高中数学扩展/素数/习题集

高中数学扩展

习题集

1. 是否存在一个规则来确定一个三位数是否能被 11 整除？如果有，请推导出该规则。

2. 证明如果 p 是一个大于 3 的整数，则 p、p + 2 和 p + 4 不会全部是素数。

3. 求解 x

{\begin{matrix}x\equiv 1^{7}+2^{7}+3^{7}+4^{7}+5^{7}+6^{7}+7^{7}\ {\pmod {7}}\\\end{matrix}}

4. 证明不存在整数 x 和 y 使得

x^{2}-5y^{2}=3\!

5. 在模运算中，如果

x^{2}\equiv y{\pmod {m}}\!

对于某些 m，则可以写成

x\equiv {\sqrt {y}}{\pmod {m}}

我们称 x 为 y 模 m 的平方根。

注意，如果 x 满足 x² ≡ y，则 m - x ≡ -x 的平方也与 y 同余。我们认为 x 和 -x 都是 y 的平方根。

设 p 为素数。证明

(a)

(p-1)!\equiv -1\ {\mbox{(mod p)}}

其中

n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n

例如 3! = 1*2*3 = 6

(b)

因此，证明

{\sqrt {-1}}\equiv {\frac {p-1}{2}}!{\pmod {p}}

对于 p ≡ 1 (mod 4)，即证明上面的平方等于 1。