高中数学扩展/补充/求和符号

高中数学扩展

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求和符号

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我们通常使用 "+" 符号来表示一个和，但是如果和表达式很复杂很长，就会让人困惑。

例如：${\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}......+{\frac {1}{100\times 101}}$

写出以上表达式将是一项繁琐且混乱的任务！

为了更简洁、优雅地表示这类表达式，人们使用求和符号，即希腊字母“Σ”。在求和符号的右侧，人们写出要相加的每个项的表达式，并在求和符号的上方和下方分别写出变量的上限和下限。

例1：$\sum _{k=3}^{10}2k+1$
$=\ (2(3)+1)\ +\ (2(4)+1)\ +\ (2(5)+1)\ +......+\ (2(10)+1)$ $=\ 7\ +\ 9\ +\ 11\ +......+\ 21$

误解：从上面可以看出，一个常见的误解是求和符号顶部的数字是项数。这是错误的。顶部的数字是代回最后一项的数字。

这里需要说明求和下限可以取哪些值。

例2：${\frac {1}{4}}-{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{25}}......-{\frac {1}{9801}}+{\frac {1}{10000}}$
$={\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {1}{5^{2}}}......-{\frac {1}{99^{2}}}+{\frac {1}{100^{2}}}$
$=\sum _{k=2}^{100}(-1)^{k}{\frac {1}{k^{2}}}$

提示：如果项在加号和减号之间交替出现，我们可以使用序列$(-1)^{k}=-1,\ 1,\ -1,\ 1...$

练习

1. 使用求和符号表示第一个例子中的表达式。

将以下表达式转换为求和符号

1. $23\ +\ 24\ +\ 25\ +\ 26\ +......+\ 1927$
2. $13\ +\ 16\ +\ 19\ +\ 22\ +......+\ 301$
3. *$1\ -\ 2\ -\ 3\ +\ 4\ +\ 5\ -\ 6\ -\ 7\ +\ 8......+\ 400$(提示：重新排列项，或在表达式中获取多个项)
4. *$1000\ -\ {\frac {3}{1\times (1+3+5)}}\ -\ {\frac {5}{(1+3)\times (1+3+5+7)}}\ -\ {\frac {7}{(1+3+5)\times (1+3+5+7+9)}}......$(提示：你需要使用多个求和符号)

将以下求和符号改写成普通表示形式

1. $\pi =4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$
2. $\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}$

(需要更多练习，尤其是“阅读”求和符号并将其改写回旧形式)

求和符号的运算

虽然大多数与求和相关的规则在普通系统中是有意义的，但在这种新的求和符号系统中，事情可能不像以前那样清晰，因此人们总结了一些与求和符号相关的规则（看看你是否能识别出它们对应什么！）

• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\pm c\ =\ \pm (q-p+1)c\ +\ \sum _{i=p}^{q}A_{i}$
• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\pm B_{i}\ =\ \sum _{i=p}^{q}A_{i}\pm \sum _{i=p}^{q}B_{i}$
• $\sum _{i=p}^{q}cA_{i}\ =\ c\sum _{i=p}^{q}A_{i}$
• $\sum _{i=p}^{q}\left[\sum _{j=r}^{s}A_{ij}\right]\ =\ \sum _{j=r}^{s}\left[\sum _{i=p}^{q}A_{ij}\right]$

(注意：我建议为此提供一个视觉辅助：显示你可以通过任何方向对二维数组进行求和)

• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\ =\ \sum _{i=p-k}^{q-k}A_{i+k}$(索引替换)
• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\ =\ \sum _{i=p}^{r}A_{i}+\sum _{i=r+1}^{q}A_{i}\;,where\;p\leq r<q$(分解)
• $\left(\sum _{i=p}^{q}a_{i}\right)\times \left(\sum _{j=r}^{s}b_{j}\right)\ =\ \sum _{i=p}^{q}\sum _{j=r}^{s}a_{i}b_{j}$(分解/展开)

练习

(请在此处添加内容)

进阶

"迭代是人的本性；递归，则是神性的."

当人类重复进行求和时，他们决定使用更高级的概念，即乘积的概念。当然，每个人都知道我们使用$\times$。当我们重复进行乘积时，我们使用指数。回到主题，我们现在有了复杂求和的表示法。那么复杂乘积呢？事实上，也存在乘积的表示法。我们使用希腊字母大写 "pi" 来表示乘积，基本上其他一切与求和符号相同，只是项不是相加，而是相乘。
示例：$\prod _{h=2}^{5}2h-3$ = $[(2\times 2)-3]\times [(2\times 3)-3]\times [(2\times 4)-3]\times [(2\times 5)-3]$

练习

1. 众所周知，阶乘由以下归纳定义：
$0!\ =\ 1$
$n!\ \times \ (n+1)\ =\ (n+1)!$

现在尝试用乘积符号来定义它。