A 级物理/力、场和能量/电容器

介绍
当两种导电材料被绝缘材料隔开时，它们将表现为具有与法拉（库仑/伏特）单位相关的电容的电容器。

直观地，电容可以解释为“如果我施加一定电压，我可以将多少电荷塞入材料？”
电容器很有用，因为它们可以暂时储存能量并在以后释放能量，并且与电阻器结合使用，它们能够“延迟”信号。

电容/电容器的定义

电容器通常由两片金属片制成，金属片之间由绝缘材料（如空气或陶瓷）隔开。如果我们在两片金属片之间施加电压，将会产生相关的电场，电荷将累积在两片金属片的每一侧。我们将电容 ($C$) 定义为 $C={\frac {Q}{V}}$ 其中 Q 是当施加电压 V 时累积在板上的电荷。这可以直观地得出结论。一个质量极高的电容器将能够在施加最小电压的情况下累积最大电荷量。电容的单位是法拉，简称 F。

电容的另一个定义是板的面积乘以介电常数，除以两片金属片到绝缘材料的距离。换句话说，$C={\frac {\epsilon A}{D}}$。这在直觉上是有道理的 - 如果我们将板做得更大，我们就可以储存更多电荷，如果我们将板靠得更近，电荷吸引的趋势就会增加，从而增加产生的电场。此外，由于电容器的性质，随着介电常数（两片金属片之间的介质）限制电场的能力（介电常数）增加，电容也会增加。

现在，这并不意味着电容是一种只出现在两片金属片上的属性。事实上，任何一段电线或金属都会与之具有小的但非零的电容。计算这些电容，并利用它们或采取必要措施来抵消它们，在电气电路工程中至关重要。

并联和串联的电容器

让我们找出串联和并联电容器的等效电容。

并联电容器

图 3：并联电容器

两个并联连接的电容器的电容相加，即

$C_{equivalent}=C_{1}+C_{2}$

不太严格的证明

当两个电容器并联连接时，电容器的端子将具有相同的电压。因此，如果我们将并联的电容器用一些等效电容器交换，它应该具有与并联电容器中的任何一个相同的电压降。如果我们计算并联电容器上累积的电荷，它们将加起来（如果一个电容器累积了Q1个电荷，另一个电容器累积了Q2个电荷，那么累积的等效电荷为Q1+Q2）。这意味着等效电容器中的电荷是累积电荷的总和... 意味着

$Q_{equivalent}=Q_{1}+Q_{2}...$

$V_{equivalent}=V_{1}=V_{2}$ 它们都相等，所以我们把它称为“V”。

所以，

${\frac {Q_{equivalent}}{V_{equivalent}}}={\frac {Q_{1}+Q_{2}}{V}}$

${\frac {Q_{equivalent}}{V_{equivalent}}}={\frac {Q_{1}}{V_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{V_{2}}}$

因此，

$C_{equivalent}=C_{1}+C_{2}$

...我们可以将此推广到两个以上的电容器 - 只需不断添加每个电容器的有效电容。 因此，对于五个电容器，总电容将为

$C_{equivalent}=C_{1}+C_{2}+C_{3}+C_{4}+C_{5}$

串联电容器

图 4：串联电容器

电容的倒数对于串联连接的电容器，加起来，即

${\frac {1}{C_{equivalent}}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}...$

(再次）非严格证明

这与并联电路完全相反。

首先，电压降必须加起来（例如，如果两个串联电容器 C1 和 C2 的电压降分别为 3V 和 1V，则等效电容器的电压降必须为 4V）。

但是电荷呢？等效电容器中的电荷必须保持不变。 为了说明这一点，假设两个电容器 C1 和 C2 串联连接。 然后，如果电荷 Q 累积在 C1 的一个极板上，那么电荷 -Q 将累积在另一个极板上。 电荷守恒定律规定 '-Q' 必须来自某个地方。 这个 '某个地方' 是 C2 的顶板。

因此，C2 的顶板失去 '-Q' 电荷，这本质上意味着 C2 累积了 'Q' 电荷。 然后，C2 的另一侧将带有电荷 '-Q'。 因此，如果我们从整体上看待该系统，则 C1 顶部累积的电荷大小等于 C2 底部的电荷大小）...

简而言之，

$V_{equivalent}=V_{1}+V_{2}$

$Q_{equivalent}=Q_{1}=Q_{2}$ 它们都相等，因此我们称其为“Q”。

所以，

${\frac {V_{equivalent}}{Q_{equivalent}}}={\frac {V_{1}+V_{2}}{Q}}$

${\frac {V_{equivalent}}{Q_{equivalent}}}={\frac {V_{1}}{Q_{1}}}+{\frac {V_{2}}{Q_{2}}}$

因此，

${\frac {1}{C_{equivalent}}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}$

再次，我们可以将此规则推广到两个以上的电容器 - 只需添加倒数！

电容器作为储能元件

电容器可以被认为是一种通过在其两端施加电压来将能量存储在电场中的装置。 如果我们计算电容为C的电容器在施加电压V时存储的能量（E），我们会发现
$E={\frac {CV^{2}}{2}}(J)$
（顺便说一句，它的磁性模拟被称为电感器，它具有惊人相似的特性和惊人相似的方程。）

