电路理论
维基教科书：免费图书馆

电路理论

前言

这本维基教科书将作为关于电子电路的入门教材。它将涵盖一些电子电路理论的基础知识，电路分析，并触及电路设计。本书将作为电气工程本科课程第一年学习的配套参考。涵盖的主题包括交流和直流电路、无源电路元件、相量和 RLC 电路。重点是电气工程本科专业的学生。爱好者从阅读电子学中获益更多。

本书尚未完成，还有改进的空间。鼓励了解本主题的人士贡献力量。

本书的主要可编辑文本位于https://wikibooks.cn/wiki/Circuit_Theory。维基教科书版本的文本被认为是最新的版本，是编辑本书并为其贡献力量的最佳场所。

电子电路简介

电子电路理论可能是一个复杂的学习领域。本节中的章节将向读者介绍电子电路的世界，介绍一些基本术语，并提供对无源电路元件的第一个介绍。

介绍

电路理论

这本维基教科书适合谁？

本书是为电路分析入门课程设计的，通常会附带一套实验。假设学生同时正在学习微积分课程。相量用于避免对驱动函数进行拉普拉斯变换，同时保持与两者相同的物理电路的复阻抗变换。如果驱动函数是正弦函数，则可以使用相量和微积分求解一阶和二阶微分方程。然后用更简单的阶跃函数替换正弦函数，然后使用卷积积分来找到对任何驱动函数的解析解。这将为更直观地理解极点、零点、传递函数和波特图解释留出时间。

对于已经学习过微积分的人，拉普拉斯变换等效将作为一种替代方法，同时关注相量和微积分。

本书将期望读者对微积分有扎实的理解，并且不会停下来解释微积分中的基本主题。

有关微积分的信息，请参阅维基教科书：微积分.

本书将涵盖哪些内容？

本书将涵盖线性电路和线性电路元件。

目标是强调基尔霍夫定律和符号代数系统，如MuPAD、Mathematica或Sage；以牺牲节点、网格和诺顿等效等分析方法为代价。从一开始就采用相量/微积分方法，最后使用卷积积分来处理各种类型的激励函数。

结果是一种本质上是线性的分析体验，它具有通用性，但跳过了拉普拉斯变换和傅立叶变换。

基尔霍夫定律受到正常的关注，但其他电路分析/简化技术受到的关注少于正常情况。

本课程以功率分析、滤波器、控制系统中这些概念的应用结束。

目标是为从物理世界的坚实基础过渡到这些概念的数字版本奠定基础。下一门课程将重点放在线性系统的建模和数字分析上，为数字信号(DSP) 处理课程做准备。

下一步做什么

对于这门课程的技术版本，它侧重于实践而不是想法，侧重于专业知识而不是理论，侧重于代数而不是微积分，请参阅电子学维基教科书。
现在您有了一个实际的理由，可以学习常微分方程。这门数学课应该理想地感觉像一门“艺术”课，而且很有趣。
要开始学习计算机工程课程，请参阅数字电路维基教科书。
对于传统的“下一门”课程，请参阅信号与系统维基教科书。应该与这本维基教科书有所重叠。
预期的下一门课程将有一个名称，例如信号与线性系统的新序列或离散信号分析元素。

基本术语

电路理论

基本术语

在开始学习本书之前，需要理解一些关键术语。这只是本书中使用的所有术语的部分列表，但这些关键词在开始文本的主要叙述之前需要知道。

时域: 时域由功率、电压和电流随时间变化的图形描述。这仅仅是另一种说法，我们的电路随时间变化，描述系统的主要变量是时间。另一个名称是“时间”。

频域: 频域是功率、电压和/或电流随频率变化的图形，例如波特图。无线通信中可变频率可以代表变化的信道或信道上的数据。另一个名称是“傅立叶域”。工程师可能会遇到的其他域包括“拉普拉斯域”（或“s 域”或“复频率域”）和“Z 域”。与时间相结合时，它被称为“光谱”或“瀑布”。

电路响应: 电路通常有输入和输出。事实上，可以安全地说，如果电路没有一个或另一个（通常是两者都有），它就不是有用的。电路响应是电路输入与电路输出之间的关系。电路响应可以是电流或电压的量度。

非齐次: 电路由描述元件特性及其连接方式的方程描述。这些方程本质上是非齐次的。求解这些方程需要将单个问题分成两个问题：稳态解（特解）和瞬态解（齐次解）。

稳态解: 当所有电路元件都具有恒定或周期性行为时，最终值也称为电路的稳态值。电路在稳态时的响应（当电压和电流因扰动而停止变化时）也称为“稳态响应”。特积分的稳态解称为特解。

瞬态: 瞬态事件是由系统状态的突然变化引起的系统中短暂的能量爆发。

瞬态意味着短暂的，或短时间内。瞬态意味着电路中的能量突然发生变化，导致能量存储元件发生反应。电路的能量状态被迫发生变化。当汽车经过一个颠簸时，它可能会飞散，感觉像一块石头，或者以设计的方式缓冲撞击。大多数电路设计的目标是计划瞬态，无论是有意还是无意。

瞬态解是通过假设激励函数为零来确定的，这将创建一个齐次方程，该方程具有一个齐次解.

总结

当电路中发生变化时，在电路“稳定下来”并达到其最终值之前，会有一段特定的过渡时期。电路在稳定到其稳态响应之前所具有的响应称为瞬态响应。使用欧拉公式、复数、相量和s 平面，将开发一种齐次解技术，该技术通过假设最终状态没有能量来捕获瞬态响应。此外，还将开发一种特解技术，该技术可以找到最终的能量状态。将它们加在一起，它们可以预测电路响应。

将避免与微分方程相关的齐次解和特解的开发。

变量和标准单位

电路理论

电荷（库仑）

注意
电子带电量为
-1.602×10E-19 庫侖。

电荷是物质的一种物理性质，当它靠近其他带电物质时，会导致它受到力。电荷（符号 q）的 SI 单位是“库仑”，用大写字母 C 表示。

我们知道 q=n*e，其中 n = 电子数量，e= 1.6*10⁻¹⁹。因此 n=1/e 库仑。库仑是 6.24150962915265×10¹⁸ 个电子的总电荷，因此单个电子的电荷为 −1.602 × 10⁻¹⁹ 庫侖。

重要的是要理解，这个“电荷”的概念与静电有关。电荷作为一个概念，具有一个与电子群计数相关的物理边界。“流动”的电是 完全不同的情况。“电荷”和电子是分开的。电荷以光速运动，而电子以 每小时 1 米 的速度运动。因此，在大多数电路分析中，“电荷”是一个抽象的概念，与能量或电子无关，而与信息的流动更为相关。

电荷是许多基本定律的主题，例如 库仑定律 和 高斯定律（静电），但在电路理论中使用不多。

电压（伏特）

电压是将电荷从电场中的一点移动到另一点所需的功的量度。因此，“伏特”这个单位被定义为焦耳（J）每库仑（C）。

V={\frac {W}{q}}

W 代表功，q 代表电荷量。电荷是静电概念。伏特的定义在静电和“流动”电子学之间是共享的。

电压有时被称为“电势”，因为电压代表能够在电路中产生电流的电动势 (EMF) 的差值。电压越高，电流的可能性就越大。电压也可以称为“电压”，尽管这远不常见。

电压不是以绝对值来衡量的，而是以相对值来衡量的。英语传统掩盖了这一点。例如，我们说“到纽约的距离是多少？”显然暗示的是我们站立的地方到纽约的相对距离。但如果我们说“______处的电压是多少？”起点是什么？

电压是在两点之间定义的。电压相对于定义为 0 的位置。我们说“从 A 点到 B 点的电压为 5 伏”。重要的是要理解 EMF 和电压是两回事。

当问“______ 处的电压是多少？”时，请在电路图上寻找接地符号。从接地到 ______ 测量电压。如果问题是“从 A 到 B 的电压是多少？”，然后将红探针放在 A 上，黑探针放在 B 上（而不是接地）。

绝对值被称为“EMF”或电动势。两个 EMF 之间的差值是电压。

电流（安培）

电流是衡量电流的单位。电流的单位是安培（或“安”）。安培是“电荷体积速度”，就像水流可以用“每秒立方英尺水”来衡量一样。但电流是 基本 SI 单位，是现实的基本维度，例如空间、时间和质量。库仑或电荷则不是。库仑实际上是用安培来定义的。“电荷或库仑”是一个 派生 SI 单位。库仑是 18 世纪 单流体/双流体 哲学遗留下来的一个虚构实体。

本课程介绍所有现代电子产品中都存在的流动电能。电荷体积速度（由电流定义）是一个有用的概念，但请理解它在工程中没有实际用途。不要将电流视为一束电子通过电线传递能量。狭义相对论和量子力学的概念是理解电子如何以 每小时 1 米 的速度通过铜线运动，而电磁能量则以接近光速的速度运动。

电荷类似于相对论中的 静止质量 概念，并产生电磁学的 U(1) 对称性

安培用“A”（大写 A）表示，与电流最常相关的变量是字母“i”（小写 I）。在库仑的表示中，安培是

i={\frac {dq}{dt}}

在本手册的其余部分，小写 J ( j ) 将用于表示虚数，小写 I ( i ) 将用于表示电流。

由于复数在电气工程中的广泛应用，电气工程教科书通常使用字母“j”（小写 J）作为虚数，而不是数学教科书中常用的“i”（小写 I）。本维基手册将采用“j”作为虚数，以避免混淆。

能量和功率

电路理论是关于能量存储和能量在电路中的流动。能量被任意地分割成一种不存在但可以计数的东西，称为库仑。每库仑的能量是电压。库仑的速度是电流。将它们相乘，单位就是能量速度或功率......而虚构的“库仑”就消失了。

能量

能量最常以焦耳为单位衡量，用“J”（大写 J）表示。与能量最常使用的变量是“w”（小写 W）。能量符号为 w，代表功。

从热力学的角度来看，电路消耗的所有能量都是功......所有热量都被转化为功。实际上，这是不可能的。如果真是这样，电脑永远不会消耗任何能量，也不会发热。

所有流入电路和离开电路的能量都被认为是“功”的原因是，从热力学的角度来看，电能是理想的。它可以完全被使用。理想情况下，它可以完全转化为功。大多数热力学入门课程都假设电能是完全有序的（熵为 0）。

功率

与能量是功的概念相辅相成的是，电路中的所有能量/功率（理想情况下）都可以被计算出来。流入和流出电路的所有功率之和应该加起来等于零。理论上，不应该积累能量。当然，电容器会充电，并在电路关闭时可能保持它们的能量。电感器会产生一个包含能量的磁场，该磁场将立即通过关闭电路的开关消失回电源。

本课程使用所谓的“无源”功率符号约定。电源输入电路的能量为负，电路输出的能量为正。

功率（能量流）计算是本课程的重要组成部分。功率符号为 w（代表功），单位为瓦特或 W。

电路基本原理

电路理论

电路

电路（也称为“网络”）是电路元件和导线的集合。导线在原理图上被指定为直线。节点是原理图上两根或多根导线连接的位置，通常用黑色的点标记。电路元件在某种意义上是“其他一切”。大多数基本电路元件都有自己的符号，便于识别，尽管有些元件将被简单地绘制成一个方框图像，方框的规格将写在易于找到的位置。我们将在本书中讨论几种类型的基本电路元件。

理想导线

为了本书的需要，我们假设理想导线具有零总电阻、零电容和零电感。这些假设的结果是，这些理想导线具有无限带宽、不受干扰，并且本质上是完全简单的。实际导线并非如此，因为所有导线至少具有一定的电阻。此外，将多根实际导线放在一起或以特定方式弯曲实际导线会产生少量的电容和电感，这可能会在电路设计和分析中发挥作用。本书假设所有导线都是理想的。

理想结点

在本书中，结点也被称为“连接点”，以区分结点分析、基尔霍夫电流定律和关于物理结点本身的讨论。这里讨论的是物理结点。

结点是一组共享相同电动势（而不是电压）的导线。理想情况下，导线没有电阻，因此所有在某处接触的导线都是同一结点的一部分。右侧的图示显示了两个大的蓝色结点，两个较小的绿色结点和两个微不足道的（一根导线接触另一根导线）红色结点。

有时，结点被描述为两根或更多根导线接触的地方，学生会圈出导线交叉的地方，并称之为结点。这仅适用于简单的电路。

在任何绘制的电路中，必须在计算电压或模拟电路之前将一个结点标记为接地。通常，这是连接到最多元件的结点。逻辑上，它通常放置在电路逻辑图的底部。

接地并不总是物理上需要的。有些电路是故意浮动的。

结点测验

测量仪器

电压表和电流表是用于分别测量元件两端的电压和流过导线的电流的设备。

理想电压表

理想电压表具有无限的电阻（实际上是几兆欧姆），并且表现得像一个开路。一个电压表放置在电路元件的两端，以确定该元件两端的电压。实际上，电压表会吸取足够的能量来移动指针，使金属薄片分离或打开晶体管，从而显示数字。

理想电流表

理想电流表具有零电阻，并且表现得像一个短路。电流表需要切断导线并将两端插入电流表。实际上，电流表在导线中放置一个微小的电阻，并测量它两端的微小电压，或者电流表测量磁场强度，该磁场强度是由流过导线的电流产生的。电流表由于需要切断导线或断开导线而没有被广泛使用。

有源、无源和无功

能够提供能量或能够放大信号的元件称为“有源元件”。所有电源都属于此类。

接收能量并将其耗散的元件称为“无源元件”。电阻器模拟这些设备。

无功元件存储能量并将其释放到电路中。理想情况下，它们既不消耗也不产生能量。电容器和电感器属于此类。

开路和短路

开路

没有电流流过开路。通常，开路是由不良连接器造成的。灰尘、不良焊点、不良压接、电路板走线中的裂缝都会造成开路。电容器对直流电的反应是在充电后变成开路。未充电的电感器在电路通电后立即表现为开路。术语开路可以指代问题描述。术语开路也可以帮助我们对电路形成直观认识。

通常，由于 99% 的电路都由电压电源驱动，因此电路会在开路的情况下停止工作。电压源对开路的响应是无电流。开路相当于管道中的堵塞，会阻止水流。

在开路的一侧，电动势会累积，就像水压会在堵塞管道的某一侧累积一样。通常，开路两端会出现电压。

短路

电压源对短路的响应是尽可能多地提供电流。在这个滚珠轴承电机视频中可以清楚地看到一个极端的例子。电机对电池来说表现为短路。请注意，他只在很短的时间内完成短路，因为他担心汽车电池爆炸。

最大电流流过短路。通常，短路是由导线、钉子或一些松散的螺钉无意中接触电路的部件造成的。大多数元件故障始于热量积聚。热量会破坏清漆、油漆或薄绝缘层，从而形成短路。短路会导致更多的电流流过，从而产生更多的热量。这个循环会越来越快地重复，直到冒出一股烟，所有东西都断裂，形成开路。大多数元件故障始于短路，并在烧毁后结束于开路。通电后，感受每个电路元件上面的空气温度。记住正常工作温度是什么。如果很冷，则可能表示短路已经变成了开路。

一个未充电的电容器在电路通电后立即表现为短路。电感器在充电后对直流电表现为短路。短路的概念也有助于我们形成直观认识，提供了一个讨论电气安全的机会，并有助于描述元件故障模式。

一个闭合的开关可以被认为是短路。开关非常复杂。在对开关的研究中，术语闭合开始占据短路的主导地位。

电阻器和电阻

电路理论

电阻器

机械工程师似乎用弹簧来模拟一切。电气工程师将所有东西都与电阻器进行比较。电阻器是阻碍电流流动的电路元件。当这样做时，电阻器两端的导线之间会出现电压。

一个纯电阻器将电能转化为热能。类似于电阻器的设备将这种能量转化为光、运动、热量和其他形式的能量。

上图中的电流显示为从电阻器的 + 端进入。电阻器不关心哪个端连接到正极或负极。+ 表示要放置电压表的正探针或红探针的位置，以便获得正读数。这称为“正电荷”流动符号约定。一些电路理论课程（通常在以物理学为主的课程中）使用“电子流动”符号约定。

在这种情况下，电流从电阻器的 + 端进入意味着电阻器正在从电路中吸收能量。这是件好事。大多数电路的目标是将能量以运动、光、声音等形式发送到外部世界。

电阻

电阻以称为“欧姆”（伏特每安培）的单位来衡量，通常用希腊字母 Ω（“欧米伽”）缩写。欧姆也用于测量阻抗和Reactance的量，如后面章节所述。最常用于表示电阻的变量是“r”或“R”。

电阻定义为

r={\rho L \over A}

其中 ρ 是材料的电阻率，L 是电阻器的长度，A 是电阻器的横截面积。

电导

电导是电阻的倒数。电导的单位是“西门子”（S），有时也称为摩尔（欧姆的倒数，缩写为倒置的 Ω）。相关的变量是“G”

