A 级物理/力和运动/标量和向量

向量和标量是物理学家使用的数学构造。一些物理量用标量表示，一些用向量表示，在处理这些物理量时，会对它们进行相应的运算。向量量具有与其相关的方向，而标量则被视为简单的数字。

以下是作为标量和向量表示的一些量的示例。

标量

以下量具有大小，可能还有符号，但没有与之相关联的方向，它们是标量的示例

• 距离
• 速度
• 时间
• 质量
• 能量
• 密度
• 温度

通常，标量量遵循任何数学运算的基本代数规则，例如加法、减法、乘法或除法（就像我们对数字所做的那样）。

标量的加法

标量的加法很简单，您只需要将数字加在一起即可。例如，5m + 3m = 8m，或 76b + 23b = 99b

标量的乘法和除法

标量的乘法和除法与乘法和除法普通数字相同。

您还应记住要乘除单位，以便您可以检查您的答案是否以正确的单位给出。例如，如果您要查找表面的面积：$3m\times 3m=9m^{2}$。面积的单位是$m^{2}$，所以这是正确的。

向量

方向的概念建立了空间中两点之间的关系；也就是说，从一个点到另一个点的“方向”。例如，从点 A 到点 B 的方向可以指定为 A 到 B，而相反方向则是在这种情况下为 B 到 A。方向是无量纲的；也就是说，它没有测量单位，只代表一条线，表示从到（从 A 到 B）的方向，没有“多少”的含义，这被认为是可测量量的“大小”。

“大小”提供了对可测量量的“多少”（或“多少”）的认识。术语五英里的大小为五个度量单位；这个度量单位是英里。

当大小（“五”英里）与方向（假设为北；即从我到北极星的无量纲方向）相结合时，我们得到“北五英里”；这是一个“向量”。“向量”既有大小也有方向。一种特殊的向量在给定方向上的大小为 1，被称为该方向的“单位向量”。只有大小而没有相关方向的量是“标量”，如前所述。

具有相同方向和大小的两个向量是相等的；从我到我“北五英里”的向量等于从你到“北五英里”的向量；无论你在哪里。但是，从我移动到我“北五英里”处获得的位置不是向量。该向量是“位移”，包括距离的大小（五英里）和方向（北）。位置可以用一个起始参考点（你；无论你在哪里）和一个向量（北五英里）来表示，但向量本身不是一个位置；它必须有一个参考位置才能作为位置有意义。

以下量既具有大小，也具有与之相关联的方向，因此是向量

• 位移（例如，北五英里）
• 速度（每秒 50 米，方位角为 60 度 15 秒）
• 加速度（每秒平方 32 英尺，直线上升）
• 重量（你的质量直线下落）
• 力（给定方向上的能量量）

向量可以在任何一组空间维度中表示，尽管通常它们是在 2-D 或 3-D 空间中表达的。

乘法

将向量乘以标量

当您将向量乘以标量时，结果是一个向量。如果乘以正标量，其方向不变；如果乘以负标量，其方向相反。向量的幅度只需乘以标量即可。

将向量乘以向量

当您将两个向量相乘时，有两种不同的乘法。一个是点积，一个是叉积。两个向量的乘法超出了 A 级物理课程的范围，但您可以在维基百科上找到有关它们的更多信息。

向量的加法

只要向量朝向完全相同的方向，它们就可以像标量一样相加。如果向量方向相反，您必须从一个向量中减去另一个向量，除非另有说明，否则您应使用常见的约定，即

• 上为正，下为负，以及
• 右为正，左为负。

当向量不在一条直线上时，您必须使用另一种方法来找到它们的总和。

勾股定理

如果两个向量相互垂直，则可以使用勾股定理找到总向量，其中合向量是直角三角形的斜边。

合力的方向可以通过以下公式求得：$\tan \phi ={\frac {b}{a}}$，其中 $a$ 是与角相邻的一条边，$b$ 是角的对边，$\phi$ 是合向量的角度。

请注意，向量 a 对向量 b 的方向没有影响，同样，向量 b 对向量 a 的方向也没有影响。当两个向量相互垂直时，它们被认为是相互独立的。

将向量分解为两个垂直分量

一个向量可以分解成分量，这些分量彼此垂直，使得这两个分量的向量和等于原始向量。（通常，将一个向量分解成两个垂直分量很有趣，其中一个是垂直的，另一个是水平的。但是，分量不一定总是垂直和水平的；它们只需要彼此垂直）。将一个向量分解成两个分量称为分解向量。它是使用勾股定理添加两个垂直向量的逆运算，因此添加这两个分量将得到原始向量。这种方式分解的向量有很多用处。

分解一个向量需要一些简单的三角学。在图中，要分解的向量是力，$F$。对于角 $A$

• $F$ 的水平分量：$F_{x}=F\ \cos \ A$，并且
• $F$ 的垂直分量：$F_{y}=F\ \sin \ A$。

请注意，这两个分量不一定是水平的和垂直的。角 $A$ 可以改变到任何需要的方向，并且这两个分量仍然彼此垂直。