波/傅立叶变换

波 : 一维波
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13
例子 - 问题 - 解决方案 - 术语

傅立叶变换

到目前为止，您已经学习了如何叠加有限数量的正弦波。然而，一般的波不能表示为有限数量的正弦和余弦的和。幸运的是，我们有一个定理叫做傅里叶定理，它基本上说明，在某些技术假设下，任何函数f(x)等于正弦和余弦的积分。换句话说，

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }(c_{1}(k)\cos(kx)+c_{2}(k)\sin(kx))dk$.

现在，如果我们给出当t=0时的波函数φ(x,0)以及每个正弦波的速度作为其波数的函数v(k)，那么我们可以通过对φ(x,0)进行傅里叶逆变换，进行相位移，然后进行傅里叶变换来计算任何t的φ(x,t)。

幸运的是，傅里叶逆变换与傅里叶变换本身非常相似。

$c_{1}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(kx)\,dx\quad c_{2}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\sin(kx)\,dx$

这告诉我们，由于非常分散的波（如正弦波）具有狭窄的波数范围，因此波数非常分散的波函数仅在狭窄的位置范围内显着。

傅立叶变换的性质

	信号	傅立叶变换 酉，角频率	傅立叶变换 酉，普通频率	备注
	$g(t)\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}d\omega \,$	$G(\omega )\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}dt\,$	$G(f)\!\equiv$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}dt\,$
1	$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\,$	$a\cdot G(\omega )+b\cdot H(\omega )\,$	$a\cdot G(f)+b\cdot H(f)\,$	线性
2	$g(t-a)\,$	$e^{-ia\omega }G(\omega )\,$	$e^{-i2\pi af}G(f)\,$	时域平移
3	$e^{iat}g(t)\,$	$G(\omega -a)\,$	$G\left(f-{\frac {a}{2\pi }}\right)\,$	频域平移，2 的对偶
4	$g(at)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {f}{a}}\right)\,$	如果 $|a|\,$ 很大，那么 $g(at)\,$ 集中在 0 附近，而 ${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$ 会扩展并变平
5	$G(t)\,$	$g(-\omega )\,$	$g(-f)\,$	傅里叶变换的对偶性。结果来自交换 $t\,$ 和 $\omega \,$ 的“哑”变量。
6	${\frac {d^{n}g(t)}{dt^{n}}}\,$	$(i\omega )^{n}G(\omega )\,$	$(i2\pi f)^{n}G(f)\,$	傅里叶变换的广义导数性质
7	$t^{n}g(t)\,$	$i^{n}{\frac {d^{n}G(\omega )}{d\omega ^{n}}}\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}G(f)}{df^{n}}}\,$	这是 6 的对偶
8	$(g*h)(t)\,$	${\sqrt {2\pi }}G(\omega )H(\omega )\,$	$G(f)H(f)\,$	$g*h\,$ 表示 $g\,$ 和 $h\,$ 的卷积 - 这个规则是卷积定理
9	$g(t)h(t)\,$	$(G*H)(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\,$	$(G*H)(f)\,$	这是 8 的对偶
10	对于一个纯实偶函数 $g(t)\,$	$G(\omega )\,$ 是一个纯实偶函数	$G(f)\,$ 是一个纯实偶函数
11	对于一个纯实奇函数 $g(t)\,$	$G(\omega )\,$ 是一个纯虚奇函数	$G(f)\,$ 是一个纯虚奇函数

傅里叶变换对

	时域	频域
	$x(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X(\omega )\right\}$	$X(\omega )={\mathcal {F}}\left\{x(t)\right\}$
1	$X(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$	$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{j\omega t}d\omega$
2	$1\,$	$2\pi \delta (\omega )\,$
3	$-0.5+u(t)\,$	${\frac {1}{j\omega }}\,$
4	$\delta (t)\,$	$1\,$
5	$\delta (t-c)\,$	$e^{-j\omega c}\,$
6	$u(t)\,$	$\pi \delta (\omega )+{\frac {1}{j\omega }}\,$
7	$e^{-bt}u(t)\,(b>0)$	${\frac {1}{j\omega +b}}\,$
8	$\cos \omega _{0}t\,$	$\pi \left[\delta (\omega +\omega _{0})+\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
9	$\cos(\omega _{0}t+\theta )\,$	$\pi \left[e^{-j\theta }\delta (\omega +\omega _{0})+e^{j\theta }\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
10	$\sin \omega _{0}t\,$	$j\pi \left[\delta (\omega +\omega _{0})-\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
11	$\sin(\omega _{0}t+\theta )\,$	$j\pi \left[e^{-j\theta }\delta (\omega +\omega _{0})-e^{j\theta }\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
12	${\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)\,$	$\tau {\mbox{sinc}}\left({\frac {\tau \omega }{2\pi }}\right)\,$
13	$\tau {\mbox{sinc}}\left({\frac {\tau t}{2\pi }}\right)\,$	$2\pi {\mbox{rect}}\left({\frac {\omega }{\tau }}\right)\,$
14	$\left(1-{\frac {2|t|}{\tau }}\right){\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)\,$	${\frac {\tau }{2}}{\mbox{sinc}}^{2}\left({\frac {\tau \omega }{4\pi }}\right)\,$
15	${\frac {\tau }{2}}{\mbox{sinc}}^{2}\left({\frac {\tau t}{4\pi }}\right)\,$	$2\pi \left(1-{\frac {2|\omega |}{\tau }}\right){\mbox{rect}}\left({\frac {\omega }{\tau }}\right)\,$
16	$e^{-a|t|},\Re \{a\}>0\,$	${\frac {2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}\,$
说明	${\mbox{sinc}}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$ ${\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)$ 是宽度为 $\tau$ 的矩形脉冲函数。 $u(t)$ 是海维赛德阶跃函数。 $\delta (t)$ 是狄拉克δ函数。

进一步阅读

• 工程分析/多维傅里叶级数
• 费曼讲义第50章 谐波。

---

波 : 一维波
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13
例子 - 问题 - 解决方案 - 术语