G={\frac {1}{r}}

在计算器和计算机出现之前，电导有助于减少需要进行的手工计算数量。现在，电导及其相关的概念导纳和容抗可以使用 matlab、octave、wolfram alpha 和其他计算工具跳过。学习一种或多种这些计算工具现在是完成本文的必要条件。

电阻器端子关系

右侧的图示是一个电池和一个电阻器。电流从电池的 + 端流出。这意味着这个电池正在将化学势能转化为电磁势能，并将这种能量倾倒到电路中。这种能量或功率的流动是负的。

电流进入电阻的正极，即使电阻上没有标注“+”号。这意味着电磁势能正在被转换为热能、动能、光能或声能，具体取决于电阻的性质。流出电路的功率被赋予正号。

电阻两端的电压 V、流过电阻的电流 I 和电阻值 R 之间的关系由欧姆定律决定。

[电阻端子关系]

V=R*I

电阻、电容和电感都只有两根引线连接。有时很难将它们区分开。在现实世界中，所有三种元件都具有一定的电阻、电容和电感。在这种未知情况下，它们被称为二端器件。在更复杂的器件中，引线被分组为端口。当电流和电压施加到一个二端器件时，如果它表现出欧姆定律，则该器件被称为电阻。

电阻安全

电阻有各种形式。大多数电阻都有一个最大功率额定值，以瓦特为单位。如果通过电阻的电流过大，它们可能会熔化、着火等。电阻是一种电气无源元件，它阻碍电流的流动。空气可以被视为一种电阻。空气在避雷器中用作电阻。真空也用作电阻。

示例

假设一个电阻两端的电压为 10 伏特，测量的电流为 2 安培。电阻值是多少？

如果 $v=iR$ 那么 $R=v/i=10V/2A=5ohms$

阻性电路

我们已经介绍了无源电路元件，如电阻、电源和导线。现在，我们将探索如何分析使用这些组件的复杂电路。

阻性电路分析技术

电路理论/阻性电路分析

电源变换

电路理论

电源变换

通过称为“电源变换”的方法，可以将独立电流源转换为独立电压源，反之亦然。这些变换对解决电路很有用。我们将解释两种最重要的电源变换，即 **戴维南电源** 和 **诺顿电源**，并将解释如何使用这些概念工具来解决电路。

黑箱

如果我们不知道系统内部是什么，那么可以将一个电路（或任何系统）视为一个 **黑箱**。例如，大多数人将他们的计算机视为一个黑箱，因为他们不知道计算机内部是什么（大多数人甚至不在乎），他们只知道什么进入系统（键盘和鼠标输入），以及什么从系统中出来（显示器和打印机输出）。

根据定义，黑箱是其内部对外部观察者未知的系统。外部观察者检查黑箱的唯一方法是向系统发送输入，并衡量输出。

戴维南定理

让我们从绘制一个由电源和负载组成的通用电路开始，将其作为一个框图。

假设电源是由电压源、电流源和电阻组成的集合，而负载仅由电阻组成的集合。电源和负载都可以任意复杂，但我们可以概念性地说，电源直接等效于单个电压源和电阻（下图 (a)）。


(a)	(b)

我们可以通过在电路的输出端连接一个独立的电源来确定电阻 R_s 和电压源 v_s 的值，如上图 (b) 所示。在本例中，我们使用的是一个电流源，但也可以使用电压源。通过改变 i 并测量 v，可以使用以下方程式找到 v_s 和 R_s

v=v_{s}+iR_{s}\,

有两个变量，因此需要两个 i 值。有关更多详细信息，请参见示例 1。我们可以很容易地从这里看出，如果电流源设置为零（等效于开路），则 v 等于电压源 v_s。这也称为开路电压 v_oc。

这是一个重要的概念，因为它使我们能够通过知道从电路中出来的东西来模拟未知（线性）电路内部。这个概念被称为 **戴维南定理**，以法国电报工程师 **莱昂·夏尔·戴维南** 命名，由电压源和电阻组成的电路被称为 **戴维南等效电路**。

诺顿定理

回想一下，戴维南等效电路的输出电压 v 可以表示为

v=v_{s}+iR_{s}\,

现在，让我们将其重新排列为输出电流 i

i=-{\frac {v_{s}}{R_{s}}}+{\frac {v}{R_{s}}}

这等效于以下电路的 KCL 描述。我们可以将常数项 v_s/R_s 称为源电流 i_s。

可以使用独立的电源如前所述来找到等效电流源和等效电阻（参见示例 2）。

当上述电路（**诺顿等效电路**，以贝尔实验室工程师 **E.L. 诺顿** 命名）与外部负载断开连接时，来自电源的电流全部流过电阻，在端子之间产生必要的电压 v_oc。此外，如果我们对电路的两个端子短路，则电流将全部流过导线，而不会流过电阻（电流分配规则）。这样，电路将产生短路电流 i_sc（它与源电流 i_s 完全相同）。

电路变换

我们刚刚展示了戴维南电路和诺顿电路仅仅是同一个黑箱电路的不同表示，具有相同的欧姆定律/KCL 方程。这意味着我们无法从黑箱外部区分戴维南电源和诺顿电源，并且我们可以直接将两者等同起来，如下所示

\equiv

我们可以制定一些规则来进行两者之间的转换

每个电路中电阻的值在概念上是相同的，可以称为等效电阻 R_eq

R_{s_{n}}=R_{s_{t}}=R_{s}=R_{eq}

戴维南电压源的值是诺顿电流源的值乘以等效电阻（欧姆定律）

v_{s}=i_{s}r\,

如果遵循这些规则，则电路的行为将完全相同。使用这几个规则，我们可以将诺顿电路转换为戴维南电路，反之亦然。这种方法被称为 **电源变换**。参见示例 3。

开路电压和短路电流

开路电压 v_oc 是电路中电流为零时端子间的电压，短路电流 i_sc 是端子间电压为零时的电流。


开路电压	短路电流

我们还可以观察到以下几点：

戴维南电压源的值等于开路电压。

v_{s}=v_{oc}\,

诺顿电流源的值等于短路电流。

i_{s}=i_{sc}\,

我们可以说，一般情况下：

R_{eq}={\frac {v_{oc}}{i_{sc}}}

为什么转换电路？

戴维南和诺顿变换有什么用？

描述一个黑盒的特性，使其可以预测其对任何负载的反应。

通过将器件从电路中移除来找到任何器件的电流和电压！这可以立即简化复杂的电路分析。

如果电压源具有串联阻抗而电流源具有并联阻抗，则可以对电路进行逐步简化。

最大功率传输

电路理论

最大功率传输

我们通常希望尽可能多地将功率从源传输到连接到端子的负载。如何确定负载的最佳电阻才能实现这一点？

让我们考虑一个由戴维南等效电路（诺顿等效电路将导致相同的结果，因为两者直接等效）模拟的源，其负载电阻为 R_L。源电阻为 R_s，源的开路电压为 v_s

该电路中的电流可以使用欧姆定律找到。

i={\frac {v_{s}}{R_{s}+R_{L}}}

负载电阻上的电压 v_L 可以使用分压定律找到。

v_{L}=v_{s}\,{\frac {R_{L}}{R_{s}+R_{L}}}

现在我们可以找到负载的功率损耗 P_L，如下所示：

P_{L}=v_{L}i={\frac {R_{L}\,v_{s}^{2}}{\left(R_{s}+R_{L}\right)^{2}}}

现在我们可以改写它，以消除顶部的 R_L。

P_{L}={\frac {v_{s}^{2}}{\left({\frac {R_{s}}{\sqrt {R_{L}}}}+{\sqrt {R_{L}}}\right)^{2}}}={\frac {v_{s}^{2}}{R_{s}\left({\frac {\sqrt {R_{s}}}{\sqrt {R_{L}}}}+{\frac {\sqrt {R_{L}}}{\sqrt {R_{s}}}}\right)^{2}}}

假设源电阻不可改变，那么我们通过最小化上述等式中分母的括号部分来获得最大功率。这是一个基本的数学结果， $x+x^{-1}$ 在 x=1 时达到最小值。在这种情况下，它等于 2。因此，在以下条件下，上述表达式最小。

{\frac {\sqrt {R_{s}}}{\sqrt {R_{L}}}}=1

这导致以下条件：

R_{L}=R_{s}\,

如果负载电阻与内部源电阻相同，我们将从源中获得最大功率。这就是 **最大功率传输定理**。

效率

电路的效率 η 是指电路中消耗的所有能量中，消耗在负载上的能量所占的比例。我们可以立即看到，当负载获得最大功率传输时，效率为 0.5，因为源电阻上的电压是其一半。我们还可以看到，即使传输的功率下降，效率也会随着负载电阻的增加而增加。

可以使用以下公式计算效率

\eta ={\frac {P_{L}}{P_{L}+P_{s}}}

其中 P_s 是源电阻中的功率。可以使用 P_L 公式的简单修改来找到它

P_{s}={\frac {v_{s}^{2}}{R_{L}\left({\frac {\sqrt {R_{s}}}{\sqrt {R_{L}}}}+{\frac {\sqrt {R_{L}}}{\sqrt {R_{s}}}}\right)^{2}}}

下图显示了负载中的功率（作为最大功率 P_max 的比例）和 R_L 在 0 到 5 倍 R_s 之间的值的效率。

重要的是要注意，在最大功率传输条件下，源中消耗的功率与负载中消耗的功率一样多。如果，例如，源是电力供应系统，而负载是你的电热器，这不是一个理想的条件。这意味着电力供应公司将浪费它所产生的一半电力。在这种情况下，发电机、电力线等被设计成提供尽可能低的源电阻，从而获得高效率。最大功率传输条件用于（通常是高频）通信系统，其中源电阻无法降低，功率水平相对较低，并且将尽可能多的信号功率传输到系统的接收端（负载）至关重要。

电阻电路分析方法

电路理论

分析方法

当电路变得庞大而复杂时，使用各种方法简化和分析电路非常有用。没有完美的公式来解决电路。根据电路的类型，可以使用不同的方法来解决电路。有些方法可能不起作用，而有些方法在涉及长数学问题方面可能非常困难。解决电路的两种最重要方法是 **节点分析** 和 **网孔电流分析**。这些将在下面解释。

叠加

电路分析领域最重要的原理之一是 **叠加** 原理。它仅适用于线性电路。

**叠加原理** 指出，多个贡献源在线性电路上的总效应等于每个源单独作用时的效应之和。

这意味着什么？通俗地说，这意味着如果我们有一个具有多个源的电路，我们可以一次“关闭”除一个源以外的所有源，然后只用一个源处于活动状态来研究电路。我们对每个源依次执行此操作，然后将每个源的影响加在一起，以获得总影响。在我们使用此原理之前，我们必须了解其背后的数学基础。

必要条件

叠加只能应用于 **线性** 电路；也就是说，电路的所有源都与电路的响应保持线性关系。仅使用一些代数规则，我们就可以建立叠加的数学理解。如果 f 被认为是响应，而 a 和 b 是常数，那么

f(ax_{1}+bx_{2})=f(ax_{1})+f(bx_{2})\,

在电路方面，它清楚地解释了叠加的概念；每个输入可以单独考虑，然后相加以获得输出。只需几个额外的代数性质，我们就可以看到叠加不能应用于非线性电路。在本例中，响应 y 等于输入 x 的平方，即 y=x²。如果 a 和 b 是常数，那么

y=(ax_{1}+bx_{2})^{2}\neq (ax_{1})^{2}+(bx_{2})^{2}=y_{1}+y_{2}\,

注意，这只是无限多个反例中的一个...

逐步操作

使用叠加来找到给定输出可以分解为四个步骤

隔离一个源 - 选择一个源，并将所有剩余的源设置为零。在开路和闭路中解释了“关闭”这些源的后果。总之，关闭电压源会导致短路，而关闭电流源会导致开路。（推理 - 无法通过开路流动电流，并且短路之间没有电压降。）
找到隔离源的输出 - 一旦隔离了源，就可以使用我们迄今为止学习的任何技术来找到所讨论源的响应。
对每个源重复步骤 1 和 2 - 继续选择一个源，将剩余的源设置为零，然后找到响应。重复此过程，直到考虑了每个源。
将输出相加 - 一旦找到每个源的输出，将它们加在一起以找到总响应。

脉冲响应

电路的 **脉冲响应** 可用于确定电路的输出

输出 y 是输入 x 和脉冲响应的 **卷积** h * x

[卷积]

y(t)=(h*x)(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(t-s)x(s)ds

.

如果输入 x(t) 是 **脉冲** ( $\delta (t)$ )，输出 y(t) 将等于 h(t)。

通过了解电路的冲激响应，可以将任何源接入电路，并通过卷积计算输出。

卷积

卷积运算是一个非常复杂的操作，它将两个方程合并成一个单独的结果方程。卷积的定义是通过定积分，因此，求解卷积方程需要积分微积分的知识。本维基教科书不需要预先了解积分微积分，因此不会深入探讨这个主题，只会提供一个简单的定义和一些简单的解释。

定义

两个函数 a 和 b 的卷积 a * b 定义为

(a*b)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }a(\tau )b(t-\tau )d\tau

记住
星号表示卷积，而不是乘法

星号运算符用于表示卷积。许多计算机系统，以及经常在计算机上编写数学的人，通常使用星号来表示简单的乘法（在许多编程语言中，星号是乘法运算符），但是这里必须做出重要的区别：星号运算符表示卷积。

性质

卷积是可交换的，也就是说 $a*b=b*a$ 。卷积也对加法分配，即 $a*(b+c)=a*b+a*c$ ，并且结合，即 $a*(b*c)=(a*b)*c$ .

系统和卷积

假设我们有以下的框图系统

	x(t) = 系统输入 h(t) = 冲激响应 y(t) = 系统输出

其中 x(t) 是电路的输入，h(t) 是电路的冲激响应，y(t) 是输出。在这里，我们可以通过将冲激响应与电路的输入进行卷积来找到输出。因此，我们看到电路的冲激响应不仅仅是输出与输入的比值。然而，在频域中，输出中频率为 ω 的分量是输入中具有相同频率的分量与该频率下的转移函数的乘积。故事的寓意是：电路的输出是输入与冲激响应的卷积。

电容器和电感器

电阻器、导线和电源不是唯一的无源电路元件。电容器和电感器也是常见的无源元件，可以用来存储和释放电路中的电能。我们将使用之前学习的分析方法来理解这些复杂的电路元件。

储能元件

电路理论/储能元件

一阶电路

电路理论

一阶电路

一阶电路是指仅包含一个储能元件（电容器或电感器）的电路，因此可以用一阶微分方程来描述。两种可能的一阶电路类型是

RC（电阻器和电容器）
RL（电阻器和电感器）

RL 和 RC 电路是指具有以下特征的电路：a) 电阻器和电感器 (RL)，或 b) 电阻器和电容器 (RC)。

RL 电路

RL 电路至少包含一个电阻器 (R) 和一个电感器 (L)。这些可以并联或串联排列。电感器的求解最好考虑流过电感器的电流。因此，我们将电阻元件和电源组合成一个诺顿源电路。然后，电感器将成为电路的外部负载。我们记得电感器的方程

v(t)=L{\frac {di}{dt}}

维基百科在 RL 电路 中提供相关信息

如果我们在形成电压源正极的节点上应用 KCL，我们可以求解得到以下微分方程

i_{source}(t)={\frac {L}{R_{n}}}{\frac {di_{inductor}(t)}{dt}}+i_{inductor}(t)

我们将在后面的章节中介绍如何求解微分方程。

RC 电路

维基百科在 RC 电路 中提供相关信息

RC 电路是指同时包含电阻器 (R) 和电容器 (C) 的电路。与 RL 电路类似，我们将电阻器和电源组合到电路的一侧，并将它们组合成一个等效的戴维宁源。然后，如果我们在产生的回路周围应用 KVL，我们将得到以下方程

v_{source}=RC{\frac {dv_{capacitor}(t)}{dt}}+v_{capacitor}(t)

一阶解

串联 RL

串联 RL 电路的微分方程

L{\frac {dI}{dt}}+IR=0

{\frac {dI}{dt}}=-I{\frac {R}{L}}

{\frac {1}{I}}dI=-{\frac {R}{L}}dt

\int {\frac {1}{I}}dI=-{\frac {R}{L}}\int dt

lnI=-{\frac {R}{L}}t+C

I=e^{-{\frac {R}{L}}t+C}

I=Ae^{-{\frac {R}{L}}t}\quad A=e^{C}

时间 (t)	电流 (I(t))
1 ${\frac {R}{L}}$	36% A
2 ${\frac {R}{L}}$	14% A
3 ${\frac {R}{L}}$	5% A
4 ${\frac {R}{L}}$	2% A
5 ${\frac {R}{L}}$	0.7% A