非严格证明

电气元件的功率损耗定义为 P=v i，其中 v=电压，i=电流。 电流是电荷随时间的变化，或 dQ/dt。
我们定义 C=Q/V，所以 Q=CV。 由于 C 是常数，所以 i = dQ/dt = C dV/dt。
将此代入功率方程，我们得到

$P=CV{\frac {dV}{dt}}$

因为功率是能量变化率（P=dW/dt），为了找到功W，我们必须对时间进行积分。 这将得到

$W=\int Pdt=\int CV{\frac {dV}{dt}}dt$

虽然数学家会对我现在要说的内容感到愤怒，但这通常适用于大多数情况。 如果我们将导数视为分数，那么我们注意到“dt”将会抵消，得到

$W=\int Pdt=\int CVdV$

这将得到

$W={\frac {CV^{2}}{2}}$

… 这是在电容器上施加电压V时存储电荷所需的功，也就是当我们施加电压V时电容器中存储的能量。

带电阻的电容器（RC 电路）

当我们有一个带电阻和电容器的电路时，我们称之为 RC 电路，这种电路在任何电子系统中都非常常见。 它可以用来延迟信号或滤除不需要的信号。

推导

让我们考虑一个电阻为R的电阻与电容为C的电容器和电压为$-V_{source}$的电压源串联连接的电路。 假设电容器在时间=0时具有电势差$V_{0}$

如果我们对这个电路应用基尔霍夫电压定律，我们将得到以下结果

$-V_{source}+iR+V_{capacitor}=0$

我们知道流过电阻的电流与流过电容器的电流相同。 由于电容器的Q=CV，电流i为${\frac {dQ}{dt}}=CV_{capacitor}'$。 替换i，我们得到

$-V_{source}+CV_{capacitor}'R+V_{capacitor}=0$

添加$V_{source}$并除以RC得到

$V_{capacitor}'+{\frac {V_{capacitor}}{RC}}={\frac {V_{source}}{RC}}$

这是一个一阶微分方程。 解決這個方程式，我們得到

$V_{capacitor}=Ae^{-{\frac {t}{RC}}}+B$

如果我们对其求导，我们将得到

$V'_{capacitor}={\frac {-A}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}$

当t趋于无穷大时，得到

$V'_{capacitor}=0$

$V_{capacitor}=0+B$

如果我们将此代入上面提到的微分方程，我们将得到

$0+{\frac {B}{RC}}={\frac {V_{source}}{RC}}$

因此，$B=V_{source}$

现在，将我们为时间=0 找到的 V(capacitor) 方程代入以求得

$V_{0}=A+V_{source}$

这给了我们$V_{0}-V_{source}=A$。组合起来，我们得到

$V_{capacitor}=(V_{0}-V_{source})e^{-{\frac {t}{RC}}}+V_{source}$

我们将$\tau =RC$称为 RC 电路的“时间常数”。它是一个量级，指示电路电压下降或上升的速度。较大的 T 意味着两种状态之间的过渡时间更长。

$V_{capacitor}=(V_{0}-V_{source})e^{-{\frac {t}{\tau }}}+V_{source};\tau =RC$

方程的解释

在 t=0 时，我们可以看到电容器的电压等于其初始条件。我们还可以注意到，随着时间趋于无穷大，指数项越来越小，这给了我们电源电压。该函数的性质不允许不连续性，这意味着该函数正在从 V(0) 平滑地过渡到 V(source)。有多快？只需要求导。

通过这种解释，RC 电路是一种“以指数方式使电压水平从一个水平平滑过渡到另一个水平的电路”。

时间常数

$\tau$称为 RC 电路的“时间常数”。它是一个量级，指示电路电压下降或上升的速度。较大的 T 意味着两种状态之间的过渡时间更长。

时间常数的实际应用

RC 电路主要用于创建延迟和滤波器。

延迟

假设您要制作一个开关，用户必须按下按钮超过三秒钟才能启动。假设该设备连接到一些其他机械，这些机械将任何高于 4.5V 的电压视为“ON”。另外假设您有一个 5V 电压源。仅凭这些信息，您就能构建一个具有适当时间常数的 RC 电路来实现这种效果。如果我们假设电容器最初是放电的 (Vc(0)=0V)，那么这仅仅是一个代数运算的问题。

滤波器

记住，较高的 RC 意味着更平滑的过渡。如果电压源在变化（例如来自麦克风的信号），那么会发生什么？

从波浪中我们知道，低音具有低频率。低频率意味着从一个值变化到另一个值需要更多时间。与之相反的是高频率，它以更快的速度改变其值。如果我们的 RC 项非常高，那么 RC 电路将无法“跟上”高频率的快速变化。这意味着电路将比高频信号更好地通过低频信号。

这种 RC 电路的应用被称为*低通滤波器*，它在信号处理中有着重要的应用。