A-level 物理学/力、场和能量/振荡

如果你观察一个摆锤、一个荡秋千的孩子或一个播放低频声音的扬声器锥体的运动，你会注意到在每种情况下，都存在着从中心点来回的相同距离的运动，换句话说，就是振动。这些振动物体被称为振荡。

观察振荡

自由振荡

当一个物体处于自由振荡时，它以其固有频率振动。例如，如果你敲击一个音叉，它会在你敲击它之后的一段时间内振动，或者如果你敲击一个摆锤，无论你敲击它多用力，它总是以相同的频率振荡。所有振荡物体都有一个固有频率，一旦它们从平衡位置移动，它们就会以这个频率振动。

受迫振荡

想象一座在地震中的建筑物。地面在左右移动，建筑物（假设它足够坚固，不会被力完全摧毁）也会随着地面左右移动。在这种情况下，这种振荡不是建筑物的固有频率，而是被强迫与地面一起振动。这就是受迫振荡。

振荡系统的例子

• 用弹簧支撑的质量
• 摆锤
• 吉他的琴弦

描述振荡

振荡可以用位移-时间图来表示，就像这样

注意曲线是平滑的。这是因为物体在改变方向之前会减速，而不是来回反弹，这才是具有直线和尖锐拐角的图形所描述的。具有如上所示的曲线线的位移-时间图的运动被称为正弦运动。

该图可以显示我们几个振荡系统之间的差异。对于一个振荡系统，该图可以显示我们

• 在给定时间点的位移，
• 振幅，
• 周期和，
• 频率

位移

在某一时刻的位移是指物体偏离中心点的距离。位移在中心点为 0，在一边最大（通常在右侧，当右侧被认为是正值时），并在另一边的最大负值点（通常是左侧，但是，只有当右侧被认为是正值时）。位移用符号 s 或 x 表示。

振幅

振幅是指振荡物体最大的位移。它是从中心点测量到一个最大位移点。振幅会随着时间增加或减少。振幅用符号 A 表示

周期和频率

周期是指完成一次振荡所需的时间。频率是指每秒的振荡次数

简谐运动

如果一个物体的加速度与其偏离固定点的位移成正比，并且始终指向该点，则该物体执行简谐运动。

为了探索简谐运动 (SHM)，让我们以一个没有重力的弹簧和一个质量作为例子（有趣的是，即使有重力存在，你也会得到 SHM）。如果这是我们的理想弹簧，那么力为 kx，其中 k 是弹簧刚度的量度，x 是位移。如果这是弹簧的平衡位置，那么力指向原点，所以我们写 -kx 来提醒自己这一点。现在，牛顿第二定律变为

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$.

这个微分方程很容易求解，答案是 $Acos(\omega _{0}t+\phi )$ 其中 A 和 $\phi$ 是任意常数，而 $\omega _{0}={\sqrt {k/m}}$。我们如何得到解并不重要，因为我们是物理学家，而不是数学家。这是我们期待的答案，所以我们试一试，结果它有效。如果你不相信我，把它代入进去。此外，这是完整的解决方案，你必须相信我，因为这有点难以证明。

不失一般性，我们将取 $\phi$，也称为相移，为零（如果你担心这一点，我们只是定义了 t=0 在哪里）。

现在，我们发现该解的一个显著特点是频率（弧度每秒），$\omega _{0}$ 与 A 无关。也就是说，无论振荡幅度多大，频率都是一样的。摆锤近似于 SHM，所以这就是为什么它们被用在钟表中，振幅不影响周期！顺便说一句，我们在欧米伽上加了下标零，因为我们很快就会用到其他欧米伽。

需要记住的一些术语是频率 f（每秒周期） = $\omega _{0}/(2\pi )$ 和周期 T = $1/f$。这些并不那么重要，但通常人们会指定频率或周期而不是角频率，所以它们可能会有帮助。

现在，为了得到速度，对位置求导，为了得到加速度，对速度求导。我们有：

$v=A\omega _{0}sin(\omega _{0}t)$ 和 $a=-A\omega _{0}^{2}cos(\omega _{0}t)=-\omega _{0}^{2}x$.

现在，我们还没有说 A 是什么。事实证明，它取决于问题或初始条件。我们可以说振荡器在某个 t 时的速度或位置是某个值，然后使用 v 或 a 的表达式来求解 A。如果你想求解相位，也可以用同样的方法，但这有点繁琐，而且不能告诉我们太多信息。

请注意，最大的速度出现在振荡的平衡位置（x = 0）处。我们可以继续做出这样的陈述，但如果你简单地在同一个图表上绘制位置、速度和加速度，它们都非常明显。

阻尼

自由振荡的物体以其固有频率振荡。如果它没有损失能量，它将永远振荡下去。阻尼是指振荡质量损失能量。阻尼有三种类型

1) 轻阻尼 - 振幅随时间逐渐减小

2) 临界阻尼 - 质量将超过 0 位移

3) 重阻尼 - 位移在没有任何振荡的情况下减小到 0。

阻尼的起因是摩擦力，例如汽车悬挂

让我们试着量化一下。假设有一个摩擦力与速度成正比（在许多情况下这是一个很好的近似值），比例常数为 c。然后，根据牛顿第二定律，

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0$.

这个方程比没有摩擦力的方程更难解。我将使用一个非常好的技巧，你将在整个物理学中遇到这个技巧，以及在你有类似方程的时候。请注意，如果 x 是一个解，y 是一个解，那么 ax + by 也是一个解，其中 a 和 b 是常数（实数或复数）。这个性质意味着方程被称为“线性”。我们知道 $e^{ix}=cos(x)+isin(x)$。假设 x 是 $Ae^{i\omega t}$。然后我们只取 x 的实部，我们就可以得到答案，因为方程是线性的，但指数比正弦和余弦更容易处理。运动方程变为

$(-m\omega ^{2}+i\omega c+k)e^{i\omega t}=0$

所以：

$(m\omega ^{2}-i\omega c-k)=0$ 或 $\omega _{0}=ic/2m\pm {\sqrt {(c/m)^{2}/4-k/m}}$.

定义 $\gamma =c/m$，并记住 $\omega _{0}^{2}=k/m$

$\omega =i\gamma /2\pm {\sqrt {-\gamma ^{2}/4+\omega _{0}^{2}}}$.

定义 $\omega _{\gamma }={\sqrt {-\gamma ^{2}/4+\omega _{0}^{2}}}$，我们有通解

$Ae^{-\gamma /2+i\omega _{\gamma }}+Be^{-\gamma /2-i\omega _{\gamma }}=e^{-\gamma /2}(Ae^{i\omega _{\gamma }}+Be^{-i\omega _{\gamma }})$.

我们所做的只是用欧拉恒等式取其实部，得到：

$Ce^{-\gamma /2}cos(\omega _{\gamma }t+\phi )$,

其中 C 和 $phi$ 只是用不同的方式写 A 和 B。如果你想的话可以找到它们，但它们不会太有用。请注意，振荡器以越来越小的振幅振荡，但不是以其“自然”频率振荡，而是以不同的频率振荡。

可以想象 $\omega _{\gamma }$ 是虚数，在这种情况下，整个解只是一个负指数！这被称为临界阻尼，当它变成一个指数而不是振荡运动时。

共振

当振荡的驱动频率等于物体的固有频率时，质量会发生共振。（另见塔科马海峡大桥，也称为“摇摆的格蒂”）。这意味着要完成工作才能保持振荡的驱动。

如果驱动频率小于固有频率，振幅会减小到更小的值。