串联 RC 电路

串联 RC 电路的微分方程

C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0

{\frac {dV}{dt}}=-V{\frac {1}{RC}}

{\frac {1}{V}}dV=-{\frac {1}{RC}}dt

\int {\frac {1}{V}}dV=-{\frac {1}{RC}}\int dt

lnV=-{\frac {1}{RC}}t+C

V=e^{-{\frac {1}{RC}}t+C}

V=Ae^{-{\frac {1}{RC}}t}\quad A=e^{C}

时间 (t)	电压 (V(t))
1 ${\frac {1}{RC}}$	36% V
2 ${\frac {1}{RC}}$	14% V
3 ${\frac {1}{RC}}$	5% V
4 ${\frac {1}{RC}}$	2% V
5 ${\frac {1}{RC}}$	0.7% V

时间常数

串联 RL 和 RC 具有时间常数

T={\frac {L}{R}}

T={\frac {RC}{1}}

一般来说，从工程的角度来看，我们说系统在经过五个时间常数的时间段后，就处于稳态（电压或电流几乎处于接地电平）。

RLC 电路

电路理论

维基百科在 RLC 电路 中有相关信息。

串联 RLC 电路

二阶微分方程

L{\frac {dI}{dt}}+IR+{\frac {1}{C}}\int Idt=V

{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dI}{dt}}+{\frac {I}{LC}}=0

特征方程是

s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}=0

s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}

其中

\alpha ={\frac {R}{2L}}

\beta ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

当 ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}=0$

\alpha ^{2}=\beta ^{2};R=2{\sqrt {\frac {L}{C}}}

该方程只有一个实根。

s=-\alpha =-{\frac {R}{2L}}

对于

I(t)=Ae^{-{\frac {R}{2L}}t}

的解

I - t 曲线看起来像

当 ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0$

\alpha ^{2}>\beta ^{2};R>{\frac {L}{C}}

该方程式有两个实根。

s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}

对于

I(t)=e^{\left(-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}\right)t}+e^{\left(-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}\right)t}=e^{-\alpha }\left[e^{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}+e^{-{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}\right]

I - t 曲线看起来像

当 ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}<0$

\alpha ^{2}<\beta ^{2};R<{\frac {L}{C}}

该方程式有两个复根。

s=-\alpha \pm j{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}

对于

I(t)=e^{\left(-\alpha +{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}t\right)}+e^{\left(-\alpha -{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}t\right)}=e^{-\alpha }\left[e^{j\left({\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}t\right)}+e^{-j\left({\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}t\right)}\right]

I - t 曲线看起来像

阻尼系数

阻尼系数是指电路振荡随时间逐渐衰减的程度。我们定义阻尼比为

电路类型	串联 RLC	并联 RLC
阻尼系数	$\zeta ={R \over 2}{\sqrt {C \over L}}$	$\zeta ={1 \over 2R}{\sqrt {L \over C}}$
谐振频率	$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$	$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$

将阻尼系数与谐振频率进行比较，可以得出不同类型的电路：过阻尼、欠阻尼和临界阻尼。

带宽

[带宽]

\Delta \omega =2\alpha

对于串联 RLC 电路

\Delta \omega =2\alpha ={R \over L}

对于并联 RLC 电路

\Delta \omega =2\alpha ={1 \over RC}

品质因数

[品质因数]

Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\alpha }

对于串联 RLC 电路

Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\alpha }={L \over R{\sqrt {LC}}}={1 \over R}{\sqrt {L \over C}}

对于并联 RLC 电路

Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\alpha }={RC \over {\sqrt {LC}}}={R}{\sqrt {C \over L}}

稳定性

由于电感和电容对不同输入的响应不同，电路在受到特定类型和幅度的输入时，其响应可能会趋于无穷大。当电路的输出趋于无穷大时，我们就说该电路 **不稳定**。不稳定电路实际上可能很危险，因为不稳定元件会过热并可能破裂。

当一个“良好”的输入产生一个“良好”的输出响应时，我们就认为该电路是稳定的。我们根据不同的应用对“良好”的定义有所不同，但通常情况下，“良好”意味着有限且可控的量。

谐振

当 R = 0 时

当 R = 0 时，电路简化为一个串联 LC 电路。当电路处于谐振状态时，电路将在谐振频率下振荡。

Z_{L}=Z_{C}

\omega L={\frac {1}{\omega C}}

\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

f={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}

电路会振荡，并可能产生驻波，这取决于驱动信号的频率、振荡波的波长和电路的几何形状。

当 R ≠ 0 时

当 R ≠ 0 且电路处于谐振状态时。

与频率相关的元件 L、C 会相互抵消，即 Z_L - Z_C = 0，因此电路的总阻抗为

Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}=R+[Z_{L}-Z_{C}]=R+0=R

电路的电流为

I={\frac {V}{R}}

工作频率为

\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

如果将电阻值加倍，电流减半，则

I={\frac {V}{2R}}

电路将在从

\omega _{1}-\omega _{2}

的频率范围内保持稳定

该电路能够选择带宽，其中电路是稳定的。因此，它最适合用于调谐谐振选择带宽滤波器。

一旦使用 L 或 C 将电路调谐到谐振频率 $f={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ ，电流达到最大值 $I={\frac {V}{R}}$ 。降低超过 $I={\frac {V}{2R}}$ 的电流，电路将对比 $\omega _{1}-\omega _{2}$ 更窄的带宽做出响应。降低低于 $I={\frac {V}{2R}}$ 的电流，电路将对比 $\omega _{1}-\omega _{2}$ 更宽的带宽做出响应。

结论

电路	概述	串联 RLC	并联 RLC
电路
阻抗	Z	$Z=(j\omega )^{2}+(j\omega ){\frac {R}{L}}+{\frac {1}{LC}}$	$Z={\frac {1}{RLC}}{\frac {1}{(j\omega )^{2}+j\omega {\frac {1}{RC}}+{\frac {1}{LC}}}}$
根	λ	λ = $-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{o}^{2}}}$	λ = $-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{o}^{2}}}$
电流 (I(t))	Ae^λ₁t + Be^λ₂t	Ae^λ₁t + Be^λ₂t	Ae^λ₁t + Be^λ₂t
阻尼系数	$\alpha$	$\alpha ={R \over 2L}$	$\alpha ={1 \over 2RC}$
谐振频率	$\omega _{o}$	$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$	$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$
带宽	$\Delta \omega =2\alpha$	${R \over L}$	${1 \over CR}$
品质因数	$Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\alpha }$	$Q={L \over R{\sqrt {LC}}}={1 \over R}{\sqrt {L \over C}}$	$Q={CR \over {\sqrt {LC}}}={R}{\sqrt {C \over L}}$

二阶电路解决方案

电路理论

== 二阶解决方案

本页将讨论二阶 RLC 电路的解决方案。二阶解相对复杂，要完全理解它需要对微分方程有了解。本书不会要求您了解微分方程，因此我们将描述解决方案，但不会展示如何推导出它们。推导可能会被放到另一个章节中，最终。

本章的目的是开发二阶电路的完整响应。确定完整响应涉及许多步骤。

获得电路的微分方程
确定谐振频率和阻尼比
获得电路的特征方程
找到特征方程的根
找到自然响应
找到强迫响应
找到完整响应

我们将逐一讨论所有这些步骤。

寻找微分方程

二阶电路必须在获得描述电路的二阶微分方程后才能求解。我们将在此讨论一些用于获得 RLC 电路的二阶微分方程的技术。

注意: 使用电压中的常微分方程（基尔霍夫电压定律的结果），更容易求解并联 RLC 电路，而使用电流中的常微分方程（基尔霍夫电流定律的结果）更容易求解串联 RLC 电路。

直接法

找到电路微分方程最直接的方法是对电路进行节点分析或网孔电流分析，然后对输入函数求解。最终方程只应包含导数，不包含积分。

变量法

如果我们创建两个变量 g 和 h，我们可以用它们来创建一个二阶微分方程。首先，我们将 g 和 h 设置为电感电流、电容电压或两者。接下来，我们创建具有 g = f(g, h) 的单个一阶微分方程。然后，我们写另一个具有以下形式的一阶微分方程

{\frac {dh}{dt}}=Kg

或

{\frac {1}{K}}{\frac {dh}{dt}}=g

接下来，我们将第二个方程代入第一个方程，得到一个二阶方程。

零输入响应

电路的零输入响应是电路在没有激励函数（没有电流输入，也没有电压输入）的情况下，电路的状态。我们可以将微分方程设置为

{{d^{2}i} \over {dt^{2}}}+2\zeta {{di} \over {dt}}+\omega _{o}^{2}i(t)=0

这会导致电路的特征方程，将在下面解释。

特征方程

RLC 电路的特征方程是使用下面描述的“算符方法”获得的，零输入。RLC 电路（串联或并联）的特征方程将是

s^{2}i+{R \over L}si+{1 \over {LC}}i=0

特征方程的根是我们正在寻找的“解”。

寻找特征方程

获得特征方程的方法需要一点技巧。首先，我们创建一个运算符 s，使得

sx={\frac {dx}{dt}}

此外，我们可以将高阶运算符表示为

s^{2}x={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}

其中 x 是电路源的电压（在串联电路中）或电流（在并联电路中）。我们为电路中的电感电流和/或电容电压写出 2 个一阶微分方程。我们将所有微分转换为 s，并将所有积分（如果有）转换为 (1/s)。然后，我们可以使用克莱姆法则来求解解。

解决方案

特征方程的解用谐振频率和阻尼比表示

[特征方程解]

s=-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-\omega _{o}^{2}}}

如果这两个值中的任何一个用于假设解中的s $x=Ae^{st}$ ，并且该解完成了微分方程，那么它可以被认为是一个有效的解。我们将在下面对此进行更多讨论。

阻尼

电路的解取决于电路表现出的阻尼类型，这由阻尼比和谐振频率之间的关系决定。阻尼的不同类型是过阻尼、欠阻尼和临界阻尼。

过阻尼

当以下条件成立时，电路被称为过阻尼

\zeta >\omega _{0}

在这种情况下，特征方程的解是两个不同的正数，由以下公式给出：

I(t)=Ae^{\ s_{1}t}+Be^{\ s_{2}t}

，其中

s_{1},s_{2}=-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}

在并联电路中

\zeta =1/(2RC)

\omega _{0}=1/{\sqrt {(LC)}}

在串联电路中

\zeta =R/(2L)

\omega _{0}=1/{\sqrt {(LC)}}

过阻尼电路的特点是具有非常长的建立时间，并且可能具有较大的稳态误差。

欠阻尼

当阻尼系数小于谐振频率时，电路被称为欠阻尼。

\zeta <\omega _{0}

在这种情况下，特征多项式的解是复共轭。这导致电路中出现振荡或振铃。该解由两个共轭根组成：

\lambda _{1}=-\zeta +i\omega _{c}

和

\lambda _{2}=-\zeta -i\omega _{c}

其中

\omega _{c}={\sqrt {-(\omega _{o}^{2}-\zeta ^{2})}}

这些解是

i(t)=Ae^{(-\zeta +i\omega _{c})t}+Be^{(-\zeta -i\omega _{c})t}

对于任意常数A和B。使用欧拉公式，我们可以将解简化为

i(t)=e^{-\zeta t}\left[C\sin(\omega _{c}t)+D\cos(\omega _{c}t)\right]

对于任意常数C和D。这些解的特点是指数衰减正弦响应。品质因数（如下）越高，振荡衰减所需的时间就越长。

临界阻尼

如果阻尼系数（或实际阻尼与临界阻尼之比）等于 1，则电路被称为临界阻尼。

\zeta =1

在这种情况下，特征方程的解是二重根。两个根是相同的（ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda$ ），解为

I(t)=(A+Bt)e^{\lambda t}

对于任意常数A和B。临界阻尼电路通常具有低过冲、无振荡和快速稳定时间。

串联 RLC

一个具有恒定电压源V、电阻R、电容C和电感L的简单串联电路的微分方程为

L{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+R{\frac {dq}{dt}}+{1 \over C}q=0

然后，特征方程如下

Ls^{2}+Rs+{1 \over C}=0

有两个根

s_{1}=-{R \over 2L}+{\sqrt {({R \over 2L})^{2}-{1 \over LC}}}

和

s_{2}=-{R \over 2L}-{\sqrt {({R \over 2L})^{2}-{1 \over LC}}}

并联 RLC

一个具有电阻R、电容C和电感L的并联RLC电路的微分方程如下

C{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {1}{R}}{\frac {dv}{dt}}+{1 \over L}v=0

其中v是电路上的电压。然后，特征方程如下

Cs^{2}+{1 \over R}s+{1 \over L}=0

有两个根

s_{1}=-{1 \over 2RC}+{\sqrt {({1 \over 2RC})^{2}-{1 \over LC}}}

和

s_{2}=-{1 \over 2RC}-{\sqrt {({1 \over 2RC})^{2}-{1 \over LC}}}

电路响应

一旦我们有了微分方程和特征方程，我们就可以组装电路响应的数学形式。RLC电路具有以下形式的微分方程

a_{2}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=f(t)

其中f(t)是RLC电路的激励函数。

自然响应

电路的自然响应是指给定电路对零输入的响应（即仅取决于初始条件值）。电路的自然响应将表示为x_n(t)。系统的自然响应必须满足电路的无迫微分方程

[无迫函数]

a_{2}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0

我们记得这个方程是我们在上面讨论的“零输入响应”。我们现在定义自然响应为指数函数

x_{n}=A_{1}e^{st}+A_{2}e^{st}

其中 *s* 是电路特征方程的根。选择 *x_n* 的这种特定解的原因是基于微分方程理论，我们暂时先接受它，不做证明。我们可以使用两个方程组来求解常数值

x(0)=A_{1}+A_{2}

{\frac {dx(0)}{dt}}=s_{1}A_{1}+s_{2}A_{2}

其中 *x* 是电压（并联电路中的元件）或电流（串联电路中的元件）。

强迫响应

电路的**强迫响应**是指电路对输入强迫函数的响应方式。强迫响应记为 *x_f(t)*。

其中强迫响应必须满足强迫微分方程

[强迫函数]

a_{2}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=f(t)

强迫响应是基于输入函数的，因此我们无法给出它的通用解。但是，我们可以为不同的输入提供一组解

输入形式	输出形式
K （常数）	A （常数）
$M\sin(\omega t)$	$A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$
$Me^{-at}$	$Ae^{-at}$

完全响应

电路的**完全响应**是强迫响应和系统自然响应的总和

[完全响应]

x_{c}(t)=x_{t}(t)+x_{s}(t)

一旦我们推导出电路的完全响应，我们就可以说我们已经“解决了”电路，并且完成了工作。

当电路中没有 R 时，二阶电路 (LC) 被认为是 a=1/2RC （如果电路是并联的）= 0，因此电路将处于欠阻尼状态，因为 a=0 且 omega 的值大于零

互感

电路理论

磁场

电感器以磁场形式储存能量。电感器的磁场实际上会延伸到电感器的外部，并且会受到附近其他电感器的影响（或会影响其他电感器）。上面的图像显示了围绕电感器的磁场（红线）。

互感

如果我们不小心或有意地将两个电感器靠近放置，我们实际上可以将电压和电流从一个电感器转移到另一个电感器。这种特性称为**互感**。利用互感来改变电压或电流输出的装置称为**变压器**。

产生磁场的电感器称为*初级线圈*，拾取磁场的电感器称为*次级线圈*。变压器旨在通过将两个线圈绕在同一个*磁芯*上，获得最大的互感。（在电感计算中，我们需要知道哪些材料形成了磁通量的路径。*空芯*线圈的电感很低；铁或其他磁性材料的磁芯是磁通量的更好的“导体”。）

次级线圈中出现的电压是由共享磁场的*变化*引起的，每次初级线圈中的电流变化时都会发生变化。因此，变压器工作在交流电源上，因为电压和电流不断变化。

理想变压器

现代电感器

当匝数为 N₁ 的线圈通电时。线圈上存在磁场 B。B 的变化会在线圈 N₁ 和 N₂ 的匝数上产生感应电压，如图所示

-ξ_p = $N_{p}{\frac {dB}{dt}}$
-ξ_s = $N_{s}{\frac {dB}{dt}}$

-ξ₂ 与 -ξ₁ 的比率

-ξ_p / -ξ_s = ${\frac {N_{p}}{N_{s}}}$

如果输入到匝数为 N_p 的线圈的电压为 -ξ_p，则输出电压将为

{\frac {V_{s}}{V_{p}}}

= -ξ_s / -ξ_p =

{\frac {N_{s}}{N_{p}}}

$V_{s}=V_{p}{\frac {N_{s}}{N_{p}}}$

因此，这个器件能够通过改变线圈的匝数比来升压、降压和传导电压。

所以，输出电压可以

通过增加线圈 N_s 的匝数（大于 N_p）来升压或升压。
通过减少线圈 N_s 的匝数（小于 N_p）来降压或降压。
通过设置线圈 N_s 的匝数等于 N_p 来缓冲。

下面的照片展示了电感器和变压器结构的几个例子。右上角是一个环形磁芯类型（环形是甜甜圈形状的数学术语）。这种形状非常有效地包含了磁通量，因此更少的能量（或信号）会损失到磁芯发热。

