beta \left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$

当指出特定测量系列的范围 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 为

(xi) $R_{F_{1}-F_{2}}=f_{F_{1}}-f_{F_{2}}=\beta \left[\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}\right]$

那么第二个参数 $\beta$ 可以表示为

(xii) $\beta ={\frac {R_{F_{1}-F_{2}}}{\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

用表达式 (xii) 代替表达式 (ix) 中的 $\beta$，结果是

(xiii) $f_{F_{1}}=\gamma +{\frac {R_{\left(F_{1}-F_{2}\right)}\ln \left({\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}{\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

此外，考虑到$\beta$ 的可变性，并使用表达式 (viii)，可以得出结论，出现 $f$ 的概率为 $F_{1}$。

(xiv) $f_{F_{1}}=\gamma +K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}{\frac {R_{\left(F_{1}-F_{2}\right)}\ln \left({\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}{\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

这意味着当尺寸$A_{1}$ 变为无穷大时，或者当不规则性的强度非常大以至于$K$ 趋近于零时，出现等于第三个参数的值，即

(xv) $f_{F_{1}}=\gamma$

具体来说，

(xvi.a) 平均值：$f_{F_{1;m}}=\gamma _{m}$

(xvi.b) 和方差：$Var_{F_{1}}=Var_{\gamma }$

结论

基于 (xiii)，测量值对 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 和 $f_{F_{1}}$ 可以放置在笛卡尔坐标系中，这应该会给出一个点散布图，其中散布图由 $\alpha$，$\beta$ 和 $\gamma$ 的分布决定。当每个测量系列的样品在尺寸上没有差异，或者当这些系列来自在不规则强度上没有显著差异的批次时，散点将是一个不确定的点云。无法得出任何结论。另一方面，当这些差异被尊重时，散点图允许绘制 $f_{F_{1}}$ 作为范围 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 函数的回归线，以及在范围 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 等于零的地方，应用表达式 (xv)，从而实现上述的量化方法。

参考文献

[1] 材料强度/未分类主题

[2] 典型玻璃类型弯曲强度 - Jacob Zwart - 国际玻璃评论，平板玻璃，第 3 期，1999 年。

[3] 欧洲和国际标准系列 EN ISO 1288：建筑物中的玻璃 - 玻璃弯曲强度的测定