A-level 物理/力和运动/运动学

运动学是研究物体运动方式的学科。它专注于描述物体的运动，而不解释力如何影响它。

距离和位移

虽然所走的距离是 25 米，但位移是绿色的箭头所示方向上的 10 米。

你可能已经熟悉了距离这个词，因为两点之间的距离是物体在这两点之间所走路径的长度。

距离是一个标量，所以如果你向北走 10 米，然后向南走 10 米，你将走过 20 米的距离。

位移，然而，是一个矢量量。从某种意义上说，位移仅仅是两点之间最短的距离。如果一个物体在经过一段距离后最终回到了它的初始位置，我们说该物体的位移为 0，所以上面的例子将给你一个 0 米的总位移。

在右边的图中，如果所走的距离为 25 米，那么位移将为 10 米。你可以通过测量起点和终点之间的直线长度来找到位移。

如果一个测量值具有指定的方向，则它是一个位移，否则它是一个距离。

距离的符号是d，位移的符号是s或x。注意不要将s与位移混淆，因为s也代表秒。

速度和速度

物体的速度是它在单位时间内移动的距离。

如果你知道物体移动的距离和它移动这段距离所花费的时间，你就可以找到物体的速度。

$average\ speed={\frac {distance\ moved}{time\ taken}}$，或 $s={\frac {d}{t}}$。

速度是一个向量，与距离和位移之间的区别类似，速度是在指定方向上的速度。

一辆汽车可以以恒定速度移动，但速度却在变化。这种情况发生在汽车转弯时。想象一辆赛车以 20 米/秒的速度沿赛道行驶。如果这个方向被认为是正方向，那么汽车的速度也是 20 米/秒。现在，如果汽车要转入一个“U”形弯，它的速度就会改变。当汽车垂直于第一条直线时，汽车的速度仍然是 20 米/秒，但它的速度现在将是 0 米/秒。当汽车完成转弯并返回起点时，速度仍然是 20 米/秒，但速度是 -20 米/秒，因为汽车现在正在相反的方向移动。

速度的符号是s，速度的符号是v。注意不要将s与速度混淆，因为s也代表位移或秒。

加速度

加速度是速度变化率。换句话说，加速度是物体在单位时间内速度变化的量。

如果你知道速度的变化量和变化所花费的时间，你可以使用以下公式找到加速度。

$acceleration={\frac {change\ in\ velocity}{time\ taken\ for\ change}}$，或 $a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$。

或者，如果你有初始速度和最终速度，你可以使用以下公式：

$a={\frac {v-u}{\Delta t}}$，其中 $u$ 是初速度，而 $v$ 是末速度。

$\Delta$（Delta）表示“变化”。

加速度是一个向量，它可以使物体减速，也可以使物体加速。当物体的加速度与其速度方向相反时，物体就会减速。此时，物体正在 **减速**。

如果物体改变了方向，也可以说它正在加速。在上面的例子中，汽车通过转弯改变了它的速度。由于加速度是速度变化的速率，因此汽车正在加速。

加速度的单位是米每秒平方，或 $m/s^{2}$。如果一个物体的加速度为 $10m/s^{2}$，这意味着它的速度每秒增加 $10m/s$。

测量速度和加速度

光电门

光电门有一个红外发射器和接收器，安装在坚固的钢制外壳中，可以避免任何错位问题。光电门可用于研究自由落体、气垫导轨和斜面实验。

记时纸带计时器

记时纸带计时器用于测量速度、加速度和一般计时。它的频率为 50 到 60 Hz（根据类型而有所不同），相当于市电的频率。如果从 12V 交流电源运行，它将给出良好的结果。计时器使用一个电磁体，它会激活一个击打器，通过记时纸带上的碳盘产生点。在 50 Hz 时，每个点将代表 0.02 秒。而在 60 Hz 时，一个点代表 0.01 秒。

加速度计

该设备用于测量加速度，单位为米每秒平方 (m/s²)。

运动方程

从位置、速度和加速度的定义，可以推导出这三个向量之间的关系。

• ${\vec {v_{f}}}={\vec {v_{i}}}+{\vec {a}}\Delta t\$
• $\Delta {\vec {s}}={\vec {v_{i}}}\Delta t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}(\Delta t)^{2}$
• ${\vec {v_{f}}}^{2}={\vec {v_{i}}}^{2}+2{\vec {a}}\Delta s\$

