高中数学拓展/素数/项目/ -1 的平方根

高中数学拓展

项目 -- -1 的平方根

记号：在模算术中，如果

x^{2}\equiv y{\pmod {m}}\!

对于某些 m，那么我们可以写

x\equiv {\sqrt {y}}{\pmod {m}}

我们说，x 是 y 模 m 的平方根。

注意，如果 x 满足 x² ≡ y，那么 m - x ≡ -x 的平方也等价于 y。我们认为 x 和 -x 都是 y 的平方根。

1. 习题集中的第 5 题表明

x\equiv {\sqrt {-1}}\equiv {\sqrt {p-1}}{\pmod {p}}

存在于 p ≡ 1 (mod 4) 的素数中。解释为什么如果 p ≡ 3 (mod 4) 是素数，则不存在 -1 的平方根。

2. 证明对于 p ≡ 1 (mod 4) 的素数，方程

x\equiv {\sqrt {-1}}{\pmod {p}}

恰好有两个解。

3. 假设 m 和 n 是整数，且 gcd(n,m) = 1。证明对于每个数字 0, 1, 2, 3, .... , nm - 1，都存在唯一的一对数字 a 和 b，使得满足以下条件的最小数字 x

x ≡ a (mod m)

x ≡ b (mod n)

就是那个数字。例如，假设 m = 2，n = 3，则 4 由以下条件唯一表示

x ≡ 0 (mod 2)

x ≡ 1 (mod 3)

因为满足上述两个同余式的最小 x 是 4。在这种情况下，唯一的数字对是 0 和 1。

4. 如果 p \equiv 1 (mod 4) 是素数， q \equiv 3 (mod 4) 是素数。那么

$x\equiv {\sqrt {-1}}{\pmod {pq}}$ $x\equiv {\sqrt {-1}}{\pmod {pq}}$

是否有解？为什么？

4. 如果 p \equiv 1 (mod 4) 是素数， q \equiv 3 (mod 4) 是素数。那么

5. 如果 p ≡ 1 (mod 4) 是素数，q ≡ 1 (mod 4) 是素数，且 p ≠ q。证明

有 4 个解。

6. 求解

$x\equiv {\sqrt {-1}}{\pmod {493}}$ $x\equiv {\sqrt {-1}}{\pmod {493}}$

的 4 个解。

注意 493 = 17 \times 29。

7. 取一个具有两个以上素数因子的整数 n。考虑