高中数学扩展/补充/多项式除法

高中数学扩展

简介

首先，我们需要了解一个更基础的概念：因式分解。

我们可以对数字进行因式分解，

5\times 7=35

或者甚至包含变量（多项式）的表达式，

(x-3)(x+7)=x^{2}+4x-21

因式分解是将表达式分解为更简单表达式乘积的过程。在处理多项式时，我们将经常使用这种技巧。

在某些情况下，多项式除法可能很容易，例如

{\frac {x^{3}+6x-12}{2x}}

分配，

{\frac {x^{3}}{2x}}+{\frac {6x}{2x}}-{\frac {12}{2x}}

最后，

{\frac {1}{2}}x^{2}+3-{\frac {6}{x}}

另一个利用因式的更复杂的例子

{\frac {2x^{3}+3x^{2}+6x+9}{2x+3}}

重新排序，

{\frac {2x^{3}+6x+3x^{2}+9}{2x+3}}

因式分解，

{\frac {2x(x^{2}+3)+3(x^{2}+3)}{2x+3}}

再来一次，

{\frac {(2x+3)(x^{2}+3)}{2x+3}}

得到，

x^{2}+3

1. Try dividing  $35x^{2}+29x+6$  by  $2.5x+1$  .

2. Now, can you factor  $P(x)=3x^{3}-9x+6$  ?

那么不可被整除的多项式呢？比如这些

(3x^{2}+3x-4)/(x-4)

有时，我们将不得不处理复杂的除法，涉及大型或不可被整除的多项式。在这种情况下，我们可以使用长除法来获得商和余数

P(x)=Q(x)\times C(x)+R

在这种情况下

(3x^{2}+3x-4)=Q(x)\times (x-4)+R

长除法
1	我们首先考虑被除数和除数中最高次项，其结果是商的第一项。	$(3x^{2})/(x)=3x$	${\begin{array}{r\|ccc}x-4&3x^{2}&3x&-4\\\hline \hline &3x^{2}&3x&\\3x(x-4)&3x^{2}&-12x&\\\hline &&15x&-4\\15(x-4)&&15x&-60\\\hline &&&56\\\end{array}}$
2	然后，我们将此与除数相乘。	$(3x)\times (x-4)=3x^{2}-12x$
3	然后从被除数中减去结果。	$(3x^{2}+3x-4)-(3x^{2}-12x)=15x-4$
4	现在，我们再次使用剩余多项式的最高次项，得到商的第二项。	$(15x)/(x)=15$
5	相乘...	$(15)\times (x-4)=15x-60$
6	减去...	$(15x-4)-(15x-60)=56$
7	我们剩下一个常数项 - 我们的余数	${\begin{array}{lcr}Q(x)=3x+15&&R=56\end{array}}$

所以最后

(3x^{2}+3x-4)=(3x+15)\times (x-4)+56

3. Find some  $G(x)$  such that  $(6x^{2}-13x+7)-G(x)$  is divisible by  $(3x+1)$  .