升压和降压

术语“升压”和“降压”用于比较二次（输出）电压和提供给一次的电压。

许多变压器是专门设计用于专门作为升压或降压变压器。虽然理想变压器可以简单地“反转”，但我们发现许多实际变压器是为在特定电压和电流范围内最佳运行而设计的。

例如，一个电源变压器可以用来将家用交流电（约 120 伏）降压到 24 伏，用于家庭供暖控制等。在这个例子中，输出电流高于一次电流，因此变压器是用二次绕组中更粗的线规制成的。

在处理超高电压的变压器中，需要特别注意绝缘。处理数千伏电压的绕组必须能够抵抗电弧和其他我们在家里看不到的问题。

最后，电子设备中的一些变压器是为被称为“阻抗匹配”的任务而设计的，而不是为特定的输入/输出电压而设计的。这个功能在涉及音频和无线电主题的文献中有所解释。

进一步阅读

电子/变压器

（本节尚未撰写）

状态变量方法

电路理论

需要新的技术来解决二阶及更高阶电路

符号解太复杂了，仅仅比较答案只是一个练习
解析解技术更加零散
常数、初始条件和电路布局之间的关系变得复杂

如果电路分析要

超越理想
考虑更复杂的电路
了解电路建模软件的局限性和近似值

解决方案是“状态变量”。在进行状态变量分析后，通过消除对输出没有重大影响的项，可以简化创建符号解的步骤。

状态空间

状态空间方法是一种电路理论方法，它放弃了电路分析的符号/解析方法。状态变量模型涉及以矩阵形式描述电路，然后使用诸如级数展开、辛普森规则和克莱姆法则之类的工具进行数值求解。这是 MATLAB 的最初起点。

状态

“状态”是指电路能量存储元件的“条件”或“状态”。由于电阻器不会（理想情况下）改变，也不会存储能量，因此它们不会改变电路的状态。状态是电流和电压在时间上的快照。“状态空间”分析的目标是创建一个描述所有可能状态的符号。

状态变量

用于描述所有状态的符号应该尽可能简单。与其试图找到一个复杂的、高阶的微分方程，不如回到类似于基尔霍夫分析的方法，只是写出端点方程。

状态变量是电容器两端的电压和电感器中的电流。这意味着纯电阻电路的割集被压缩成单个电阻器，最终与电感器串联或与电容器并联。与其使用符号 v 和 i 来表示这些未知数，不如将它们都称为 x。使用基尔霍夫方程代替节点或回路方程。端点方程被代入基尔霍夫方程中，这样剩余电阻器的电流和电压就会与电感器和电容器共享。

状态空间模型

这个状态空间模型描述了输入（阶跃函数 μ(t)，初始条件 X(0)）、输出 Y(t) 以及 A、B、C 和 D。A-B-C-D 是传递函数，它们组合如下

{\frac {\mathbb {Y} }{\mathbb {\mu } }}=B(s)\left({\frac {1}{s-A(s)}}\right)C(s)+D(s)

控制系统课程教授如何从所需的传递函数构建这些框图。积分“记住”或积累过去状态的历史。导数预测未来状态，而这两种状态以及当前状态都可以分别进行缩放。“A”代表反馈。“D”代表前馈。还有很多东西要学。

不要试图弄清楚分母中负号是如何出现的，以及加法项是如何出现的。上述方法如何帮助我们预测电路中的电压和电流？让我们从定义术语并做一些例子开始。

A 是一个方阵，表示电路元件（来自基尔霍夫方程）。
B 是一个列矩阵或向量，表示源如何影响电路（来自基尔霍夫方程）。
C 是一个行矩阵或向量，表示输出是如何计算的（可以是电压或电流）。
D 是一个单个数，表示源的倍数……通常为零，除非源通过电阻器直接连接到输出。

A 和 B 描述了电路的总体情况。如果 X 是一个列矩阵（向量），表示所有未知的电压和电流，那么

{\boldsymbol {\dot {X}}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {\mu }}

此时，X 已知，表示一个关于时间的函数列。输出可以使用已知的 X 和原始阶跃函数 μ 通过 C 和 D 推导出

y={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {X}}+D*{\boldsymbol {\mu }}

MatLab 实现

文件：MatLabSimulinkStateSpace.png

MATLAB 和 Simulink 工具箱的屏幕截图，展示如何获取用于 WikiBook 电路分析的状态空间模块。

如果没有像 MATLAB 这样的工具，我们无法取得进展。以下是相关的 MATLAB 控制系统工具箱命令。

step(A,B,C,D) 假设初始条件为零。
initial(A,B,C,D,X(0)) 与 step 相同，但会考虑初始条件 X(0)。

此外，还有一个名为“状态空间”的 Simulink 模块，可以以相同的方式使用。

视频介绍

进一步阅读

控制系统 / 状态空间方程
MATLAB 帮助链接

正弦波源

我们之前分析过的电路是直流电路，其中恒定电压或电流被施加到电路。在接下来的章节中，我们将讨论交流电 (AC) 的主题，它利用正弦波激励函数来激励电路。

正弦波源

电路理论

稳态

“稳态”意味着在本节中我们不处理电路的开启或关闭。我们假设电路在很久以前就已开启，并且正在以某种模式运行。我们正在计算模式将是什么样子。“复频”部分模拟用指数函数开启和关闭电路。

正弦波激励函数

让我们考虑一个通用的交流激励函数。

v(t)=M\sin(\omega t+\phi )

在这个等式中，项 M 被称为“幅度”，它充当一个缩放因子，允许正弦波的峰值高于或低于 +/- 1。项 ω 被称为“角频率”。项 φ 是一个称为“相位”的偏移参数。

正弦波源可以是电流源，但最常见的是电压源。

其他术语

在接下来的许多部分中，我们将使用一些其他术语，因此我们将在这里介绍它们。

周期: 正弦函数的周期是正弦波完成一个完整波形所需的时间，以秒为单位。正弦波的周期始终用大写字母 T 表示。这不要与小写字母 t 混淆，小写字母 t 用作时间的自变量。

频率: 频率是周期的倒数，即正弦波每秒完成一个完整循环的次数。频率以赫兹 (Hz) 为单位。频率和周期之间的关系如下所示。

f={\frac {1}{T}}

其中 f 是最常用来表示频率的变量。

角频率: 角频率是用弧度每秒而不是赫兹来表示的频率值。角频率用变量 $\omega$ 表示。频率和角频率之间的关系如下所示。

\omega =2\pi f

相位: 相位是正弦波时间位移的量，以弧度表示。相位偏移 $\phi =+2\pi$ 的正弦波向前移动了一个完整的周期，看起来完全相同。要记住的一个重要事实是

\sin({\frac {\pi }{2}}-t)=\cos(t)

或者

\sin(t)=\cos(t-{\frac {\pi }{2}})

相位通常用许多不同的变量表示，包括 $\phi ,\psi ,\theta ,\gamma$ 等等。本 WikiBook 将尽量坚持使用符号 $\phi$ ，以防止混淆。

超前和滞后

电路元件可能在其端子上同时存在电压和电流流过。如果两者之一（电流或电压）是正弦波，则另一个也必须是正弦波（记住，电压是电流的导数，而正弦波的导数始终是正弦波）。但是，电压和电流的正弦波在幅度和相位上可能有所不同。

如果电流的相位角低于电压的相位角，则称电流滞后于电压。如果电流的相位角高于电压的相位角，则称电流超前于电压。许多电路可以使用滞后和超前概念进行分类和检查。

正弦波响应

无功元件（电容器和电感器）将像电阻一样从电路中吸收能量，然后像电源一样将其中一部分能量泵回电路中。结果最初是混乱的。但过了一段时间（5 个时间常数），电路开始以某种模式运行。电容器和电感器进入一种反映驱动源的节奏。如果源是正弦波，则电流和电压将是正弦波。这被称为“特定”或“稳态”响应。一般而言，

A_{in}\cos(\omega _{in}t+\phi _{in})\to A_{out}\cos(\omega _{out}t+\phi _{out})

最初会发生什么，如果电容器最初带电会发生什么，如果源在电路中接通和断开会发生什么，那就是存在能量不平衡。电压或电流源可能被电容器中的初始能量充电。电感器上的电压导数可能瞬间改变极性。很多事情正在发生。我们将把这些留到以后。这里我们首先处理稳态或“特定”响应。

正弦波约定

为了本书的目的，我们通常使用余弦函数，而不是正弦函数。如果我们绝对需要使用正弦函数，我们可以记住以下三角恒等式。

\cos(\omega t)=\sin(\pi /2-\omega t)

我们可以将所有正弦函数表示为余弦函数。这样，我们就不用将苹果和橘子进行比较。这仅仅是本维基教科书为了简化而选择的一种约定。我们也可以选择使用所有 sin( ) 函数，但从长远来看，使用余弦函数作为默认选项通常会更方便。

正弦波源

有两种主要的正弦波源：墙上插座和振荡器。振荡器通常是晶体，它们会以电气方式振动，并在电视、计算机、手机、收音机等通信或显示视频的设备中使用。电气工程师或技术人员的工作区域通常会包括一个"函数发生器"，它可以产生许多频率的振荡，并且形状不只是正弦波。

RMS 或均方根是一个振幅测量值，它根据功率、电机强度、光亮度等与直流幅度进行比较。问题是存在几种类型的交流振幅

峰值
峰峰值
平均值
RMS

墙上插座被称为交流电或交流电。墙上插座是正弦波电压源，在世界范围内，电压范围从 100 RMS 伏特 50 赫兹到 240 RMS 伏特 60 赫兹。RMS 而不是峰值（从数学角度来说更有意义）被用来描述幅度，原因有几个

与爱迪生（直流电）和特斯拉（正弦波或交流电）之间的竞争相关的历史原因
为了比较/关联交流电（墙上插座）和直流电（汽车、电池）...100 RMS 伏特大致等于 100 直流伏特。
平均正弦波为零
计量器运动（测量设备上的物理指针移动）被设计为测量直流电和 RMS 交流电

RMS 是一种平均值： $p_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[p(t)]}^{2}\,dt}}}$

电力输送是一个复杂的主题，在本课程中不会涉及。我们试图定义术语，设计使用电力的设备，并清楚地了解从墙上插座中输出的内容。

相量表示

电路理论

本书包含数学公式，这些公式看起来更好以 PNG 格式渲染。

相量

变量

变量的定义方式相同。但存在差异。以前变量要么是“已知”，要么是“未知”。现在有一种介于两者之间的状态。

此时，需要回顾一下常数函数（一个数字）和变量函数（随时间变化）的概念。请参阅此学生教授对话。已知量用函数表示，未知量根据已知量计算，也是函数。

例如

v(t)=M_{v}\cos(\omega t+\phi _{v})

随时间变化的电压

这里 $v(t)$ 是函数的符号。它被分配了符号 $M_{v},\omega ,\phi _{v}$ 和 $t$ 的函数。通常不会求解时间。

时间仍然是未知的。此外，所有功率、电压和电流都变成了时间的方程。时间不会被求解。由于时间无处不在，它可以从方程中消除。积分和导数变成了代数，答案可以是纯粹的数字（在时间被添加回来之前）。

在最后，时间被放回电压、电流和功率中，最终的解是时间的函数。

本课程中的大部分数学都有这些步骤

在时域内描述已知量和未知量，描述所有方程
将已知量转换为相量，消除方程中的导数和积分
在相量域内对未知量进行数值或符号求解
将未知量转换回时域

无源电路的输出类似于输入

如果线性电路的输入是正弦波，那么电路的输出将是正弦波。具体来说，如果我们有这样的电压正弦波

v(t)=M_{v}\cos(\omega t+\phi _{v})

那么通过线性电路的电流也将是正弦波，尽管其幅度和相位可能不同。

i(t)=M_{i}\cos(\omega t+\phi _{i})

请注意，电压和电流都是具有相同角频率的正弦波，但幅度和相位角不同。无源电路元件不能改变正弦波的频率，只能改变幅度和相位。那么为什么我们需要在每个方程中都写 $\omega$ ，因为它不会改变呢？同样，为什么我们需要写出 cos( ) 函数，因为它也不会改变呢？这些问题的答案是，我们不需要每次都写这些东西。 相反，工程师已经创造了一种写这些函数的简写方法，称为“相量”。

相量变换

相量是一种“变换”。我们正在变换电路数学，使时间消失。想象一下去一个没有时间的地方。

我们知道，任何函数都可以写成一系列不同频率和幅度的正弦波叠加在一起。（搜索傅里叶变换动画）。整个世界都可以用正弦波构建。因为正弦波是重复的，所以你观察它的具体时间并不重要；重要的是你观察的位置相对于周期的开始位置。这里，我们观察了一个正弦波，重复的性质（ $\omega$ ）被剥离了。剩下的就是相量。由于时间是由圆组成的，如果我们只考虑其中一个圆，我们可以进入一个时间不存在，圆是“事物”的世界。不要使用“世界”这个词，请用“域”或“平面”来表示二维空间。

相量域中的数学几乎与直流电路分析相同。这非常方便，因为它意味着你不需要每次想要解决电路时都去解微分方程。不同之处在于，电感和电容会有影响，需要考虑在内。

将信号转换到相量平面或域以及从时间域转换回来是基于欧拉公式。这也是你在过去的数学课上学习复数的原因。

欧拉公式

欧拉从这三个级数开始。显然它们之间存在关系

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots

他做了以下操作

e^{ix}=1+ix+{\frac {i^{2}x^{2}}{2!}}+{\frac {i^{3}x^{3}}{3!}}+{\frac {i^{4}x^{4}}{4!}}+{\frac {i^{5}x^{5}}{5!}}+\cdots

e^{ix}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-i{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+i{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-i{\frac {x^{7}}{7!}}\cdots

e^{ix}=(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots )+i(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots )

e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)

令 x = π，则

e^{i\pi }=-1

欧拉公式在数学、物理和工程领域无处不在。物理学家理查德·费曼将该公式称为“我们的宝石”和“数学中最非凡、最令人惊叹的公式之一”。

欧拉公式更一般的形式为

Me^{j(\omega t+\phi )}=M\cos(\omega t+\phi )+jM\sin(\omega t+\phi )

这个公式使我们能够将正弦曲线视为复指数函数。用角频率和相位角表示的电压、电流或功率等循环函数，转化为在相量域/平面中具有长度 $\mathbb {C}$ （幅值）和角度 $\phi$ （相位）的箭头，或是在复数域/平面中具有实部 ( $X$ ) 和虚部 ( $Y$ ) 坐标的点。

通常，相量 $\mathbb {C}$ （可能是电压、电流或功率）可以写成

\mathbb {C} =X+jY

（直角坐标）

\mathbb {C} =M_{v}\angle \phi

（极坐标）

我们可以在复数平面上绘制点 (X, Y)，并绘制一个指向它的箭头，以显示 $X,Y,\mathbb {C}$ 和 $\phi$ 之间的关系。

利用这一事实，我们可以使用函数得到从复数平面原点到点 (X, Y) 的角度

[角度方程]

\theta _{C}=\arctan({\frac {Y}{X}})

并且使用勾股定理，我们可以找到 C 的大小——从原点到点 (X, Y) 的距离——为

[勾股定理]

M_{C}=|\mathbb {C} |={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}

.

