波/群速度

波 : 一维波
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群速度

我们现在提出以下问题：波包以多快的速度移动？令人惊讶的是，我们经常发现波包的移动速度与组成波包的波的相速度$c=\omega /k$大不相同。

我们将会发现，波包的运动速度，被称为群速度，由以下公式给出

$u=\ 0.1{\mbox{m}}^{-1}$。深海波的相速度为$c=(g/k)^{1/2}$。然而，由于$c\equiv \omega /k$，我们发现深海波的频率为$\omega =(gk)^{1/2}$。因此群速度为$u\equiv d\omega /dk=(g/k)^{1/2}/2=c/2$。对于指定的中心波数，我们发现$u\approx (9.8{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}^{-2}/0.1{\mbox{ m}}^{-1})^{1/2}/2\approx 5{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}^{-1}$。相比之下，具有此波长的深海波的相速度为$c\approx 10{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}^{-1}$。

色散波是指相速度随波数变化的波。很容易证明色散波的相速度和群速度不相等，而非色散波的这两种速度相等。

群速度公式的推导

我们现在推导出公式 (1.36)。对于最简单的波包，即由仅两个正弦波叠加构成的波包，推导起来最容易。我们将通过添加两个具有完整空间和时间依赖性的波来进行

$A=\sin(k_{1}x-\omega _{1}t)+\sin(k_{2}x-\omega _{2}t)$ (2.37)

经过熟悉的代数和三角运算，我们发现

$A=2\sin(k_{0}x-\omega _{0}t)\cos(\Delta kx-\Delta \omega t),$ (2.38)

与之前我们有 $k_{0}=(k_{1}+k_{2})/2$，$\omega _{0}=(\omega _{1}+\omega _{2})/2$，$\Delta k=(k_{2}-k_{1})/2$，以及$\Delta \omega =(\omega _{2}-\omega _{1})/2$。再次将其视为一个频率为 $\omega _{0}$ 和波数为 $k_{0}$ 的正弦波，由余弦函数调制。在这种情况下，调制模式以一定的速度移动，以保持余弦函数的自变量不变。

$\Delta kx-\Delta \omega t=const.$ (2.39)

将此式关于 $t$ 微分，同时保持 $\Delta k$ 和 $\Delta \omega$ 为常数，得到

$u\equiv {\frac {dx}{dt}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}.$ (2.40)

当增量变得非常小时，此式简化为导数

$u={\frac {d\omega }{dk}},$ (2.41)

这就是我们想要的结果。

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