A-level 物理/宇宙学/相对论

时间膨胀

思想实验
想象两节玻璃火车车厢在平行铁轨上行驶，每节车厢都有一面镜子沿其全长面对另一节火车车厢。每节火车车厢上都有一位观察者。火车车厢以接近光速的速度朝相反方向行驶。一位观察者向另一节火车车厢发送一束光脉冲，光脉冲垂直于其运动方向。这束光脉冲在两面镜子之间反复反射。

图表的第一个部分代表了发送光脉冲的观察者所看到的 - 光线在直线上来回反射。然而，另一位观察者看到光线以“之字形”模式移动。这是因为他正在远离发送的光线，因此在每次后续反射后，光线都必须传播更远。

另一个关于时间膨胀的实验是用μ介子进行的，μ介子是质量极小的粒子，衰变速度非常快，几乎消失。当这些粒子被加速（通过粒子加速器）时，它们的寿命显着增加，这表明时间已经减慢。

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引力时间膨胀是阿尔伯特·爱因斯坦的相对论及其相关理论的结果，根据这些理论，处于不同引力势能的时钟以不同的速率滴答作响。

引力时间膨胀最初由阿尔伯特·爱因斯坦在 1907 年描述，是狭义相对论在加速参考系中的一种结果。在广义相对论中，它被认为是时间本身在不同位置的流逝速度差异，如时空度规张量所描述的那样。引力时间膨胀的存在首先通过庞德-雷布卡实验直接得到证实。

定义

读者可能需要了解的背景知识：什么是引力场？什么是时间膨胀？什么是时空？读者还可以研究引力红移或普通红移。

引力时间膨胀可以通过大型质量的存在来体现，质量越大，时间膨胀越大。用更简单的话说，这意味着远离大质量体的观察者是拥有快时钟的远距离观察者，而靠近大质量体的观察者是时间膨胀的观察者，拥有慢时钟。

它还可以通过任何其他类型的加速参考系来体现，例如一辆赛车或航天飞机。旋转的物体，例如旋转木马和摩天轮，由于其角自旋的影响而受到引力时间膨胀的影响。

这得到了广义相对论的支持，因为等效原理指出所有加速参考系都拥有引力场。根据广义相对论，惯性质量和引力质量是相同的。并非所有引力场都是“弯曲”或“球形”的，有些是平坦的，就像一辆加速的赛车或航天飞机一样。任何类型的重力载荷都会导致引力时间膨胀。

• 在一个加速的盒子里，关于任意基底观察者的方程是 $T_{d}=1-gh/c^{2}$，其中
  • $T_{d}$ 是远距离位置处的总时间膨胀，
  • $g$ 是基底观察者测量的盒子加速度，以及
  • $h$ 是观察者之间的“垂直”距离。
• 在一个旋转的圆盘上，当基底观察者位于圆盘中心并与其同向旋转时（这使得他们对时空的看法是非惯性的），方程是 $T_{d}={\sqrt {1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2}}}$，其中
  • $r$ 是圆盘中心（基底观察者所在的位置）的距离，以及
  • $\omega$ 是圆盘的角速度。

（这并非偶然，在惯性参考系中，它变成了我们熟悉的速率时间膨胀 ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$）。

一个常用的用来确定引力时间膨胀的方程是使用施瓦西解，它描述了非旋转大质量物体附近时空。球对称物体的施瓦西解的时间膨胀为

$t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}$，其中

• $t_{0}$ 是处于引力场中的慢速时钟观察者在事件 A 和 B 之间的固有时，
• $t_{f}$ 是一个远离大质量物体（因此位于引力场之外）的快速计时观察者在事件 A 和 B 之间的固有时间，
• $G$ 是万有引力常数，
• $M$ 是产生引力场的物体的质量，
• $r$ 是观察者的径向坐标（类似于物体中心的经典距离，但实际上是史瓦西坐标），以及
• $c$ 是光速。

$2GM/c^{2}$ 被称为 M 的史瓦西半径。如果一个物体坍缩到其表面位于该径向坐标以下（或者换句话说，覆盖的面积小于 $16\pi G^{2}M^{2}/c^{4}$），那么该物体将存在于黑洞中。

后果

如果一个漂浮在深空的卫星以每秒 n 次的频率发射激光，而地球上的观察者看到这个信号发生了蓝移，频率更高，达到每秒 n+1 次，那么这种情况下，唯一可能持续下去的明显方式（信号在接收设备上记录的速度比发射设备发射的速度快，而且持续不断）是，由于它们不同的引力环境，这两套设备的工作方式不同。

需要强调的重要事项

• 根据广义相对论，引力时间膨胀与加速参考系的存在并存。
• 一个地方的光速始终等于 c，这一点是根据在那里观察者的观点得出的。静止观察者的观点对应于局部固有时间。空间时间的每一个无穷小区域可能都有自己的固有时间，对应于那里的引力时间膨胀，其中电磁辐射和物质可能受到同样的影响，因为它们是由相同的本质构成的（正如许多涉及著名方程 $E=mc^{2}$）的实验所表明的那样。这些区域无论是否被观察者占据，都具有重要意义。对于那些靠近太阳、指向金星并沿或多或少类似的路径反弹回地球的弯曲信号来说，时间延迟是可以测量的。从这种意义上说，并没有违反光速，只要观察者被迫观察那些与观察能力相交的光子，而不会观察那些在更大的（甚至更小的）引力时间膨胀的深处经过的光子。

如果一个遥远的观察者能够跟踪遥远地方的光，这些光与更靠近更大质量物体的时间膨胀的观察者相交（暂且不考虑光子不能在不与观察者相交的情况下被观察到的事实），他看到遥远的光和那个遥远的、时间膨胀的观察者比那些靠近他、与他相交、以 c 速度移动的所有其他光具有更慢的固有时间时钟。当另一个遥远的光与遥远的观察者相交时，它将以 c 速度从遥远的观察者的角度传来。

实验验证

引力时间膨胀已通过使用飞机上的原子钟进行实验测量。那些搭载在飞机上返回的时钟与地面上的时钟相比，稍微快一些。这种效应相当显著，以至于全球定位系统需要校正其对人造卫星上时钟的影响，这进一步证明了这种效应。

引力时间膨胀还通过庞德-雷布卡实验和对白矮星天狼星 B 光谱的观测得到证实。

参考文献

• 爱因斯坦，阿尔伯特。“相对论：阿尔伯特·爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论。”古腾堡计划。<http://www.gutenberg.org/etext/5001.>
• 爱因斯坦，阿尔伯特。“引力对光的影响”（1911 年），翻译并转载于相对论原理
• Nave, C.R. “引力和光子”。超物理。<http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/blahol.html#c2.>
• 庞德-雷布卡-斯奈德实验