相量符号

相量不考虑频率信息或偏移量，因此请确保将频率和偏移量记录在安全的地方。

假设在时域中

v(t)=M_{v}e^{j(\omega t+\phi )}

在相量域中，此电压表示如下

\mathbb {V} =M_{v}\angle \phi

径向速度 $\omega$ 从已知函数（不包括导数和积分运算）中消失，并在未知量的时域表达式中重新出现。

不是向量？

有些人认为相量是向量。请注意，相量图在灵感、数学或概念方面都不如向量空间或场空间丰富。相量只是一个数字，可能是一个虚数。相量图用于“解释”虚数是什么。相量可以相除、相乘、相加和相减。它们是一维的东西。

相量的数学运算与普通数学完全相同，只是使用了虚数。向量需要新的数学运算，如点积和叉积。例如，北可以除以东或减去西吗？

有关更多详细信息，请参见 http://en.wikipedia.org/wiki/Phasor_(electronics) 或阅读有关此争议的信息，请访问 https://www.quora.com/What-is-difference-b-w-phasor-diagram-and-vector-diagram

向量的点积求出一个向量在另一个向量上的投影。
向量的叉积将两个向量组合成一个与这两个向量都垂直的第三个向量。

这些乘积也适用于相量，如电机定子和转子中的交流电流的相量，其结果是产生扭矩，所有这些都可以用向量乘积来精确地表示。

余弦约定

在本书中，所有相量对应于 **余弦** 函数，而不是 **正弦** 函数。

重要的是要记住相量映射到的三角函数。由于相量只包含幅度和相位角信息，因此不可能知道给定的相量是映射到 sin( ) 函数，还是映射到 cos( ) 函数。按照惯例，此维基教科书以及大多数电子文本/文档映射到余弦函数。

如果您最终得到一个 sin 答案，请通过减去 90 度将其转换为 cos

\sin(\omega t+\phi )=\cos(\omega t+\phi -{\frac {\pi }{2}})

如果您的模拟器要求源以 sin 形式表示，但起点是 cos，则通过添加 90 度将其转换为 sin

\cos(\omega t+\phi )=\sin(\omega t+\phi +{\frac {\pi }{2}})

相量概念

在相量域中，概念出现并被命名。电感器和电容器可以与其导数算子变换耦合，并以称为“电抗”的虚阻抗形式出现。电阻和电抗的组合称为“阻抗”。阻抗可以被看作是一个相量，尽管从技术上讲它不是。功率概念，如实功率、无功功率、视在功率和功率因数，出现在相量域中。数字数学可以在相量域中完成。符号可以在相量域中进行操作。

相量数学

有关相量的更多信息，请参见
附录

相量数学变成了虚数数学，下面将对其进行回顾。

相量 A 可以乘以相量 B

[相量乘法]

\mathbb {A} \times \mathbb {B} =(M_{a}\times M_{b})\angle (\phi _{a}+\phi _{b})

相位角相加，因为在时域中，它们是两个相乘的事物的指数。

[相量除法]

\mathbb {A} /\mathbb {B} =(M_{a}/M_{b})\angle (\phi _{a}-\phi _{b})

同样，相位角被当作指数处理......因此它们相减。

相量的幅度和角度形式不能用于加减法。为此，我们需要将相量转换为矩形表示法

\mathbb {C} =X+jY

以下是将极坐标形式（幅度和角度）转换为矩形形式（实部和虚部）的方法

X=M\cos(\phi )

,

Y=M\sin(\phi )

一旦处于矩形形式

实部相加或相减
虚部相加或相减

[相量加法]

\mathbb {C} =\mathbb {A} +\mathbb {B} =(X_{A}+X_{B})+j(Y_{A}+Y_{B})=X_{C}+jY_{C}

以下是将复数从直角坐标系转换为极坐标系的步骤

\mathbb {C} =M_{c}\angle \phi _{c}={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle \arctan({\frac {Y}{X}})

一旦转换为极坐标形式的相量，就可以很容易地转换回时域

\operatorname {Re} (Me^{j(\omega t+\phi )})=M\cos(\omega t+\phi )

函数变换推导

$g(t)$ 代表电压、电流或功率。

g(t)=G_{m}cos(\omega t+\phi )

起点

g(t)=G_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi )})

根据欧拉公式

g(t)=G_{m}\operatorname {Re} (e^{j\phi }e^{j\omega t})

指数定律

g(t)=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j\phi }e^{j\omega t})

....

G_{m}

是一个实数，所以可以移到里面

g(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {G} e^{j\omega t})

....\mathbb {G}

是相量的定义，这里它是一个表达式，用来替换

G_{m}e^{j\phi }

g(t)\Leftrightarrow \mathbb {G}

其中

\mathbb {G} =G_{m}e^{j\phi }

$e^{j\omega t}$ 项会怎样？长答案。它会一直保留，直到需要转换回时域。因为它是一个指数，而所有相量数学都是与指数相关的代数运算，所以最终相量可以乘以它。然后表达式实部将是时域解。

时域	变换	相量域
$Acos(\omega t)$	$\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ 证明	$A$
$Asin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ 证明	$-Aj$
$Acos(\omega t)+Bsin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$	$A-Bj$
$Acos(\omega t)-Bsin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$	$A+Bj$
$Acos(\omega t+\phi )$	$\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ 证明	$Acos(\phi )+Asin(\phi )j$
$Asin(\omega t+\phi )$	$\Leftrightarrow$ 证明	$Asin(\phi )-Acos(\phi )j$
$Acos(\omega t-\phi )$	$\Leftrightarrow$ 证明	$Acos(\phi )-Asin(\phi )j$
$Asin(\omega t-\phi )$	$\Leftrightarrow$ 证明	$-Asin(\phi )-Acos(\phi )j$

在所有上述情况下，请记住 $\phi$ 是一个常数，在大多数情况下是一个已知值。因此，相量在大多数计算中是一个复数。

还有一种与导数相关的变换，在“相量微积分”中讨论。

将微积分运算符转换为相量

当正弦曲线表示为相量时，微分方程变成了代数。这一结果源于复指数是运算的特征函数

{\frac {d}{dt}}(e^{j\omega t})=j\omega e^{j\omega t}

也就是说，只有复数幅值在导数运算中发生了变化。对上述等式的两边取实部得到我们熟悉的结果

{\frac {d}{dt}}\cos {\omega t}=-\omega \sin {\omega t}\,

因此，当正弦曲线变换到相量域时，时间导数变为代数

{d \over dt}i(t)\rightarrow j\omega \mathbb {I}

（j 是 -1 的平方根或虚数）

类似地，时间积分在变换到相量域时为

\int V(t)dt\rightarrow {\frac {\mathbb {V} }{j\omega }}

在转换回时域时，将需要处理一个积分常数。它不会消失。

以上适用于电压、电流和功率。

问题是为什么它有效？证据在哪里？我们来做三遍：一次是电阻，一次是电感，最后是电容。穿过端子的电流和电压的符号是： $V_{m}cos(\omega t+\phi _{v})$ 和 $I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})$

电阻端子方程

V=RI

. 端子关系

V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=RI_{m}cos(\omega t+\phi _{I})

.. 代入示例函数

V_{m}e^{\omega t+j\phi _{V}}=RI_{m}e^{\omega t+j\phi _{I}}

.. 欧拉形式的端子关系

V_{m}e^{\omega t}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}e^{\omega t}e^{j\phi _{I}}

.. 指数定律

V_{m}{\cancel {e^{\omega t}}}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}{\cancel {e^{\omega t}}}e^{j\phi _{I}}

.. 对等号两边做同样的事情

V_{m}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}e^{j\phi _{I}}

.. 时域结果

\mathbb {V} =R\mathbb {I}

.. 相量表达式

只需将电压和电流表示成相量形式并代入以将方程式迁移到相量域。

电感端子方程

V=L{\frac {d}{dt}}I

... 端子关系

V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=L{\frac {d}{dt}}(I_{m}cos(\omega t+\phi _{I}))

.. 泛正弦函数的代入

V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=-\omega LI_{m}sin(\omega t+\phi _{I})

.. 求导

-sin(\omega t+\phi _{I})=cos(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})

.. 触发函数

V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=\omega LI_{m}cos(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})

.. 代换

V_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{V})})=\omega LI_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})})

由欧拉公式

V_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{V}})=\omega LI_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{I}}e^{j{\frac {\pi }{2}}})

指数定律

\operatorname {Re} (V_{m}e^{j\phi _{V}}{\cancel {e^{j\omega t}}})=\operatorname {Re} (e^{j{\frac {\pi }{2}}}\omega LI_{m}e^{j\phi _{I}}{\cancel {e^{j\omega t}}})

.... 实数可以移入运算

e^{j{\frac {\pi }{2}}}=cos({\frac {\pi }{2}})+j*sin({\frac {\pi }{2}})=j

... 代入以上

\mathbb {I} =I_{m}e^{j\phi _{I}}

和

\mathbb {V} =V_{m}e^{j\phi _{V}}

.. 代入以上

取消两边的

e^{j\omega }

项

\operatorname {Re} (\mathbb {V} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (j\omega L\mathbb {I} e^{j\omega t})

.... 相量定义

\mathbb {V} =j\omega L\mathbb {I}

.... 方程转化为相量域

结论：将电压和电流表示为相量形式，用 $j\omega$ 代替 ${\frac {d}{dt}}$ ，将方程转换为相量域。

电容端电压方程

电容基本上与电感相同，V 和 I 互换位置，C 代替 L。

I=C{\frac {d}{dt}}V

... 端电压关系

I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=C{\frac {d}{dt}}(V_{m}cos(\omega t+\phi _{V}))

.. 替换为一般的正弦函数

I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=-\omega CV_{m}sin(\omega t+\phi _{V})

.. 求导

-sin(\omega t+\phi _{V})=cos(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})

.. 三角函数

I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=\omega CV_{m}cos(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})

.. 替换

I_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{I})})=\omega CV_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})})

根据欧拉公式

I_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{I}})=\omega CV_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{V}}e^{j{\frac {\pi }{2}}})

指数定律

\operatorname {Re} (I_{m}e^{j\phi _{I}}{\cancel {e^{j\omega t}}})=\operatorname {Re} (e^{j{\frac {\pi }{2}}}\omega CV_{m}e^{j\phi _{V}}{\cancel {e^{j\omega t}}})

.... 实数可以移入

e^{j{\frac {\pi }{2}}}=cos({\frac {\pi }{2}})+j*sin({\frac {\pi }{2}})=j

... 代入上述公式

\mathbb {V} =V_{m}e^{j\phi _{V}}

和

\mathbb {I} =I_{m}e^{j\phi _{I}}

.. 代入上述

取消两边的

e^{j\omega }

项

\operatorname {Re} (\mathbb {I} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (j\omega C\mathbb {V} e^{j\omega t})

.... 相量定义

\mathbb {I} =j\omega C\mathbb {V}

.... 方程变换为相量域

结论：将电压和电流表示为相量形式，用 $j\omega$ 代替 ${\frac {d}{dt}}$ ，将方程转换为相量域。

总之，所有端点关系都有 $e^{j\omega }$ 项，它们相互抵消

V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*R

\mathbb {V} =\mathbb {I} R

V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*j\omega *L

\mathbb {V} =\mathbb {I} j\omega L

I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*j\omega *C

\mathbb {I} =\mathbb {V} j\omega C

这种探究/逻辑/思考方式的有趣之处在于出现了新概念

器件	${\frac {\mathbb {V} }{\mathbb {I} }}$	${\frac {\mathbb {I} }{\mathbb {V} }}$
电阻	$R$	${\frac {1}{R}}$
电容器	${\frac {1}{j\omega C}}$	$j\omega C$
电感器	$j\omega L$	${\frac {1}{j\omega L}}$

那些没有抵消的 $j\omega$ 项来自端点关系中的导数项。这些导数项与电容器和电感器本身有关，而不是与电源有关。虽然导数被应用于电源，但导数产生的独立元件（电容器或电感器）在变换后仍保留其特性！因此，如果我们将驱动力的形式保留为 ${\frac {output}{input}}$ 比率，放在等号的一边，我们可以将等号另一边视为一个函数！这些函数有一个名称... 传递函数。当我们根据 R、L 和 C 分析电压/电流比率时，我们可以通过一系列驱动源频率来扫描 $\omega$ ，或者保持频率恒定，并通过一系列电感值进行扫描...... 我们可以分析电路的响应！

注意：传递函数是这门课程的整个一节内容。它们也出现在机械工程控制系统课程中。两者之间存在相似之处。越过颠簸就像涌浪或尖峰。越过路缘就像打开电路。当机械工程师研究振动时，他们处理正弦驱动函数，但他们处理的是三维物体，而不是像我们这门课程中那样的一维物体。

相量域到时域

回到时域同样简单。在相量域中处理方程，并找到 $\mathbb {V}$ 和 $\mathbb {I}$ 后，目标是将它们转换为 $V$ 和 $I$ 。

相量解将具有形式 $\mathbb {G} =A+Bj=G_{m}e^{j\phi }$ 你现在应该能够在两种形式的解之间进行转换。然后

G=\operatorname {Re} (\mathbb {G} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j\phi }e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j(\omega t+\phi )})=G_{m}cos(\omega t+\phi )

如果相量数学中涉及积分，则需要在时域解上添加一个常数。时间常数由初始条件计算。如果解不涉及微分方程，则立即计算时间常数。否则，将解视为特解，并在找到齐次解的大小后计算时间常数。有关更多详细信息，请参阅相量示例。

未涵盖内容

还有另一种思考电路的方式，其中电感器和电容器是复阻抗。这个想法是

阻抗 = 电阻 + j * 电抗

或者符号化

Z=R+j*X

这里导数附加在电感和电容上，而不是像我们所做的那样附加在端点方程上。这将解决电路问题的数学分解成更小的部分，更易于检查，但它使符号解更复杂，并且由于中间计算会导致数值解错误累积。

相量概念无处不在。如果你参与了涉及 "支线" 的微波项目或涉及 "负载线圈" 的天线项目，那么总有一天你需要学习它...... 这个清单非常庞大。

这里的目标是避免电导、电抗、阻抗、电纳和导纳的概念...... 并且避免在尝试将相量数学与微积分和拉普拉斯变换进行比较时将这些概念联系起来而产生的混淆。

相量表示法

记住，相量代表一个可以以多种方式显示的单一值。

\mathbb {C} =M\angle \phi

"极坐标表示"

C=Me^{j(\omega t+\phi )}

"指数表示"

\mathbb {C} =A+jB

"矩形表示"

C=M\cos(\omega t+\phi )+jM\sin(\omega t+\phi )

"时域表示"

这 4 种表示法只是写同一件事的不同方式。

相量符号

在黑板上或纸上写字时，用帽子 ${\hat {V}}$ 表示相量。预计书籍和网络上的变化

$\mathbb {V}$ （我们在维基百科中使用的粗体大写字母）
${\bar {V}}$ （“bar”符号，维基百科使用）
${\vec {V}}$ （不好...... 为向量保留...... 向量箭头符号）
${\tilde {V}}$ （一些教科书）
${\hat {V}}$ （一些教科书）

微分方程

相量生成特解

相量可以代替微积分，可以代替拉普拉斯变换，可以代替三角函数。但有一件事它们做不到：初始条件/积分常数。在使用相量和拉普拉斯或相量和微积分解决问题时，答案之间的差异将是一个积分常数。

在本课程中，微分方程分三步求解

寻找特解...... 特定于驱动函数...... 特定于电压或电流源
寻找齐次解... 这种解无论驱动函数是什么都保持不变... 这种解探讨了电路中初始能量不平衡是如何平衡的。
确定系数，即从初始条件得到的积分常数。

相量不生成积分常数

积分常数不会出现在相量解中。但它们会出现在拉普拉斯变换和微积分方法中，作为相量解的替代方案。如果要解完整的微分方程，就必须了解相量在何处无法生成未知积分常数的符号... 积分常数在第三步中计算。

相量是用于寻找特定交流解的技术。积分常数记录了电路中的初始直流偏置或能量差。要找到这些常数，首先需要找到齐次解，该解处理了电容器在电路首次接通时可能已充电也可能未充电的事实。相量并没有完全取代微分方程的步骤。相量只是取代了第一步：找到特定解。

微分方程回顾

目标是使用相量、微积分和拉普拉斯变换来解一阶和二阶常微分方程 (ODE)。这样，就可以将相量解与先修或并修数学课程的内容进行比较。目标是使用诸如 Matlab 和 MuPAD/Mathematica/WolframAlpha 等数值和符号工具来解决这些问题。如果你已经学习过微分方程课程，那么这只是一个快速回顾。

最重要的是要理解函数的本质。三角函数、微积分、拉普拉斯变换和相量都与函数相关，而不是与代数相关。如果你不理解代数和函数之间的区别，那么或许这个学生教授对话可以帮助你。

我们从端点定义、回路和节点的方程开始。这些代数方程中的每个符号都是一个函数。我们不是转换方程，而是转换方程中的函数。这些方程中出现了各种运算符，包括 + - * / 和 ${\frac {d}{dt}}$ 。第一张表侧重于转换这些运算符。第二张表侧重于转换函数本身。

拉普拉斯变换的真正强大之处在于它消除了积分和微分运算符。然后可以转换函数本身。然后，只需使用代数就可以找到未知数。然后，可以将函数转换回时域函数。

这里有一些性质和定理，它们对于转换本课程中常见的正弦电压、功率和电流是必需的。

拉普拉斯运算符变换

单边拉普拉斯变换的性质
	时域	's' 域	评论
时间缩放	$f(at)$	${\frac {1}{\|a\|}}F\left({s \over a}\right)$	用于弄清 $\omega$ 如何影响方程
时间移位	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	u(t) 是单位阶跃函数... 用于弄清 $\phi$ 相位角
线性	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	可以使用积分的基本规则来证明。
微分	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	假设 f 是一个可微函数，并且它的导数是指数型的。然后可以通过分部积分法得到这一点。
积分	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	最后也会出现一个常数

拉普拉斯函数变换

以下是一些本课程中需要的变换

函数	时域 $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$	拉普拉斯 s 域 $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$	收敛域	参考
指数衰减	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	Re(s) > −α	频率偏移单位阶跃
指数逼近	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	Re(s) > 0	单位阶跃减去指数衰减
正弦	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > 0
余弦	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > 0
指数衰减正弦波	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > −α
指数衰减余弦波	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > −α

相量电路分析

电路理论

相量分析

单个电路元件的数学表示可以转换为相量表示，然后可以使用相量求解电路。

电阻、阻抗和导纳

在相量表示法中，电阻、电容和电感都可以归并为一个称为“阻抗”的术语。用于阻抗的相量是 $\mathbb {Z}$ 。阻抗的倒数称为“导纳”，用 $\mathbb {Y}$ 表示。 $\mathbb {V}$ 是电压， $\mathbb {I}$ 是电流。

