A 级物理/力学、场和能量/圆周运动

圆周运动是一个非常有趣的概念，而且并不复杂。在圆周运动和直线运动之间可以画出很多联系（非字面意义上的）。事实上，随着你不断学习，你会发现圆周运动比直线运动更方便，因为它具有一些基本特性，最重要的是，一个物体的角运动对于所有粒子都是相同的，尽管它们的速率可能不同。然而，这将在旋转力学中讨论，而不是在这里。在阅读本节之前，请确保你已经彻底理解了直线运动、向量和微分。

角变量

与直线运动中表示位置向量、位移、速度和加速度的变量${\vec {r}},{\vec {s}},{\vec {v}},{\vec {a}}$ 相似，在角运动中我们有一些术语。

第一个变量是$\ \theta$，它是在圆心处所成的角。这可以与直线运动的位置向量${\vec {r}}$ 相比较。它以弧度或弧度为单位测量。

第二个变量是角速度，$\ {\vec {\omega }}$。就像速度是你的位置向量或你的位移随时间 t 的变化一样，$\ {\vec {\omega }}$ 是每单位时间的角度变化。它以弧度/秒为单位测量。此外，它不是你的位移角度。如果你在一秒钟内覆盖 360 度，并且是一个完整的圆圈，这并不意味着你的角速度为零，而是每秒 2 弧度。在数学上，我们有，$\ {\vec {\omega }}=d\theta /dt$

第三个变量是角加速度，$\ {\vec {\alpha }}$。它是角速度随时间的变化。它以弧度/秒平方为单位测量，$rads/s^{2}$。在数学上，$\ {\vec {\alpha }}=d\omega /dt$

请注意，这些量不依赖于半径。所有角项仅依赖于旋转轴或圆心，这一事实使得圆周运动非常有用。

轴矢量

需要注意的是，这些向量不是法向量，而是轴向量。轴向量是沿轴的向量。这些角变量不是沿着运动方向，而是沿着轴线，向上或向下。

这个概念很难想象。想象一根杆，它是你的旋转轴，穿过一个圆盘。如果你试图旋转圆盘，轴线将开始旋转。因此，你的轴线没有真正速度。它根本没有移动。

现在，如果你在杆上放一个小的环。它应该接触，但不要太紧。如果你旋转杆，环将开始向上或向下移动。这是由于物理现象，但对于这个目的，忽略其运动的动力学，只考虑它是向上或向下移动。此外，请注意，一般来说，当你逆时针旋转它时，它会向上移动。通过这个实验，你可以想象轴向量是如何工作的。

按照惯例，逆时针旋转的轴向量的方向被认为是轴线上的正向上向量，反之亦然，对于顺时针旋转也是如此。需要注意的另一个点是，尽管轴向量可以被分解，以模拟一个在两个轴上旋转的物体，但这往往会使情况复杂化。如果你两个旋转轴没有通过同一点，也会出现一些技术上的复杂情况。这是一种非常复杂的情况，这里不予讨论。

使用角变量

以下是几个展示我们刚学过的角变量用法的例子。

示例 1

假设一个物体正在旋转，使得它每分钟在中心处扫过 1200° 的角。求它的角速度（用 SI 单位表示）。

我们知道，角速度是单位时间内扫过的角度。由于它每分钟扫过 1200 度，并且角速度恒定，我们可以说它每秒扫过 20 度。20 度等于 $\pi /9$ 弧度。因此，我们得到 $\ {\vec {\omega }}=\pi /9$ rad/s。

示例 2

如果一个物体的角位移每秒增加 $\pi$，求它在任意时刻 t 的角速度和角加速度。

很明显，角速度不是恒定的。第一秒的平均角速度为 $\pi$ rad/s，第二秒为 $2\pi$ rad/s，第三秒为 $3\pi$ rad/s。你可以观察到，角速度等于时间 t 乘以 $\pi$ 弧度每秒。因此，${\vec {\omega }}=t\pi$ rad/s。

我们还可以看到，角加速度是恒定的，并且等于 $\pi$ 弧度每秒平方。因此，${\vec {\alpha }}=\pi$。

运动方程

现在我们来看一些方程，它们与直线运动的方程惊人地相似。上面给出的第二个例子可以用这些方程更好地解决。所有这些方程都只适用于**恒定角加速度**的情况。

1. ${\vec {\omega }}={\vec {\omega }}_{0}+{\vec {\alpha }}t$ 该方程给出了角速度与时间之间的关系。 ${\vec {\omega }}_{0}$ 是初始角速度。
2. $\theta =\theta _{0}+{\vec {\omega }}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {\alpha }}t^{2}$ 该方程给出了角位移与时间之间的关系。 $\theta _{0}$ 是初始角位移。
3. $\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}=2\theta \alpha$ 此方程式给出了角速度和角位移之间的关系。请记住，ω **不是矢量**。

例 3

如果一个物体绕轴旋转，以 4 rad/s^2 的速率加速，求

1. 5 秒后的角位移和此时的角速度
2. 达到 12 rad/s 的角速度时的角位移

1. 时间已给出。在第一部分，我们需要一个 θ 和时间之间的关系。这是第二个方程式。因此，我们已经确定了方程式，$\theta =\theta _{0}+{\vec {\omega }}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {\alpha }}t^{2}$. 我们也知道 θ0、ω0 和 α 的值。代入，$\theta =0+0*5+{\frac {1}{2}}45^{2}=2\times 25$ $\theta =50$ 弧度。第二部分要求我们建立 ω 和时间之间的关系。这是第一个方程式。 ${\vec {\omega }}={\vec {\omega }}_{0}+{\vec {\alpha }}t=0+4\times 5=20$ ${\vec {\omega }}=20$ rad/s
2. 有两种方法可以解决此方程式。一种是通过第一个方程式求出时间，并将其代入第二个方程式，另一种是直接使用第三个方程式。 ${\vec {\omega }}={\vec {\omega }}_{0}+{\vec {\alpha }}t$ $12=0+4\times t$ 或者 $t=3$。代入方程式 2，$\theta =0+1/2\times 4\times 3^{2}=2\times 9=18$。在另一种方法中，$12^{2}=2\times \theta \times 4$ 或者 $\theta ={\frac {144}{2\times 4}}=18$

有人可能会问，为什么一开始要考虑第一种方法。这是因为，如果给定的是角 **速度** 而不是你的 **速度**，第三个方程式将要求我们首先找到&omega的速度，即大小，然后我们才能继续进行。这也不是什么大问题，可以解决。但如果要求的是角速度，第三个方程式就不会给出。这些都是需要牢记的重要事项，即使它们不经常被应用。

角单位向量

为了方便起见，圆周运动中使用两种不同的向量，即径向向量和切向向量。与我们通常用于x轴和y轴分量的${\hat {i}}$ 和 ${\hat {j}}$ 向量不同，径向向量 ${\hat {r}}$ 给出沿径向线的向外分量。切向向量 ${\hat {\tau }}$ 给出沿切线的分量，逆时针方向为正。

如果已知中心所对的角，那么通过三角函数，将这些向量转换为正常的x轴和y轴向量就变得非常容易。