其中 ${\vec {a}}$ 是方向与速度一致的加速度，${\vec {s}}$ 是位移，$t$ 是时间，${\vec {v_{i}}}$ 是初速度，${\vec {v_{f}}}$ 是末速度。注意，这些公式仅在物体具有 **恒定加速度** 且运动方向为 **线性** 时才有效。

使用这些公式

一辆汽车从静止开始以 5m/s² 的加速度匀速加速。它在 5 秒后的速度是多少？首先，我们从上面的问题中收集数据：加速度 [a]= 5m/s² 时间[∆t]= 0m/s² 初始速度[u]= 0m/s 末速度[v]=? 使用收集到的数据，我们用这个公式：v=u+a∆t 然后我们将数据代入公式：v=0m/s² + (5m/s²×10s) v=0m/s² + 25m/s v=25m/s 这辆汽车从开始行驶 5 秒后，速度达到 25m/s。

推导公式

如上所述，运动方程是从

${\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {s}}}{\Delta t}},{\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$.

推导 $\Delta s=v_{avg}\times \Delta t$

表达式 ${\frac {v_{i}+v_{f}}{2}}$ 是时间段内的平均速度。这仅在线性情况下才允许；非线性运动学需要使用微积分。因为平均速度考虑了线性变化过程中速度的变化，所以总行程就是时间段内的速度乘以时间。

推导 s = ut + 1/2 a(Δt)²

这个公式是从公式 $v=u+a\Delta t\$ 和 $\Delta s={\frac {(u+v)}{2}}\cdot \Delta t$ 推导出来的。

将 $v=u+a\Delta t\$ 代入公式 $\Delta s={\frac {(u+v)}{2}}\cdot \Delta t$

$\Delta s\$	=	${\frac {u+u+a\Delta t}{2}}\cdot \Delta t$
	=	${\frac {2u\Delta t}{2}}+{\frac {a(\Delta t)^{2}}{2}}$
	=	$u\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}$

另一种更常用的推导方法是使用微积分。假设 $v=u+at$

• ${\frac {ds}{dt}}=v$
• $s=\int {vdt}$
• $s=\int {(u+at)dt}$
• $s=ut+{\frac {at^{2}}{2}}+C$
• 边界条件是在 t = 0 时，Δs = 0，所以 C = 0。因此该方程式变为
• $s=ut+{\frac {at^{2}}{2}}$

推导 v² = u² + 2aΔs

该方程式是由公式 $\Delta s=u\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}$ 和 $a={\frac {v-u}{\Delta t}}$ 推导出来的。

将 $\Delta s=u\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}$ 乘以 $a={\frac {v-u}{\Delta t}}$

$a\Delta s={\frac {1}{2}}(v+u)\cdot \Delta t\cdot {\frac {(v-u)}{\Delta t}}$

$2a\Delta s=(v+u)(v-u)\$

$2a\Delta s=v^{2}-u^{2}\$

$v^{2}=u^{2}+2a\Delta s\$

推导出向量中的方程

• 所有常量用大写字母表示
• 所有变量用小写字母表示

推导 v(t) = U_i + A (t - T_i)