\mathbb {Z} ={\frac {1}{\mathbb {Y} }}

欧姆定律的相量形式变为

\mathbb {V} =\mathbb {Z} \mathbb {I} ={\frac {\mathbb {I} }{\mathbb {Y} }}

需要特别注意的是，欧姆定律仍然成立，即使我们从时域切换到相量域。更令人惊叹的是，新术语阻抗不再仅仅是电阻的特性，而是现在涵盖了电路上的所有负载元件（电容和电感也是！）。

阻抗仍然以欧姆为单位测量，而导纳（像它的直流对应部分电导）仍然以西门子为单位测量。

让我们仔细看看这个方程式

[欧姆定律的相量形式]

\mathbb {V} =\mathbb {Z} \mathbb {I}

如果我们将它分解成极坐标表示，我们将得到以下结果

M_{V}\angle \phi _{V}=(M_{Z}\times M_{I})\angle (\phi _{Z}+\phi _{I})

维基百科在 电阻抗 处提供相关信息。

这一点很重要，因为它表明不仅电压和电流的大小值相互关联，而且它们各自波形的相位角也相互关联。不同的电路元件将对给定电流的电压的大小和相位角产生不同的影响。我们将在下面探讨这些关系。

电阻器

电阻不影响电压或电流的相位，只影响大小。因此，具有电阻 R 的电阻器的阻抗为

[电阻阻抗]

\mathbb {Z} =R\angle 0

通过电阻，电流和电压之间的相位差不会改变。在分析电路时，这一点很重要。

电容器

具有电容 C 的电容器具有相量值

[电容器阻抗]

\mathbb {Z} =C\angle \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)

为了用度数表示，我们可以说

\mathbb {Z} =C\angle (-90^{\circ })

我们可以暂时将此作为公理接受。如果我们考虑到相量可以在虚数平面上绘制，我们很容易看到 $-\pi /2$ 的角度直接指向下方，沿着负虚轴。然后我们得出重要结论：电容的阻抗在某种意义上是 *虚数*。由于角度直接沿着虚轴，相量根本没有实部。由于阻抗没有实部，我们可以看到电容没有电阻（因为电阻是实值，如上所述）。

电抗

在角速度为 $\omega$ 的交流电路中，电容为 C 的电容的电抗由下式给出：

$\mathbb {X} ={\frac {1}{\omega C}}\angle (-90^{\circ })$

电抗是交流电路中特定于角速度为 $\omega$ 的阻抗。

电感器

电感器具有相量值

[电感器阻抗]

\mathbb {Z} =L\angle \left({\frac {\pi }{2}}\right)

其中 L 是电感器的电感。我们也可以使用度数来写：

\mathbb {Z} =L\angle (90^{\circ })

与电容一样，我们可以看到电感器的相量表明阻抗的值直接位于虚轴上。但是，电感的相量值与电容相量的方向正好相反。我们在这里还注意到电感器没有电阻，因为电阻是实值，而电感器只有虚数值。

电抗

在角速度为 $\omega$ 的交流电路中，电感为 L 的电感器。

$\mathbb {X} =\omega L\angle (90^{\circ })$

串联连接的阻抗

如果有多个阻抗串联连接，等效阻抗只是阻抗值的总和：

----[ Z1 ]----[ Z2 ]--- ... ---[ Zn ]---   ==> ---[ Zseries ]---

[串联阻抗]

\sum _{series}\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} _{series}

请注意，这比以前分别区分串联电容、电阻和电感组合公式要容易得多。还要注意电阻、电容和电感都可以混合使用，而不必在意它们的类型。这一点很有用，因为我们现在可以将不同的元件组合成一个阻抗值，而不是不同的电感、电容和电阻值。

但是请记住，相量需要转换为直角坐标系才能相加。如果您知道公式，您可以编写一个小的计算机程序，甚至在可编程计算器上编写一个小应用程序来为您进行转换。

并联阻抗

并联连接的阻抗可以通过稍微复杂的过程组合起来：

[并联阻抗]

\mathbb {Z} _{parallel}={\frac {\prod _{N}Z_{n}}{\sum _{N}Z_{n}}}

其中 N 是并联连接的阻抗总数。阻抗可以在极坐标表示中相乘，但必须转换为直角坐标系才能相加。这种计算可能有点耗时，但当您考虑到另一种方法（必须分别处理每种类型的元件）时，我们可以看到这要容易得多。

使用相量求解电路的步骤

使用相量求解电路有一些通用步骤：

将所有元件转换为相量表示形式。
如果可能，组合阻抗。
如果可能，组合电源。
使用欧姆定律和基尔霍夫定律来求解电路。
转换回时域表示形式。

不幸的是，相量只能用于正弦输入函数。当检查直流电路时，我们不能使用相量，当我们的输入函数是任何非正弦周期函数时，我们也不能使用相量。为了处理这些情况，我们将在后面的章节中探讨更通用的方法。

网络函数

网络函数是一个相量， $\mathbb {H}$ ，它是电路输入与其输出的比率。这一点很重要，因为如果我们能求解电路以找到网络函数，我们就可以找到对 *任何* 正弦输入的响应，只需乘以网络函数即可。使用时域分析，我们必须针对每个新的输入求解电路，这将非常耗时。

网络函数定义如下：

[网络函数]

\mathbb {H} ={\frac {\mathbb {Y} }{\mathbb {X} }}

其中 $\mathbb {Y}$ 是电路输出的相量表示，而 $\mathbb {X}$ 是电路输入的表示。在时域中，要找到输出，我们需要将输入与冲激响应进行卷积。然而，使用网络函数，则只需将输入相量乘以网络函数即可得到输出相量。使用这种方法，我们将整个电路转换为一个简单的函数，该函数可以改变幅度和相位角。

增益

增益是电路放大或衰减正弦波幅度的程度。增益可以从网络函数计算得出，如下所示

[增益]

Gain=\left|\mathbb {H} (\omega )\right|={\frac {\left|\mathbb {Y} (\omega )\right|}{\left|\mathbb {X} (\omega )\right|}}

其中相量周围的竖线表示相量的“幅度”，而不是像其他数学文本中那样表示“绝对值”。同样，增益可能是电流或电压幅度变化的量度。然而，最常见的是用来描述电压。

相移

函数的相移是输入信号和输出信号之间的相位变化量。这可以通过网络函数计算得出，如下所示

[相移]

\angle \mathbb {H} (\omega )=\angle \mathbb {Y} (\omega )-\angle \mathbb {X} (\omega )

其中 $\angle$ 表示相量的相位。

同样，相位变化可能表示电流或电压。

相量定理

电路理论

电路定理

如果相量没有使电路分析更容易，那么它们将毫无用处。幸运的是，我们之前讨论过的所有电路分析工具都适用于相量域中的值。以下列出了一些我们已经讨论过的，并且继续适用于相量的工具

欧姆定律
基尔霍夫定律
叠加
戴维宁和诺顿源
最大功率传输

本页将描述如何使用我们在直流电路中讨论过的一些工具，通过相量在交流电路中使用它们。

欧姆定律

正如我们已经看到的那样，欧姆定律在相量域中变为以下方程

\mathbb {V} =\mathbb {Z} \mathbb {I}

将其分离，我们得到

M_{V}\angle \phi _{V}=(M_{Z}\times M_{I})\angle (\phi _{Z}+\phi _{I})

我们可以清楚地看到电流、阻抗和电压相量之间的幅度和相位关系。

基尔霍夫定律

基尔霍夫定律在相量中仍然成立，没有任何改变。

基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律指出，进入特定节点的电流量必须等于离开该节点的电流量。请注意，KCL从未指定电流必须采用何种形式：任何类型的电流都有效，并且 KCL 始终成立。

[带有相量的 KCL]

\sum _{n}\mathbb {I} _{n}=0

基尔霍夫电压定律

KVL 指出：闭合回路中所有电压的总和必须始终等于零。同样，电压强制函数的形式从不考虑：KVL 对任何输入函数都成立。

[带有相量的 KVL]

\sum _{n}\mathbb {V} _{n}=0

叠加

如果所有源具有相同的频率，则叠加原理可以应用于电路。但是，叠加原理必须用作解决具有不同频率源的电路的唯一可能方法。要记住的重要一点是，电路中的阻抗值基于频率。不同的无功元件对不同频率的反应不同。因此，必须针对每个源频率对电路求解一次。这可能是一个漫长的过程，但它是解决这些电路的唯一有效方法。

戴维宁和诺顿电路

戴维宁电路和诺顿电路可以以与它们的直流对应物类似的方式进行操作：使用欧姆定律的相量域实现。

\mathbb {V} =\mathbb {Z} \mathbb {I}

重要的是要记住， $\mathbb {Z}$ 在计算中不会改变，尽管由于计算结果，电流和电压源的相位和幅度可能会发生变化。

最大功率传输

相量中的最大功率传输定理与直流电路中的定理略有不同。为了从戴维宁源到负载实现最大功率传输，戴维宁内阻 ( $\mathbb {Z} _{t}$ ) 必须是负载阻抗 ( $\mathbb {Z} _{l}$ ) 的共轭复数。

[最大功率传输，带相量]

\mathbb {Z} _{l}=R_{t}-jX_{t}

复功率

电路理论/复功率

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是从数学中借鉴的一个有用的工具，可以快速轻松地分析由高阶线性微分方程表示的系统。傅里叶变换与之密切相关，也可以让我们深入了解系统的频率响应特性。

电路理论

本书包含数学公式，这些公式看起来更好以 PNG 格式渲染。

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 是一种强大的工具，在电气工程中非常有用。变换允许将“时域”中的方程变换为复s域中的等效方程。拉普拉斯变换是一种积分变换，尽管读者不需要了解积分微积分，因为所有结果都将提供。本页将讨论拉普拉斯变换，它只是一个用于求解和处理常微分方程的工具。

电路元件的拉普拉斯变换类似于相量表示，但两者并不相同。拉普拉斯变换比相量更通用，在某些情况下更容易使用。另外，不要将“复s域”与我们之前讨论过的复功率概念混淆。复功率使用变量 $\mathbb {S}$ ，而拉普拉斯变换使用变量 s。拉普拉斯变量 s 与功率无关。

该变换以数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯 (1749-1827) 的名字命名。该变换本身直到著名的电气工程师奥利弗·亥维赛德开始使用它的变体来求解电路才变得流行起来。

拉普拉斯域

拉普拉斯域 或“复s域”是拉普拉斯变换将时域方程变换到的域。s 是一个复变量，由实部和虚部组成

s=\sigma +j\omega

拉普拉斯域将实部 (σ) 作为横轴，将虚部 (ω) 作为纵轴。s 的实部和虚部可以被认为是独立的量。

这种符号与傅里叶变换理论中使用的符号的相似性并非巧合；对于 $\sigma =0$ ，如果信号是因果的，则拉普拉斯变换与傅里叶变换相同。

变换

拉普拉斯变换的数学定义如下

[拉普拉斯变换]

F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt

注意
字母s 没有特殊意义，在拉普拉斯变换中使用它是一种惯例。

该变换由于定积分，将所有 t 从结果方程中移除，而是留下新的变量 s，这是一个通常写为 $s=\sigma +j\omega$ 的复数。本质上，该变换采用函数 f(t)，并将其“变换”为关于 s 的函数 F(s)。一般来说，函数 f(t) 的变换写为 F(s)。时域函数用小写字母表示，结果 s 域函数用大写字母表示。

拉普拉斯变换对表在
附录中

我们将使用以下符号来表示函数的变换

f(t)\Leftrightarrow F(s)

我们使用这种符号，因为我们可以使用逆拉普拉斯变换将 F(s) 转换回 f(t)。

逆变换

逆拉普拉斯变换 将复 s 域中的函数转换为其在时域中的对应函数。它的数学定义如下

[逆拉普拉斯变换]

{\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={1 \over {2\pi }}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{ft}F(s)\,ds=f(t)

其中 $c$ 是一个实常数，使得 $F(s)$ 的所有极点 $s_{1},s_{2},...,s_{n}$ 都落在区域 ${\mathfrak {R}}\{s_{i}\}<c$ 内。换句话说，选择 $c$ 使得 $F(s)$ 的所有极点都位于穿过实轴上 $s=c$ 点的垂直线的左侧。

反变换在数学上比变换本身更难。然而，幸运的是，已经计算了大量的拉普拉斯变换及其反变换表，并且可以方便地浏览。

变换性质

拉普拉斯变换性质表位于
附录

拉普拉斯变换最重要的性质（目前）如下所示

{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)-f(0)

类似地，我们可以用类似的方式表示高阶导数

{\mathcal {L}}\left\{f''(t)\right\}=s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)

或者对于任意导数

{\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}F(s)-\sum _{i=0}^{n-1}s^{(n-1-i)}f^{(i)}(0)

其中符号 $f^{(n)}(t)$ 表示函数 $f$ 在点 $t$ 处的 n 次导数，而 $f^{(0)}(t)$ 表示 $f(t)$ 。

简单地说，拉普拉斯变换将微分转化为多项式。唯一需要记住的是，我们必须添加时间域函数的初始条件，但对于大多数电路，初始条件为 0，因此无需添加任何内容。

对于积分，我们得到以下结果

{\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(t)\,dt\right\}={1 \over s}F(s)

初始值定理

拉普拉斯变换的初始值定理如下所述

[初始值定理]

f(0)\Leftrightarrow \lim _{s\to \infty }sF(s)

这在求微分运算变换时需要的函数初始条件很有用（见上文）。

最终值定理

与初始值定理类似，最终值定理指出，我们可以通过拉普拉斯域找到当 t 趋于无穷大时函数 f 的值，如下所示

[最终值定理]

\lim _{t\to \infty }f(t)\Leftrightarrow \lim _{s\to 0}sF(s)

这在求电路的稳态响应很有用。最终值定理只能应用于稳定系统。

传递函数

如果我们在时域中有一个脉冲响应为 h(t) 的电路，其输入为 x(t)，输出为 y(t)，我们可以通过对所有三个元素进行变换来找到电路在拉普拉斯域中的传递函数

在这种情况下，H(s) 被称为电路的“传递函数”。它既可以定义为脉冲响应的变换，也可以定义为电路在拉普拉斯域中输出与其输入的比率

[传递函数]

H(s)={\mathcal {L}}\left\{h(t)\right\}={\frac {Y(s)}{X(s)}}

传递函数是分析电路的强大工具。如果我们知道电路的传递函数，我们就拥有了理解电路所需的所有信息，并且我们以易于操作的形式获得了它。当我们获得传递函数后，我们就可以说该电路已经完全“解决”。

卷积定理

前面提到过，我们可以使用卷积运算从输入和脉冲响应计算系统的输出。提醒一下，给定以下系统

	x(t) = 系统输入 h(t) = 冲激响应 y(t) = 系统输出

我们可以使用卷积运算来计算输出，如下所示

y(t)=x(t)*h(t)

其中星号表示卷积，而不是乘法。然而，由于拉普拉斯变换的一个性质，在 S 域中，此操作变得容易得多

[卷积定理]

{\mathcal {L}}\left\{a(t)*b(t)\right\}=A(s)B(s)

其中星号运算符表示卷积运算。这使我们得出了卷积定理的英文陈述

时域中的卷积在 S 域中变为乘法，而 S 域中的卷积在时域中变为乘法。^[1]

现在，如果我们在拉普拉斯 S 域中有一个系统

	X(s) = 输入 H(s) = 传递函数 Y(s) = 输出

我们可以从输入 X(s) 和传递函数 H(s) 计算输出 Y(s)

Y(s)=X(s)H(s)

请注意，此属性与相量非常相似，其中输出可以通过将输入乘以网络函数来确定。那么，网络函数和传递函数是非常相似的量。

电阻器

拉普拉斯变换可以独立地应用于不同的电路元件，然后可以完全在 S 域中解决电路（这更容易）。让我们看一下一些电路元件

电阻器不随时间和频率变化。因此，电阻器的变换与电阻器的阻值相同

[电阻器的变换]

R(s)=r

将此结果与电阻 r 的相量阻抗值进行比较

Z_{r}=r\angle 0

您可以很快地看到，相量和拉普拉斯变换之间的电阻值非常相似。

欧姆定律

如果我们变换欧姆定律，我们将得到以下方程

[欧姆定律的变换]

V(s)=I(s)R

现在，根据欧姆定律，电路元件的电阻是电压与电流之比。因此，我们将求解量 ${\frac {V(s)}{I(s)}}$ ，结果将是我们电路元件的电阻。

R={\frac {V(s)}{I(s)}}

这个比值，即我们电阻器的输入/输出比值，是一个重要的量，我们将为我们所有的电路元件找到这个量。我们可以说，电阻为 r 的电阻器的拉普拉斯变换由下式给出

[电阻器的拉普拉斯变换]

{\mathcal {L}}\{{\text{resistor}}\}=R=r

电容器

让我们看看时间域中电压、电流和电容之间的关系

i(t)=C{\frac {dv(t)}{dt}}

求解电压，我们得到以下积分

v(t)={\frac {1}{C}}\int _{t_{0}}^{\infty }i(t)dt

然后，将这个等式变换到拉普拉斯域，我们得到以下等式

V(s)={\frac {1}{C}}{\frac {1}{s}}I(s)

