A-level 物理学/力学/力、功和功率

功

功是赋予（标量）量的一个特殊名称

$W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {x}}.$

其中 $W$ 是功，$F$ 是物体上的力，$x$ 是位移。本质上，这个积分是所讨论力的分量在位移方向上的分量乘以位移。如果力是恒定的并且物体沿直线运动，则它简化为

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {x}}=Fx\cos \theta \$

其中 $W$ 是功，$F$ 是物体上的力，$x$ 是位移。请注意点积。

我们说 W 是“力 F 所做的功”。请注意 $F$ 不必是作用在物体上的总力，而只是我们正在查看的力。询问给定力对物体所做的功是有意义的。还要注意，作用在物体上的两个力的总和所做的功等于这些力分别作用在物体上所做的功的总和。这导致了功的解释，即它是作用在物体上的力传递给物体的能量。（当然，负功是能量从物体中转移出去。）这是我们甚至考虑功的全部意义。

例如，假设我们有一个作用在物体上的总力 ${\vec {F}}$。那么功就是

$\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=\int m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot d{\vec {r}}=m\int {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot {\vec {v}}dt=m\int {\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}=\Delta \left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)=\Delta KE$

这只是在第一步中使用了牛顿第二定律，并在积分中进行了代换。这表明作用在物体上的总力所做的功是物体动能的变化。例如，如果你拿着一个苹果，然后把苹果向下移动一点然后停止，会发生什么？苹果的势能肯定发生了变化，所以有人在做功，即使动能没有变化——怎么会这样？我们必须考虑所有的力。重力对苹果做了功，但苹果也对你做了功（你对苹果做了负功）——你吸收了能量！因此，实际上没有悖论。

在一种非常特殊的情况下，功的大小并不取决于如何移动一个粒子，而只取决于起点和终点。这种力场被称为“保守力场”。这意味着我们可以引入势能。令人惊讶的是，重力就是一种保守力，这就是为什么我们可以谈论物体的“势能”。这只是为了简化地表示将物体从某个地方（参考点）移动到我们正在讨论的地方所需要的功。因此，动能的变化等于势能变化的负值，这基本上说明系统的总能量是恒定的。事实上，这就是这种力被称为保守力的原因——它守恒机械能！

耗散力，比如摩擦力（它总是消耗能量），有时被称为非保守力。这有点错误，因为在分子层面上，这些力实际上是保守的。然而，在很多情况下，直接说能量不守恒会更方便，即使我们完全清楚它正在消失成原子的运动或热量。你会听到很多人说在特定情况下能量不守恒，但当然它是守恒的；能量总是守恒的。

事实证明，一个力是保守力当且仅当该力是“无旋的”或“无卷曲的”，这与向量微积分有关。但是对于我们所有目的，并没有非保守力！

然而，为了量化所有内容，我们有非保守力所做的功是物体总能量的变化。

功率

功率是做功的速率。因此我们有

$P={\frac {dW}{dt}}$

所以，

$P={\frac {d}{dt}}({\vec {F}}\cdot {\vec {x}})$,

并且对于不随时间变化的力，它变为

$P={\vec {F}}\cdot {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$.

这意味着如果力作用在速度方向上，则速度不会改变，因为功为零，所以动能的变化为零。等等，这怎么可能，既然力必然会加速某样东西？它是加速它，它正在改变运动方向——加速度意味着向量速度的导数，而不是速度的大小。事实上，这告诉我们，速度方向上的力分量负责（并且只有）速度大小的变化，而垂直于速度方向上的力分量负责（并且只有）速度方向的变化。为了稍微量化一下，可以证明

${\vec {a}}=||v||{\vec {T}}+{\frac {||v||^{2}}{\rho }}{\vec {N}}$

其中 a 是加速度，v 是速度，T 是单位切线向量（与粒子的路径相切，因此与速度向量平行），N 是单位法线向量（垂直于切线向量，并且指向切线向量的导数方向，你可以通过在曲线上绘制两个非常接近的切线向量来描绘它），以及 $\rho$ 是曲率半径，它本质上是与该点路径最吻合的圆的半径（圆的曲率半径是圆的半径，直线的曲率半径是无穷大）。所有这些内容对于理解物理学来说并不是真正必要的，但如果你理解它，它将帮助你理解正在发生的事情。注意第二项是向心加速度——事实上，这就是我们得到它的公式的地方。

最后，只是为了写出功率的定义以使其看起来漂亮，如果功以变化的速率完成，则

$P={\frac {dW}{dt}}$

如果功以恒定的速率完成，则这将变为

$P={\frac {W}{\Delta t}}={\frac {\Delta E}{\Delta t}}$.

压力

压力是单位面积上的力。

$P={\frac {F}{A}}$

扭矩

${\vec {\tau }}={\vec {r}}\;\mathbf {x} \;{\vec {F}}\$

$\tau =rF\sin \theta \$

扭矩是作为圆周运动的一部分施加的“旋转力”，例如使汽车车轮转动的力。在国际单位制中，扭矩的单位是牛顿米。