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}\ {\vec {s}}}{dt^{2}}}$

所以

${\vec {v}}(t)=\int _{T_{i}}^{t}{\vec {a}}dt$

对于零加速度或恒定加速度 A，我们有

${\vec {v}}(t)={\vec {A}}\int _{T_{i}}^{t}dt$

${\vec {v}}(t)={\vec {A}}\,[t]_{T_{i}}^{t}$

${\vec {v}}(t)={\vec {A}}\,(t-{T_{i}})+K$

我们有一个未知数 K，我们需要考虑初始或最终条件

• 假设最初我们有 ${\vec {v}}(T_{i})={\vec {U}}_{i}$

${\vec {U}}_{i}={\vec {A}}\,({T_{i}}-{T_{i}})+K$

即

$k={\vec {U}}_{i}$

${\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\,(t-{T_{i}})$

如果我们考虑最终条件，那么： ${\vec {v}}(T_{f})={\vec {V}}_{f}$

${\vec {v}}(t)={\vec {V}}_{f}+{\vec {A}}\,({T_{f}}-t)$

可以使用初始和最终条件找到恒定加速度

${\vec {A}}={\frac {{\vec {V}}_{f}-{\vec {U}}_{i}}{T_{f}-T_{i}}}$

推导出 s(t) = S_i + U_i(t-T_i) + (1/2)A (t - T_i)²

现在我们有

${\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\,(t-{T_{i}})$

${\vec {s}}(t)=\int _{T_{i}}^{t}{\Big (}{\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\,(t-{T_{i}}){\Big )}{dt}$

${\vec {s}}(t)=({\vec {U}}_{i}-{\vec {A}}\,T_{i})\int _{T_{i}}^{t}{dt}+{\vec {A}}\int _{T_{i}}^{t}t\ {dt}$

${\vec {s}}(t)=({\vec {U}}_{i}-{\vec {A}}\,T_{i})\ {\Big [}t{\Big ]}_{T_{i}}^{t}+{\vec {A}}{\Bigg [}{\frac {t^{2}}{2}}{\Bigg ]}_{T_{i}}^{t}+K$

$K={\vec {S_{i}}}$

${\vec {s}}(t)={\vec {S_{i}}}+({\vec {U}}_{i}-{\vec {A}}\,T_{i})({t}-{T_{i}})+{\frac {\vec {A}}{2}}(t^{2}-{T_{i}}^{2})$

${\vec {s}}(t)={\vec {S_{i}}}+{\vec {U}}_{i}({t}-{T_{i}})-{\vec {A}}({t}T_{i}-{T_{i}}^{2})+{\frac {\vec {A}}{2}}(t^{2}-{T_{i}}^{2})$

${\vec {s}}(t)={\vec {S_{i}}}+{\vec {U}}_{i}({t}-{T_{i}})+{\frac {\vec {A}}{2}}(t^{2}-2{t}T_{i}+{T_{i}}^{2})$

${\vec {s}}(t)={\vec {S_{i}}}+{\vec {U}}_{i}({t}-{T_{i}})+{\frac {\vec {A}}{2}}(t-T_{i})^{2}$

如果我们采用最终条件，即 ${\vec {s}}(T_{f})={\vec {S}}_{f}$ 那么

${\vec {s}}(t)={\vec {S_{f}}}+{\vec {V}}_{f}({T_{f}}-{t})-{\frac {\vec {A}}{2}}(T_{f}-t)^{2}$

推导 |v(t)|² = |U_i|² + 2 A . (s(t)-S_i)

${\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\,(t-{T_{i}})$

${\vec {v}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}\cdot {\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}\ (t-T_{i})^{2}+2{\vec {A}}\cdot {\vec {U}}_{i}(t-T_{i})$

${\vec {v}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}\cdot {\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}\ (t-T_{i})^{2}+2{\vec {A}}\cdot {\Bigg (}{\vec {s}}(t)-{\vec {S}}_{i}-{\frac {\vec {A}}{2}}(t-T_{i})^{2}{\Bigg )}$

${\vec {v}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}\cdot {\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}\ (t-T_{i})^{2}+2{\vec {A}}\cdot ({\vec {s}}(t)-{\vec {S}}_{i})-2{\vec {A}}\cdot ({\frac {\vec {A}}{2}}(t-T_{i})^{2})$

${\vec {v}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}\cdot {\vec {U}}_{i}+2{\vec {A}}\cdot ({\vec {s}}(t)-{\vec {S}}_{i})$

考虑末速度的情况

${\vec {V}}_{f}\cdot {\vec {V}}_{f}={\vec {U}}_{i}\cdot {\vec {U}}_{i}+2{\vec {A}}\cdot ({\vec {S}}_{f}-{\vec {S}}_{i})$

或者

$\left|{\vec {V}}_{f}\right|^{2}=\left|{\vec {U}}_{i}\right|^{2}+2{\vec {A}}\cdot ({\vec {S}}_{f}-{\vec {S}}_{i})$