同样，如果我们求解比值 ${\frac {V(s)}{I(s)}}$ ，我们得到以下结果

{\frac {V(s)}{I(s)}}={\frac {1}{sC}}

因此，电容为 C 的电容器的拉普拉斯变换由下式给出

[电容器的拉普拉斯变换]

{\mathcal {L}}\{{\mbox{capacitor}}\}={\frac {1}{sC}}

电感器

让我们看看我们电感的公式

v(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}

将此公式代入拉普拉斯域，我们得到以下公式

V(s)=sLI(s)

求解我们的比值 ${\frac {V(s)}{I(s)}}$ ，我们得到以下结果

{\frac {V(s)}{I(s)}}=sL

因此，电感为 L 的电感器的拉普拉斯变换由下式给出

[电感器的拉普拉斯变换]

{\mathcal {L}}\{{\text{inductor}}\}=sL

阻抗

由于所有负载元件都可以合并成一个依赖于 s 的单一格式，因此我们将所有负载元件的效果称为阻抗，这与我们在相量表示中称之为阻抗相同。我们用大写 Z 表示阻抗值（但不是相量 $\mathbb {Z}$ ）。

确定电路中的电流

在所示网络中，假设每个电流在开关闭合时为零，确定电流 $I_{1}(t)$ ， $I_{2}(t)$ 和 $I_{3}(t)$ 的特性。

解^[2]

电路中节点的电流流动

由于任何节点的电流代数和为零，则

$I_{1}(t)-I_{2}(t)-I_{3}(t)=0$ .........(182)

电路的电压平衡

将电压定律应用于左侧的电路，我们得到

$I_{1}(t)R_{1}+L_{2}{\frac {dI_{2}(t)}{dt}}\ =E(t)$ ......... (182-1)

再次将电压定律应用于外部电路，考虑到 E 是恒定的，我们得到

$I_{1}(t)R_{1}+I_{3}(t)R_{3}+L_{3}{\frac {dI_{3}(t)}{dt}}\ =E(t)$ ......... (182-2)

电流和电压方程的拉普拉斯变换

变换 (182)、(182-1) 和 (182-2)，我们得到

$i_{1}(s)-i_{2}(s)-i_{3}(s)=0$ .........(182-3)

$i_{1}(s)R_{1}+sL_{2}i_{2}(s)={\frac {E}{s}}\$ ......... (182-4)

$i_{1}(s)R_{1}+(R_{3}+sL_{3})i_{3}(s)={\frac {E}{s}}\$ ......... (182-5)

关于实施拉普拉斯变换的回顾

三个拉普拉斯变换后的方程 (182-3)、(182-4) 和 (182-5) 显示了积分变换将微分方程转换为线性代数方程的优势，可以求解依赖变量（在本例中为三个电流），然后进行逆变换以得出所需解。

在方程 (182-3) 中，我们利用了拉普拉斯变换的求和性质。
在方程 (182-4) 中，我们利用了微分导数的变换，如下所示。

$si_{2}(s)-I_{2}(0)={\mathcal {L}}\left\lbrace {\frac {dI_{2}}{dt}}\right\rbrace$ .........(182-4.1)

根据给定的初始条件，代入得到： $I_{2}(0)=0$

在公式（182-5）中，我们也利用了微分导数的拉普拉斯变换

$si_{3}(s)-I_{3}(0)={\mathcal {L}}\left\lbrace {\frac {dI_{3}}{dt}}\right\rbrace$ .........(182-5.2)

同样，我们代入给定的初始条件： $I_{3}(0)=0$

由于施加的电压是阶跃函数，这意味着需要使用阶跃函数的拉普拉斯变换，如下所示

${\frac {E}{s}}={\mathcal {L}}\left\lbrace E\right\rbrace$ .........(182-5.3)

解线性联立方程

三个线性联立方程（182-3）、（182-4）和（182-5）有三个未知数 $i_{1}(s)$ 、 $i_{2}(s)$ 和 $i_{3}(s)$ ，可以使用克莱姆法则或其他简单的消元方法来求解，如下所示。

$i_{1}(s)={\frac {\begin{vmatrix}0&-1&-1\\{\frac {E}{s}}\ &sL_{2}&0\\{\frac {E}{s}}\ &0&R_{3}+sL_{3}\\\end{vmatrix}}{\Delta }}={\frac {E}{s}}{\frac {R_{3}+s(L_{2}+L_{3})}{\Delta }}$ ......... (182-6)

其中，矩阵的行列式 ∆ 计算如下

$\Delta ={\begin{vmatrix}1&-1&-1\\R_{1}&sL_{2}&0\\R_{1}&0&R_{3}+sL_{3}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&0\\R_{1}&sL_{2}+R_{1}&R_{1}\\R_{1}&R_{1}&R_{1}+R_{3}+sL_{3}\\\end{vmatrix}}$

$\Delta =s^{2}L_{2}L_{3}+s(R_{1}L_{2}+R_{3}L_{2}+R_{1}R_{3})+R_{1}R_{3}$ ......... (182-6.1)

由于我们对 ∆ 的因子感兴趣，因此我们考虑方程 ∆ = 0。由于该方程的所有系数都为正，因此它没有正根。它的判别式为

$(R_{1}L_{2}+R_{3}L_{2}+R_{1}R_{3})^{2}-4L_{2}L_{3}R_{1}R_{3}$ ........ (182-6.1.1)

可以写成

R_{1}^{2}L_{2}^{2}+2R_{1}L_{2}(R_{3}L_{2}+R_{1}L_{3})+(R_{3}L_{2}-R_{1}L_{3})^{2}

........ (182-6.1.2)

结果为正。因此，方程 Δ = 0 有两个不同的负根 $-\alpha _{1}$ 和 $-\alpha _{2}$ ，例如。

因此，

$\Delta =L_{2}L_{3}(s+\alpha _{1})(s+\alpha _{2})$ ......... (182-6.2)

其中， $-\alpha _{1}$ 和 $-\alpha _{2}$ 是二次方程 (182-6.1) 的根，如下所示

$\alpha _{1}={\frac {1}{2}}\left\lbrace {\frac {R_{1}L_{2}+R_{3}L_{2}+R_{1}R_{3}}{L_{2}L_{3}}}+{\sqrt {\left({\frac {R_{1}L_{2}+R_{3}L_{2}+R_{1}R_{3}}{L_{2}L_{3}}}\right)^{2}-4{\frac {R_{1}R_{3}}{L_{2}L_{3}}}}}\right\rbrace$ ......... (182-6.2.1)

$\alpha _{2}={\frac {1}{2}}\left\lbrace {\frac {R_{1}L_{2}+R_{3}L_{2}+R_{1}R_{3}}{L_{2}L_{3}}}-{\sqrt {\left({\frac {R_{1}L_{2}+R_{3}L_{2}+R_{1}R_{3}}{L_{2}L_{3}}}\right)^{2}-4{\frac {R_{1}R_{3}}{L_{2}L_{3}}}}}\right\rbrace$ ......... (182-6.2.2)

因此，公式 (182-6) 和 (186-6.2) 给出

$i_{1}(s)={\frac {E}{s}}.{\frac {R_{3}+s(L_{2}+L_{3})}{L_{2}L_{3}(s+\alpha _{1})(s+\alpha _{2})}}$

$i_{1}(s)={\frac {A_{0}}{s}}+{\frac {A_{1}}{s+\alpha _{1}}}+{\frac {A_{1}}{s+\alpha _{2}}}$ .........(182-7)

常数 $A_{0}$ , $A_{1}$ , 和 $A_{2}$ 是根据 $R_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{3}$ , 和 $R_{3}$ 表示，并给出如下：

$A_{0}=-{\frac {ER_{3}}{L_{2}L_{3}\alpha _{1}\alpha _{2}}}$ .........(182-7.1)

$A_{1}=E{\frac {R_{3}\alpha _{2}-\alpha _{1}\alpha _{2}(L_{2}+L_{3})}{L_{2}L_{3}\alpha _{1}\alpha _{2}(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}$ .........(182-7.2)

$A_{2}=E{\frac {\alpha _{2}(L_{2}+L_{3})-R_{3}}{L_{2}L_{3}\alpha _{2}(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}$ .........(182-7.3)

电流方程的拉普拉斯逆变换

因此，(182-7)的拉普拉斯逆变换为，

$I_{1}(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\lbrace {\frac {A_{0}}{s}}+{\frac {A_{1}}{s+\alpha _{1}}}+{\frac {A_{1}}{s+\alpha _{2}}}\right\rbrace =A_{0}+A_{1}e^{-\alpha _{1}t}+A_{2}e^{-\alpha _{2}t}$ .........(182-8)

剩余的变量 $I_{2}(t)$ 和 $I_{3}(t)$ 以及相应的电压由公式 (182)、(182-1) 和 (182-2) 确定。

电路动力学分析

公式 (182-8) 中的电流 $I_{1}(t)$ 显示了一个与时间无关的成分 $A_{0}$ 和两个衰减项，当 t 趋于 ∞ 时，它们达到渐近值。换句话说，三个电路中的电流没有正弦振荡，主要是因为：（1）施加的电压是恒定的，（2）电路没有电容元件。

注意：这个例子可以通过多种方式进行修改^[3]，以包含电压脉冲、正弦电压源、电容以及各种电荷和电流的边界和初始条件。

方法的推广

在上面的例子中，可以进行以下修改

(1) 基尔霍夫方程中施加的电压可以采用多种形式，例如

: $E(t)=E_{o}\delta (t)$
: $E(t)=E_{o}\sin(\omega t)$
: $E(t)=E_{o}f(t)$

(2) 电容在持续时间内添加电流的积分项，如

: ${\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )d\tau$

参考资料

↑ 第 6 讲幻灯片 22（PDF 文档中第 6 页） http://www.ee.ic.ac.uk/pcheung/teaching/ee2_signals/Lecture%206%20-%20Laplace%20Transform.pdf
↑ El-Hewie, Mohamed F. (2013). Laplace Transforms. USA: Shaymaa Publishing. pp. 217–220. ISBN 1484136349.
↑ El-Hewie, Mohamed F. (2013). Laplace Transforms. USA: Shaymaa Publishing. pp. 190–220. ISBN 1484136349.

电路理论

拉普拉斯电路解

拉普拉斯变换最重要的用途之一是求解线性微分方程，就像代表我们的一阶和二阶电路的方程类型一样。本页将讨论使用拉普拉斯变换来找到电路的完整响应。

步骤

以下是使用拉普拉斯变换求解电路的通用步骤

确定电路的微分方程。
对微分方程使用拉普拉斯变换。
在拉普拉斯域中求解未知变量。
使用拉普拉斯逆变换找到时域解。

我们可以使用的另一种方法是

使用拉普拉斯变换将各个电路元件转换为阻抗值。
找到描述电路的传递函数。
在拉普拉斯域中求解未知变量。
使用拉普拉斯逆变换找到时域解。

电路理论

本课程从相量开始。我们学习了如何将迫使正弦^{[检查拼写]}函数（如电压电源）转换为相量。为了处理更复杂的强迫函数，我们转向复频率。这使我们能够处理形式为的强迫函数

e^{st}\cos(\omega t+\phi )

其中 s 是

s=\sigma +j\omega

卷积积分可以做任何事。

在此过程中，“s” 开始将微积分运算符转换回代数。在复数域内，“s” 可以重新连接到电感器和电容器，而不是强迫函数。传递函数帮助我们使用“s” 来捕捉电路的物理特性。

这对设计一个在单个频率 ω 下工作的电路来说很好。但是对于在各种频率下工作的电路呢？一辆遥控汽车可能在 27mhz 下工作，但当按下控制按钮时，频率可能会增加或减少。或者幅度可能会增加或减少。或者相位可能会发生变化。所有这些事情都会在手机通话或 wifi/蓝牙/xbee/AM/FM/无线电视等中发生。

单个电路如何应对这些变化？

傅里叶分析

傅里叶分析说我们不必回答以上所有问题。只需要回答/设计一个问题。由于任何函数都可以转换成一系列正弦函数的叠加，那么通过各种欧米茄扫描电路可以预测其对它们的任何特定组合的响应。

所以我们首先去掉指数项，回到相量。

将 σ 设置为 0

s=j\omega

变量 ω 称为“径向频率”或简称频率。通过它，我们可以为所有共享空气的手机设计电路，为将多个频道打包到一根黑色电缆中的机顶盒设计电路。在传输或接收期间，每个语音或像素的变化都可以在此框架内设计。唯一的要求是扫描正弦电压或电流源可以产生的所有频率。

分析停留在频域。由于一切都在时间上重复，因此从设计角度来看，没有必要回到时间。

径向频率

在傅里叶变换中，值 $\omega$ 称为 **径向频率**，单位为弧度/秒（rad/s）。人们可能更熟悉变量 f，它被称为“频率”，以赫兹 (Hz) 为单位。转换方式如下

\omega =2\pi f

例如，如果给定的交流电源频率为 60 Hz，则产生的径向频率为

\omega =2\pi f=2\pi (60)=120\pi

傅里叶域

傅里叶域然后被分解成两个不同的部分：**幅度图**和**相位图**。幅度图以 jω 为横轴，以变换的幅度为纵轴。请记住，我们可以计算复数值 C 的幅度，如下所示

C=A+jB

|C|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}

相位图以 jω 为横轴，以变换的相位值为纵轴。请记住，我们可以计算复数值的相位，如下所示

C=A+jB

\angle C=\tan ^{-1}\left({\frac {B}{A}}\right)

傅里叶变换的相位和幅度值可以被认为是独立的值，尽管确实存在一些抽象的关系。每个傅里叶变换都必须包含一个相位值和一个幅度值，否则它不能被唯一地转换回时域。

电路的幅度和相位响应图的组合，以及一些特殊的格式和解释被称为 Bode 图。

Bode 图

Bode 图绘制传递函数。由于传递函数是一个复数，因此幅度和相位都被绘制（以极坐标表示）。自变量 ω 扫描通过以主要定义特征（如时间常数或谐振频率）为中心的范围。幅度图以传递函数幅度的 dB 为纵轴。相位图通常以度数为纵轴。

文件：Example45bode1.png

V_CR 相对于 V_S 的 Bode 图，看起来像一个斜率为 -40dB/十倍频程的无源低通滤波器，截止频率看起来为 10⁰ = 1 弧度/秒。电阻在直流时占主导地位，而电容器在极高频率时占主导地位。

MatLab tr 和 bode

示例 1

之前发现传递函数为

H(s)={\frac {\mathbb {V} _{cr}(s)}{\mathbb {V} _{s}(s)}}={\frac {1}{CLs^{2}+{\frac {Ls}{R}}+1}}={\frac {1}{s^{2}+2s+1}}

MatLab 有一种简写符号方法来输入此信息，其中系数按顺序排列（从高次幂到低次幂）（先分子，然后分母）。对于本例

f = tf([1],[1 2 1])

不带冒号结尾，应该会显示传递函数。下一步是绘制它

grid on
bode(f)

结果是一个低通滤波器。我们的目标不是理解如何创建这些图（这并不容易），而是理解如何解释图...(这几乎是一回事)。但在这一点上，我们的目标是练习 MatLab。

文件：Example14Bode.png

R3 电流相对于 V_s 的 Bode 图，看起来像一个在 1K 弧度/秒附近的陷波滤波器

示例 2

之前发现传递函数为

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{s}}}={\frac {1000s^{3}+5*10^{9}s}{s^{4}+5*10^{6}*s^{3}+2.000015*10^{12}*s^{2}+3.5*10^{13}*s+5*10^{13}}}

f = tf([1000 0 5*10^9 0],[1 5*10^6 2.000015*10^12 3.5*10^13 5*10^13])
grid on
bode(f)

幅频特性图

伯德幅频特性图以分贝（dB）为单位，分贝同时表示功率、电压和电流。垂直的 dB 轴不是近似值，也不是相对于任何东西的。垂直轴是一个精确的数字。水平的、自变量轴可以是弧度/秒或赫兹。

相频特性图

伯德相频特性图是以径向频率为横轴，电路在该频率下的相移为纵轴的图。轴可以是弧度或度，频率可以是弧度每秒或赫兹。

极点和零点

传递函数有 7 个特征可以在电路中实现。在查看这些特征之前，需要定义极点、零点和原点。从这个传递函数的定义开始

H(j\omega )={\frac {Z(j\omega )}{P(j\omega )}}

零点是分子中的根。
极点是分母中的根。
原点是 s = jω = 0 的地方（伯德分析中没有实部）。当频率为零时，输入为直流。这是在经过很长时间后电容断路，电感器短路的点。

