高中数学扩展/矩阵/解答

高中数学扩展

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补充章节 — 素数和模算术 — 逻辑

数学证明 — 集合论和无限过程 — 计数和生成函数 — 离散概率

矩阵 — 进一步的模算术 — 数学规划 — 马尔可夫链

HSME
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矩阵

目前，主要精力集中在编写每章的主要内容。因此，本习题解答部分可能已过时，并显示为杂乱无章。

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矩阵乘法练习

${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\times 1)+(2\times 2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\times 1&1\times 2\\2\times 1&2\times 2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\2&4\\\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1/8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1/8\times 16)+(9\times 2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}20\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(a\times d)+(b\times e)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\times d+b\times e\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}6+6b&3-b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}((6+6b)\times 0)+((3-b)\times 0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}0&abc\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(0\times a)+(abc\times 0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}}$

非向量矩阵乘法练习

1.

a) $n\times m$

b) $2\times 4$

2.

a)

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\1\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}4\\1\\\end{pmatrix}}$

b)

${\begin{pmatrix}3&1\\2&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&1\\2&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&1\\2&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\2\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}11\\22\\\end{pmatrix}}$

3.

$C={\begin{pmatrix}1&2\\4&5\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\4&5\\\end{pmatrix}}$

$D={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\4&5\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\4&5\\\end{pmatrix}}$

这里要注意的是，当 2x2 矩阵与另一个矩阵相乘时，它保持不变。对角线上只有 1，其他地方为 0 的矩阵被称为单位矩阵，称为I，任何矩阵乘以它的任何一边都会保持不变。也就是说 $A\times I=I\times A$

注意：本节中的其余练习是“非向量矩阵的乘法”部分中先前练习的剩余部分

3.

$C={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}$

$D={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}$

这里要注意的是，当 1 到 9 的矩阵与另一个矩阵相乘时，它保持不变。对角线上只有 1，其他地方为 0 的矩阵被称为单位矩阵，称为I，任何矩阵乘以它的任何一边都会保持不变。也就是说 $A\times I=I\times A$

4. a)

$A^{5}={\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-13&42\\-7&22\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-29&90\\-15&46\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-61&186\\-31&94\\\end{pmatrix}}$

b)

${\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\times 3)+(-2\times 1)&(1\times 2)+(-2\times 1)\\(-1\times 3)+(3\times 1)&(-1\times 2)+(3\times 1)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

c) ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(a\times 1)+(b\times 0)&(a\times 0)+(b\times 1)\\(c\times 1)+(d\times 0)&(c\times 0)+(d\times 1)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\times a)+(0\times b)&(0\times a)+(1\times b)\\(1\times c)+(0\times d)&(0\times c)+(1\times d)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$

d)

$A={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}$

e) 举例来说，首先计算 A²

$A^{2}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{2}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{2}&0\\0&2^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&8\\1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\\\end{pmatrix}}$

现在让我们对 A⁵ 做与上面相同的简化 -

$A^{5}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{5}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{5}&0\\0&2^{5}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&32\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&64\\1&32\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-61&186\\-31&94\\\end{pmatrix}}$

f)

$A^{100}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{100}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{100}&0\\0&2^{100}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1267650600228229401496703205376\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2535301200456458802993406410752\\1&1267650600228229401496703205376\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-2535301200456458802993406410751&7605903601369376408980219232254\\-1267650600228229401496703205373&3802951800684688204490109616122\\\end{pmatrix}}$

行列式和逆矩阵练习

1.

$\det(A)={\frac {2}{5}}\times {\frac {5}{2}}-{\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{2}}=0$

联立方程将转换为以下矩阵 ${\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{3}}\\\\{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ 因为我们已经知道

$\det({\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{3}}\\\\{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}\end{pmatrix}})=0$

我们可以说，这些联立方程没有唯一的解。

2. 首先计算你乘以行列式时得到的值

$\det({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})\det({\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}})=$

$(ad-bc)(eh-fg)=$

$adeh-bceh-adfg+bcfg$

现在让我们先进行矩阵乘法来计算 C

$\det({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}})=$

$\det({\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}})=$

$(ae+bg)(cf+dh)-(af+bh)(ce+dg)=$

$aecf+bgcf+aedh+bgdh-afce-bgce-afdg-bhdg=$

$bgcf+aedh-bgce-afdg$

这与我们计算行列式乘积时得到的值相同，因此

det(C) = det(A)det(B)

适用于 2×2 的情况。

3.

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

$\det(A)=ad-bc$

$A'={\begin{pmatrix}c&d\\a&b\end{pmatrix}}$

$\det(A')=cb-da$

$-\det(A')=-(bc-ad)=ad-bc$

因此 det(A) = -det(A') 成立。

4. a)

$A=P^{-1}BP$

$\det(A)=\det(P^{-1})\det(B)\det(P)=$

$\det(P^{-1})\det(P)\det(B)=$

$\det {(P^{-1}P)}\det(B)=$

$\det {(I)}\det(B)=$

$\det(B)$ 因为 det(I) = 1。

因此，det(A) = det(B) b) 如果 $A^{k}=0$ 对于某个 k，这意味着 $\det(A^{k})=0$。但我们可以写成 $\det(A^{k})=\det {(A)}^{k}$，因此 $\det {(A)}^{k}=0$。这意味着 $\det(A)=0$。

5. a)

$A^{5}=$

${\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}=$

$({\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}})({\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}){\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-13&42\\-7&22\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-61&186\\-31&94\\\end{pmatrix}}$

b)

$P^{-1}={\frac {1}{1}}{\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}$

c)

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}$

d)

$A^{5}=$

$(P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}P)^{5}=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}PP^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}PP^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}PP^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}PP^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}P=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}I{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}I{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}I{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}I{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}P=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{5}P=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1^{5}&0\\0&2^{5}\\\end{pmatrix}}P=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&32\\\end{pmatrix}}P=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&32\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&64\\1&32\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-61&186\\-31&94\\\end{pmatrix}}$

我们可以看到，当矩阵被提升到五次方时，P及其逆矩阵消失了。因此，我们可以看到，我们可以很容易地计算 Aⁿ，因为你只需要将对角矩阵提升到 n 次方。将对角矩阵提升到某个幂是很容易的，因为你只需要将对角线上的数字提升到那个幂。

e) 我们使用上面练习中推导的方法。

$A^{100}=$

$(P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}P)^{100}=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{100}P=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1^{100}&0\\0&2^{100}\\\end{pmatrix}}P=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2^{100}\\\end{pmatrix}}P=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2^{100}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2^{101}\\1&2^{100}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3-2^{101}&3\times 2^{101}-6\\1-2^{100}&3\times 2^{100}-2\\\end{pmatrix}}$