波浪/波浪类型

波浪 : 一维波浪
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波浪类型

为了使上述内容更具体，我们现在将研究在现实世界中可能观察到的各种类型波浪的特征。

海面波浪

图 1.3: 深度为 $H$ 的海洋上的波浪。波浪向右移动，水面上的水颗粒上下移动，如小垂直箭头所示。颗粒向上移动，重力是“恢复”力。水波也是纵波，水颗粒向前移动，然后向后移动。恢复力更复杂，但涉及周围水体质量的惯性。可以将水波视为叠加的横波和纵波。净粒子路径几乎是圆形的。这在沿着两种物质（在本例中是水和空气）边界（界面）传播的波浪中很常见。

这些波浪表现为图 1.3 所示的海面起伏。海浪的速度由以下公式给出：

$v=\left({\frac {g\tanh(kH)}{k}}\right)^{1/2},$ (2.6)

其中 $g=9.8{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}^{-2}$ 是一个与地球重力强度相关的常数，$H$ 是海洋的深度，双曲正切定义为 2.7

$\tanh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}.$ (2.7)

图 1.4: 函数 $\tanh(x)$ 的图像。虚线显示了我们的近似值 $\tanh(x)\approx x$，其中 $\vert x\vert <<1$.

如图 1.4 所示，对于非常小的 x，我们可以用 $\tanh(x)\approx x$ 来近似双曲正切，而对于非常大的 x，它对于正 x 为正 1，对于负 x 为负 1。这导致了两个极限：由于 $x=kH$，因此，当 $kH<<1$ 时，浅水极限，波速为

$v\approx (gH)^{1/2},{\mbox{(浅水波浪)}},$ (2.8)

而当 $kH>>1$ 时，深水极限，

$v\approx (g/k)^{1/2},{\mbox{(深水波浪)}}.$ (2.9)

请注意，浅水波浪的速度仅取决于水深和 $g$。换句话说，所有浅水波浪以相同的速度移动。

另一方面，波长较长（因此波数较小）的深水波比波长较短的深水波传播速度更快。波速随波长变化的波称为色散波。因此，深水波是色散的，而浅水波是非色散的。

对于波长为几厘米或更小的水波，表面张力对波的动力学变得重要。在深水情况下，短波长的波速实际上由以下公式给出：

$c=(g/k+Ak)^{1/2}$ (2.10)

其中常数 $A$ 与表面张力有关，并取决于所涉及的表面。对于室温附近的空气-水界面，$A\approx 74{\mbox{ cm}}^{3}{\mbox{ s}}^{-2}$.

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