波/一维示例

波 : 一维波
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示例

我们现在通过显示由两个正弦波叠加产生的位移来举例说明相速度和群速度，如公式 (1.38) 所示，在$x$-$t$ 平面中。这是一个时空图的例子，我们稍后将看到许多这样的例子。

图 1.16：两个行进正弦波之和的净位移在$x-t$ 平面中的绘制。短竖线表示位移较大且为正的位置，而短横线表示位移较大且为负的位置。一个波的$k=4$ 和 $\omega =4$，而另一个波的$k=5$ 和 $\omega =5$。因此，$\Delta k=5-4=1$ 和 $\Delta \omega =5-4=1$，并且我们有$u=\Delta \omega /\Delta k=1$。请注意，第一个正弦波的相速度为$c_{1}=4/4=1$，第二个波的相速度为$c_{2}=5/5=1$。因此，在这种情况下，$c_{1}=c_{2}=u$。

图 1.16 显示了一个非色散的情况，其中相速度等于群速度。具有垂直和水平阴影线（短垂直线或短水平线）的区域表示波位移较大且为正或较大且为负的位置。大位移表示波包的位置。因此，可以通过在所需时间处在图上画一条水平线并检查沿该线的波位移变化来确定任何给定时间的波和波包的位置。波的波峰由短竖线区域表示。请注意，随着时间的推移，波峰向右移动。这对应于波包内波的运动。还要注意，波包，即大的正幅度和负幅度的宽区域，也随着时间的推移向右移动。

由于速度是移动距离$\Delta x$除以经过时间$\Delta t$，图1.16中直线的斜率$\Delta t/\Delta x$，是该直线所代表的任何事物的速度的倒数。在本例中，代表波峰（倾斜线，而不是短的水平线和垂直线）的线的斜率与代表波包的线的斜率相同，这表明两者以相同的速度移动。由于波峰的移动速度是相速度，而波包的移动速度是群速度，因此这两个速度相等，从而证实了这种情况的非色散性。

图1.17：在$x$-$t$平面上绘制的两个行进正弦波之和的净位移。一个波具有$k=4.5$和$\omega =4$，而另一个波具有$k=5.5$和$\omega =6$。在这种情况下$\Delta k=5.5-4.5=1$，而$\Delta \omega =6-4=2$，因此群速度为$u=\Delta \omega /\Delta k=2/1=2$。但是，这两个波的相速度为$c_{1}=4/4.5=0.889$和$c_{2}=6/5.5=1.091$。这两个相速度的平均值约为$0.989$，因此在这种情况下，群速度大约是平均相速度的两倍。

图 1.18：在 $x$-$t$ 平面中绘制的两个行进正弦波之和的净位移。一个波的 $k=4$ 和 $\omega =5$，而另一个波的 $k=5$ 和 $\omega =4$。在这种情况下，你能计算出群速度和平均相速度吗？这些速度与图中明显的相速度和群速度匹配吗？

图 1.17 显示了一个色散波，其中群速度是相速度的两倍，而图 1.18 显示了一个群速度实际上与相速度符号相反的情况。请确认每个图中看到的相速度和群速度是否与根据指定的频率和波数计算出的这些量的值相对应。

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