波/一维波

波 : 一维波
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波的数学

我们从一个非常简单的波的方程开始讨论波，并描述其特性。这种波的基本方程是

$y=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha \right)$

其中 $y$ 是位置为 $x$ 且时间为 $t$ 的波的振幅。该方程描述了一个相当简单的波，但大多数复杂的波只是更简单波的叠加。如果我们在这个方程中将时间固定在 $t=0$，我们就得到

$y=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}+\alpha \right)$

它看起来像这样：[TODO - 添加图形]

从图形中我们可以看到每个参数都有其含义。 $a$ 是波的振幅，即波的高度。 $\lambda$ 是波长，即波的一个周期中从一个点到下一个周期的同一点的距离。 $\alpha$ 是波的相位，它使波向左或向右移动。波长是一个距离，通常以米、毫米甚至纳米为单位测量，具体取决于波的类型。相位是一个角度，以弧度为单位测量。

现在我们已经在地空间上绘制了波形，让我们设置 $x=0$，并看看波如何随着时间变化

$y=a\ \sin(-2\pi ft+\alpha )$

振幅 $a$ 和相位 $\alpha$ 保持不变，但波长消失了，出现了一个新的量：$f$，即频率，或波上下移动的速度。频率以时间的倒数为单位测量：在固定时间内，波上下移动多少次？通常使用赫兹或每秒一次作为单位。

现在让我们将这两幅图结合起来，看看波是如何运动的。图 3 是在空间和时间上绘制波形时波形的样子。直线是简单波到达最大值、最小值或零值（穿过 x 轴）的位置。

我们可以观察零点来确定波的相速度。相速度是指波的一部分移动的速度。我们可以将其视为波的速度，但在更复杂的波中，它只是其中一种速度 - 稍后章节会详细介绍。

我们可以通过将方程设置为零来获得零点的方程。

$0=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha \right)$

$0={\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha$

$x=f\lambda t-{\frac {\alpha \lambda }{2\pi }}$

您会看到，我们有一个直线方程，描述了一个以$f\lambda$速度移动的点。这给了我们波的相速度方程，即

${\mbox{velocity}}={\mbox{frequency}}\times {\mbox{wavelength}}\quad v=f\lambda$

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