高中数学扩展/补充/部分分式

高中数学扩展

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介绍

在我们开始之前，请考虑以下内容

${\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}......+{\frac {1}{99\times 100}}$

我们如何计算这个总和？乍一看似乎很困难，但如果你用变量代替数字，上面的和中的每一项都会取以下形式

${\frac {1}{n\times (n+1)}}$

你可以将其改写为

${\frac {(n+1)-n}{n\times (n+1)}}={\frac {(n+1)}{n\times (n+1)}}-{\frac {n}{n\times (n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}$

因此我们可以将原始问题改写如下

$({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}})+({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})+({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}})+......+({\frac {1}{99}}-{\frac {1}{100}})$

重新分组

${\frac {1}{1}}+(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}})+(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}})+....+(-{\frac {1}{99}}+{\frac {1}{99}})-{\frac {1}{100}})$

因此，除了第一项和最后一项之外的所有项都抵消了，得出

${\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}......+{\frac {1}{99\times 100}}=1-{\frac {1}{100}}={\frac {99}{100}}$

信不信由你，我们刚刚做了部分分式！

部分分式是一种将包含乘积的复杂分式分解为更简单分式之和的方法。

通用方法

那么，我们如何进行部分分式呢？请看下面的例子

${\frac {4z-5}{z^{2}-3z+2}}$

对分母进行因式分解

${\frac {4z-5}{(z-1)(z-2)}}$

然后我们假设可以将其分解为两个分式，分别以(z - 1)和(z - 2)为分母，设它们的分子分别为a和b：

${\frac {4z-5}{(z-1)(z-2)}}={\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{z-2}}$

乘以(z - 1)(z - 2)

$4z-5=a(z-2)+b(z-1)$

$4z-5=az-2a+bz-b$

$4z-5=(a+b)z-(2a+b)$

因此，通过匹配 z 的同类幂的系数，我们有

${\begin{cases}a+b=4&({\text{A}})\\2a+b=5&({\text{B}})\end{cases}}$

此外

$({\text{B}})-({\text{A}}):a=1\to b=3$

因此

${\frac {4z-5}{z^{2}-3z+2}}={\frac {1}{z-1}}+{\frac {3}{z-2}}$

一般来说，此方法仅适用于真分数。分子指数大于分母指数的分数需要先进行除法。

1. Can you find an equivalent expression to $y={\frac {3p-21}{(p-5)p-14}}$ that is defined for $y={\frac {1}{3}}$ ?
TIP: Here, "defined" means having some value p for which the equation yields 1/3.

幂因子

在上一节中，我们讨论了对分母进行因式分解，并将每个因子作为每个项的分母。但当存在重复因子时会发生什么？我们能使用相同的方法吗？请看下面的示例

${\frac {4x-1}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

除了上面建议的方法外，我们想使用另一种方法来处理这个问题。我们首先省略一些因子使其成为非重复形式，对其进行部分分式分解，然后将因子乘回去，然后对这两个分数进行部分分式分解。

${\frac {1}{x+2}}\times {\frac {4x-1}{(x+2)(x-1)}}$

对后半部分进行部分分式分解

${\frac {4x-1}{(x+2)(x-1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}$

乘以 (x + 2)(x - 1)

$4x-1=a(x-1)+b(x+2)$

$4x-1=a(x-1)+b(x+2)$

$4x-1\equiv (a+b)x+(2b-a)$

通过匹配 x 的同类幂的系数，我们有

${\begin{cases}a+b=4&({\text{A}})\\2b-a=-1&({\text{B}})\end{cases}}$

将 a = 4 - b 代入 (B) 中，

$2b-(4-b)=-1$

因此 b = 1 且 a = 3。

我们继续

${\frac {1}{x+2}}\times \left({\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{x-1}}\right)$

${\frac {3}{(x+2)^{2}}}+{\frac {1}{(x+2)(x-1)}}$

现在我们再次进行部分分式分解。

${\frac {1}{(x+2)(x-1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}$

乘以 (x + 2)(x - 1)

$1=a(x-1)+b(x+2)$

$1=(a+b)x+(2b-a)$

$0x+1=(a+b)x+(2b-a)$

通过匹配相同次幂的系数，我们得到

${\begin{cases}a+b=0&({\text{A}})\\2b-a=1&({\text{B}})\end{cases}}$

将a = -b代入(B)，我们得到

$2b-(-b)=1$

因此b = 1/3且a = -1/3。

所以最终，

${\frac {4x-1}{(x+2)^{2}(x-1)}}={\frac {3}{(x+2)^{2}}}-{\frac {1}{3(x+2)}}+{\frac {1}{3(x-1)}}$

2. What about ${\frac {3q+2}{({\frac {3}{2}}q^{2}+{\frac {3}{2}}q-6)q-6}}$ ?

二次因子

为了简便起见，我们应该始终尝试对分母进行因式分解。然而，在某些情况下，多项式因式分解会导致复数系数。由于这些分解不会简化我们的任务，因此我们将保持多项式不变。也就是说，作为不可约二次因子

${\frac {7x^{2}+22x+25}{x^{3}+3x^{2}+2x+6}}={\frac {7x^{2}+22x+25}{(x+3)(x^{2}+2)}}$

处理二次因子时，我们应该使用以下部分分式

${\frac {bx+c}{x^{2}+2}}$

从而得到

${\frac {7x^{2}+22x+25}{(x+3)(x^{2}+2)}}={\frac {a}{x+3}}+{\frac {bx+c}{x^{2}+2}}$

用 (x + 3)(x^2 + 2) 乘以等式两边

$7x^{2}+22x+25=a(x^{2}+2)+(bx+c)(x+3)$

$7x^{2}+22x+25=a(x^{2}+2)+(bx+c)(x+3)$

$7x^{2}+22x+25=(a+b)x^{2}+(3b+c)x+(2a+3c)$

通过匹配相同次幂的系数，我们得到

${\begin{cases}a+b=7&({\text{A}})\\3b+c=22&({\text{B}})\\2a+3c=25&({\text{C}})\end{cases}}$

求解方程组

$({\text{C}})-2({\text{A}})-3({\text{B}})=({\text{C}})-2({\text{A}})-3({\text{B}})$

$(2a+3c)-2(a+b)-3(3b+c)=25-2(7)-3(22)$

$-11b=-55$

因此 b = 5, a = 2 以及 c = 7.

最后

${\frac {7x^{2}+22x+25}{(x+3)(x^{2}+2)}}={\frac {2}{x+3}}+{\frac {5x+7}{x^{2}+2}}$

3. Try breaking down ${\frac {z^{2}+3z}{z^{3}+1}}$ .