传递函数中可能出现的 7 个特征是

常数
原点处的零点（分子中的 s）
原点处的极点（分母中的 s）
实零点（分子中的 s+a 因子）
实极点（分母中的 S+a 因子）
复共轭极点
复共轭零点

bode 和 bodeplot 函数在 MatLab 控制系统工具箱中可用。 BodePlotGui 做同样的事情，这里有介绍。BodePlotGui 是通过 NSF 资助在斯沃斯莫尔学院开发的。这里有斯沃斯莫尔伯德图教程的摘要。

电路仿真软件也可以绘制伯德图也。

伯德方程格式

假设我们有一个带有极点和零点的通用传递函数

H(j\omega )={\frac {(\omega _{A}+j\omega )(\omega _{B}+j\omega )}{(\omega _{C}+j\omega )(\omega _{D}+j\omega )}}

方程中上部和下部的每一项都是 $(\omega _{N}+j\omega )$ 的形式。但是，我们可以重新排列我们的数字，使其看起来像下面这样

\omega _{N}(1+{\frac {j\omega }{\omega _{N}}})

现在，如果我们对方程中的每一项都这样做，我们会得到以下结果

H_{bode}(j\omega )={\frac {\omega _{A}\omega _{B}}{\omega _{C}\omega _{D}}}{\frac {(1+{\frac {j\omega }{\omega _{A}}})(1+{\frac {j\omega }{\omega _{B}}})}{(1+{\frac {j\omega }{\omega _{C}}})(1+{\frac {j\omega }{\omega _{D}}})}}

这就是我们所说的“伯德方程”的格式，尽管它们只是另一种写普通频率响应方程的方式。

直流增益

最前面的常数项

{\frac {\omega _{A}\omega _{B}}{\omega _{C}\omega _{D}}}

被称为函数的“直流增益”。如果我们设置 $\omega \to 0$ ，我们可以看到方程中的所有内容都抵消了，H 的值仅仅是我们的直流增益。因此，直流只是当输入频率为零时的输出。

断点频率

每项

(1+{\frac {j\omega }{\omega _{N}}})

量 $\omega _{N}$ 被称为“拐点频率”。当电路的角频率等于拐点频率时，该项变为 (1 + 1) = 2。当角频率远高于拐点频率时，该项的值远大于 1。当角频率远低于拐点频率时，该项的值近似为 1。

近似值

波特图是通过绘制直线（在对数纸上）来构建的，这些直线是真实曲线的近似值。这是一个更精确的定义。

术语“远大于”同义于“至少大于 10 倍”。“远大于”变为“至少大于 10 倍”，而“远小于”变为“至少小于 10 倍”。我们还使用符号“<<”表示“远小于”，而“>>”表示“远大于”。以下是一些示例

1 << 10
10 << 1000
2 << 20 正确！
2 << 10 错误！

由于多种原因，电气工程师发现对某些值进行非常大的近似和舍入是合适的。例如，制造技术永远无法创建完全符合数学计算的电路。当我们将这一点与 << 和 >> 运算符结合起来时，我们可以得出一些重要的结论，这些结论有助于简化我们的工作

如果 A << B

A + B = B
A - B = -B
A / B = 0

所有其他数学运算都需要执行，但这 3 种形式可以近似去掉。这一点对于以后的波特图工作将变得很重要。

利用我们对波特方程形式、直流增益值、分贝和“远大于、远小于”不等式的了解，我们可以找到一种快速的方法来近似波特幅度图。此外，重要的是要记住，这些增益值不是常数，而是依赖于变化的频率值。因此，我们找到的增益都是波特图的 *斜率*。我们的斜率值都以“每十倍分贝”或简称为“db/decade”为单位。

零角频率

在零角频率下，波特图的值仅仅是直流增益值 *以分贝为单位*。请记住，波特图具有对数 10 幅度 Y 轴，因此我们需要将增益转换为分贝

Magnitude=20\log _{10}(DCGain)

在拐点

我们可以注意到，每个给定项在角频率从拐点以下变为拐点以上时都会改变其效果。让我们举一个例子

(1+{\frac {j\omega }{5}})

我们的拐点出现在每秒 5 弧度。当我们的角频率 *远小于* 拐点时，我们有以下情况

Gain=(1+0)=1

Magnitude=20\log _{10}(1)=0db/decade

当我们的角频率等于我们的拐点时，我们有以下情况

Gain=|(1+j)|={\sqrt {2}}

Magnitude=20\log _{10}({\sqrt {2}})=3db/decade

当我们的角频率远高于（10 倍）我们的拐点时，我们得到

Gain=|(1+10j)|\approx 10

Magnitude=20\log _{10}(10)=20db/decade

但是，我们需要记住，我们的一些项是“极点”，而另一些则是“零点”。

零点

零点对幅度图有积极影响。零点的贡献都是正数

角频率 << 拐点: 0db/decade 增益。
角频率 = 拐点: 3db/decade 增益。
角频率 >> 拐点: 20db/decade 增益。

极点

极点对幅度图有负面影响。极点的贡献如下

角频率 << 拐点: 0db/decade 增益。
角频率 = 拐点: -3db/decade 增益。
角频率 >> 拐点: -20db/decade 增益。

结论

要有效地绘制波特图，请遵循以下简单步骤

将频率响应方程转换为波特方程形式。
识别直流增益值，并将其标记为从最左侧（概念上角频率为零）开始的水平线。
在每个“零”拐点处，将线的斜率向上增加 20db/decade。
在每个“极点”拐点处，将线的斜率向下减少 20db/decade。
在每个拐点处，请注意“实际值”与绘制的值相差 3db。

然后你就完成了！

由 UCB 提供

电路理论

阻抗

让我们回顾一下：在变换域中，电阻、电容和电感的量都可以合并成一个称为“阻抗”的复数。阻抗用字母 Z 表示，可以是 s 或 jω 的函数，具体取决于所用的变换（拉普拉斯或傅里叶）。这种阻抗与阻抗的相量概念非常相似，只是我们处于复数域（拉普拉斯或傅里叶），而不是相量域。

阻抗是一个复数，因此由两个分量组成：实部（电阻）和虚部（电抗）。电阻器，因为它们不随时间或频率变化，具有实数值。然而，电容器和电感器具有阻抗的虚数值。电阻始终用大写字母 R 表示，电抗用 X 表示（这是常见的，尽管它令人困惑，因为 X 也是最常见的输入指示符）。因此，我们在电阻、电抗和阻抗之间有以下关系

[复拉普拉斯阻抗]

Z=R+jX

电纳和导纳

电阻的倒数称为“电导”。类似地，电抗的倒数称为“电纳”。阻抗的倒数称为“导纳”。电导、电纳和导纳都用变量 Y 或 G 表示，单位为西门子。本书不会再次使用这些术语，它们只是为了完整性而列出。

并联元件

一旦进入变换域，所有电路元件都像基本电阻一样工作。并联元件之间的关系如下

Z_{1}||Z_{2}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}

串联元件

变换域中的串联元件也像时域中的电阻一样工作。如果我们有两个阻抗串联在一起，我们可以将它们组合如下

Z_{1}{\mbox{ in series with }}Z_{2}=Z_{1}+Z_{2}

求解电路

（本节尚未撰写）

三相电路

本节介绍三相电路。

电路理论/三相传输

附录

电路函数
相量运算
分贝
变换表
资源

电路函数

电路理论

电路函数

本附录页将列出在整个电路理论教科书中使用的变量 H 的各种值。这些 H 值是等效的，但以不同的域表示。所有 H 函数都是电路输入与电路输出的比率。

“脉冲响应”

脉冲响应是电路输入和电路输出之间的时间域关系，用以下符号表示

h(t)

严格来说，脉冲响应是当理想脉冲函数作为输入时电路产生的输出。脉冲响应可用于通过卷积运算确定输入的输出

y(t)=h(t)*x(t)

“网络函数”

网络函数是脉冲响应的相量域表示。网络函数表示如下

\mathbb {H} (\omega )

网络函数通过以下关系与电路的输入和输出相关

\mathbb {Y} (\omega )=\mathbb {H} (\omega )\mathbb {X} (\omega )

类似地，网络函数可以通过在相量域中将输出除以输入来获得。

“传递函数”

传递函数是脉冲响应的拉普拉斯变换表示。它用以下符号表示

H(s)

传递函数可以通过以下两种方法之一获得

变换脉冲响应。
变换电路并求解。

传递函数与输入和输出的关系如下

Y(s)=H(s)X(s)

“频率响应”

频率响应是脉冲响应的傅里叶变换表示。它表示如下

H(j\omega )

频率响应可以通过以下三种方法之一获得

变换脉冲响应
变换电路并求解
将 $s=j\omega$ 代入传递函数

频率响应与电路输入和输出具有以下关系

Y(j\omega )=H(j\omega )X(j\omega )

频率响应在讨论正弦输入或构建伯德图时尤其有用。

相量运算

电路理论

相量运算

本页面将回顾相量和相量算术主题。

形式

相量有两个分量，幅度（M）和相角（φ）。相量通过余弦约定与正弦曲线相关

\mathbb {C} =|M|\angle \phi =|M|\cos(t\omega +\phi )

记住，相量有 **3 种形式**

相量形式

$\mathbb {C} =|M|\angle \phi$

矩形形式

$\mathbb {C} =A+jB$

指数形式

$\mathbb {C} =|M|e^{j\phi }$

相量形式和指数形式是相同的，也称为极坐标形式。

形式转换

在处理相量时，通常需要在矩形形式和极坐标形式之间进行转换。要从矩形形式转换为极坐标形式

|M|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}

\phi =\arctan \left({\frac {B}{A}}\right)

要从极坐标形式转换为矩形形式

A 是相量沿实轴的部分

A=|M|\cos \left(\phi \right)

B 是相量沿虚轴的部分

B=|M|\sin \left(\phi \right)

加法

要将两个相量加在一起，我们必须将它们转换为矩形形式

\mathbb {C} _{1}=A_{1}+jB_{1}

\mathbb {C} _{2}=A_{2}+jB_{2}

\mathbb {C} _{1}+\mathbb {C} _{2}=(A_{1}+A_{2})+j(B_{1}+B_{2})

这是复数运算的一个众所周知的性质。

减法

减法类似于加法，只是现在我们减去

\mathbb {C} _{1}=A_{1}+jB_{1}

\mathbb {C} _{2}=A_{2}+jB_{2}

\mathbb {C} _{1}-\mathbb {C} _{2}=(A_{1}-A_{2})+j(B_{1}-B_{2})

乘法

要将两个相量相乘，我们应该首先将它们转换为极坐标形式，以使事情更简单。极坐标形式的积只是它们幅度的积，而相位是它们相位的和。

\mathbb {C} _{1}=M_{1}\angle \phi _{1}

\mathbb {C} _{2}=M_{2}\angle \phi _{2}

\mathbb {C} _{1}\times \mathbb {C} _{2}=M_{1}\times M_{2}\angle {\phi _{1}+\phi _{2}}

请记住，在极坐标形式下，相量是具有幅值（M）和相位（φ）的指数量。将两个指数相乘会导致幅值相乘，指数相加。

除法

除法类似于乘法，只是现在我们要将幅值相除，并将相位相减。

\mathbb {C} _{1}=|M_{1}|\angle \phi _{1}

\mathbb {C} _{2}=|M_{2}|\angle \phi _{2}

{\mathbb {C} _{1} \over \mathbb {C} _{2}}={|M_{1}| \over |M_{2}|}\angle {\phi _{1}-\phi _{2}}

反转

值得理解的一个重要关系是相量的**反转特性**。

\mathbb {C} =M_{C}\angle 0=-M_{C}\angle \pi

或者，用度表示：

\mathbb {C} =M_{C}\angle 0^{\circ }=-M_{C}\angle 180^{\circ }

例如，在正常的笛卡尔坐标系中，负 X 轴相对于正 X 轴旋转了 180 度。通过在虚轴上使用这个事实，我们可以看到负实轴与正实轴的方向完全相反，因此相差 180 度。

复共轭

与反转特性类似的是相量的**复共轭特性**。复共轭用相量上方的星号表示。由于相量可以绘制在实数-虚数平面上，因此 90 度相量是一个纯虚数，而 -90 度相量是它的复共轭。

\mathbb {C} =M\angle 90^{\circ }

\mathbb {C} ^{*}=M\angle -90^{\circ }=M\angle 270^{\circ }

本质上，这对于所有角度的相量都成立：将角度的符号反转，就可以在极坐标表示中得到相量的复共轭。一般来说，对于极坐标表示，我们有

\mathbb {C} =M\angle \phi

\mathbb {C} ^{*}=M\angle -\phi

在直角坐标系中，我们可以将复共轭表示为

\mathbb {C} =A+jB

\mathbb {C} ^{*}=A-jB

注意，C 的共轭复数唯一的区别是虚部的符号改变。

分贝

电路理论

本附录页面将深入探讨分贝的单位，描述分贝的一些特性，并演示如何在计算中使用它们。

定义

分贝首先是一个功率计算。考虑到这一点，我们将给出分贝的定义

dB=10\log {\frac {P_{out}}{P_{in}}}

字母“dB”用作此计算结果的单位。dB 比例始终以瓦特为单位，除非另有说明。

电压计算

现在，已经证明了另一个公式，允许使用电压而不是功率测量值进行分贝计算。我们将在这里推导出该方程式

首先，我们将使用功率计算和欧姆定律来生成一个常用恒等式

P=VI={\frac {V^{2}}{R}}

现在，如果我们将该结果代入分贝的定义，我们可以创建一个复杂的方程式

dB=10\log {\left[{\frac {\frac {V_{out}^{2}}{R}}{\frac {V_{in}^{2}}{R}}}\right]}

现在，我们可以从分数的顶部和底部抵消电阻值 (R)，并将指数重新排列如下

dB=10\log {\left[\left({\frac {V_{out}}{V_{in}}}\right)^{2}\right]}

如果我们记得对数的性质，我们就会记得，如果我们在对数中有一个指数，我们可以将指数作为系数移到外面。此规则为我们提供了所需的结果

dB=20\log {\left[{\frac {V_{out}}{V_{in}}}\right]}

反向计算

找到分贝计算的反函数是一个简单的算术问题，因此我们不会在这里推导，而是简单地陈述

P=10^{dB/10}

参考单位

现在，这种分贝计算已被证明非常有用，因此有时它们被应用于其他测量单位，而不仅仅是瓦特。具体来说，当要转换的功率单位是毫瓦而不是瓦特时，将使用单位“dBm”。假设我们有一个值为 10dBm 的值，我们可以进行反向计算

P=10^{10dBm/10}=10mW

同样，假设我们想要将分贝计算应用于一个完全无关的单位：赫兹。如果我们有 100 Hz，我们可以应用分贝计算

dB=10\log {100Hz}=20dBHz

如果“dB”标签后面没有字母，则分贝指的是瓦特。

分贝运算

分贝是比率，而不是实数。因此，应特别注意不要在需要增益的方程式中使用分贝值，除非明确要求使用分贝（通常不是这样）。但是，由于分贝是使用对数计算的，因此可以使用一些对数原理来使分贝在计算中可用。

乘法

假设我们有三个值 a b 和 c，它们的相应分贝等效值用大写字母 A B 和 C 表示。我们可以证明对于以下方程式

a = b c

我们可以将所有量更改为分贝，并将乘法运算更改为加法

A = B + C

除法

假设我们有三个值 a b 和 c，它们的相应分贝等效值用大写字母 A B 和 C 表示。我们可以证明对于以下方程式

a = b / c

然后，我们可以通过对数原理证明，我们可以将所有值转换为分贝，然后我们可以将除法运算转换为减法

A = B - C

变换表

电路理论/变换表

资源

电路理论

进一步阅读

这里列出的页面是有关电子电路主题的更多信息的来源，或者对于本书的读者来说可能是感兴趣的附加主题。这里列出的许多资源都是信息来源，这可以被视为本维基教科书的参考书目。

维基教科书

维基教科书：电子学
维基教科书：信号与系统
维基教科书：数字电路
维基教科书：电路理念

以下维基教科书将电路理论列为先决条件

其他资源

Horowitz 和 Hill，《电子学艺术》，第二版，剑桥大学出版社，1989 年。 ISBN 0521370957
美国海军，《基础电学》，多佛，1970 年。 ISBN 0486209733
美国海军，《基础电子学》，多佛，1973 年。 ISBN 0486210766
Comer 和 Comer，《电子电路设计基础》，John Wiley & Sons，2003 年。 http://www.wiley.com/college/comer/ ISBN 0471410160
Dorf 和 Svoboda，《电气电路导论》，第六版，John Wiley & Sons，2004 年。 ISBN 0471447951

[1] 第 6 讲幻灯片 22（PDF 文档中第 6 页） http://www.ee.ic.ac.uk/pcheung/teaching/ee2_signals/Lecture%206%20-%20Laplace%20Transform.pdf

[2] El-Hewie, Mohamed F. (2013). Laplace Transforms. USA: Shaymaa Publishing. pp. 217–220. ISBN 1484136349.

[3] El-Hewie, Mohamed F. (2013). Laplace Transforms. USA: Shaymaa Publishing. pp. 190–220. ISBN 1484136349.

[1]

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