波/一维问题

波 : 一维波
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示例 - 问题 - 解决方案 - 术语

测量你的脉搏率。计算你的心跳的普通频率（以每秒周次计）。计算角频率（以每秒弧度计）。计算周期。
射电天文学中射电波的一个重要波长是 $21{\mbox{ cm}}$ 。（这来自中性氢。）计算该波的波数。计算普通频率和角频率。（光速为 3·10⁸ 米/秒）
绘制叠加波 $A=\sin(2x)$ 和 $B=\sin(3x)$ 所得的合成波。通过使用公式 (1.17) 中给出的三角恒等式，得到一个关于 $A+B$ 的公式，用 $\sin(5x/2)$ 和 $\cos(x/2)$ 表示。绘制此公式得到的波是否与你之前的绘制结果一致？
两个波长分别为 $\lambda _{1}$ 和 $\lambda _{2}$ 的正弦波叠加，形成长度为 $L$ 的波包。如果我们希望使 $L$ 更大，我们应该使 $\lambda _{1}$ 和 $\lambda _{2}$ 更靠近还是更远离？解释你的推理。
通过观察图 1.9 与图 1.10，然后观察图 1.11 与图 1.12，确定公式 (1.18) 至少在一定程度上适用于孤立的波包。
音乐中音阶的频率由下式给出

f_{i}=f_{0}2^{i/12},\quad i=0,1,2,\ldots ,11,

(2.42)

其中

f_{0}

是一个常数，等于音阶中最低音符的频率。

1. 计算 $f_{1}$ 到 $f_{11}$ ，如果 $f_{0}=440{\mbox{ Hz}}$ （“A”音）。
2. 利用以上结果，求“A” ( $i=0$ ) 和 “B” ( $i=2$ ) 音符的拍频是多少？（这里给出的频率是每秒的周期数，而不是每秒的弧度数。）
3. 上面哪一对频率产生的拍频最小？解释你的推理。
一般来说，大型船舶无法比波长等于船舶长度两倍的表面波的相速度更快。这是因为在这种情况下，大部分推进力用于制造大浪，而不是使船加速。
1. 一艘 $300{\mbox{ m}}$ 长的船在非常深的水中能达到多快的速度？
2. 当船驶入浅水区时，它的最大速度会增加还是减少？解释一下。
给定本节中引用的光折射率公式，对于 $k$ 的哪个范围，透明材料中的光相速度会超过真空中光速？
警察雷达的工作原理是将一束微波分成两束，其中一束反射回你的汽车，然后与另一束以固定路径传播的微波发生干涉，如图 1.19 所示。
1. 如果微波的波长为 $\lambda$ ，你必须驾驶汽车多远才能使两束光束之间的干涉从相长干涉变为相消干涉，然后再变为相长干涉？
2. 如果你以速度 $v=30{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}^{-1}$ 朝雷达行驶，使用上述结果确定每秒出现的相长干涉峰的次数。假设 $\lambda =3{\mbox{ cm}}$ 。

图 1.19：警察雷达示意图。

图 1.20：法布里-珀罗干涉仪示意图。

假设你知道通过迈克尔逊干涉仪的光的波长，并且精度很高。描述如何使用干涉仪测量一小块材料的长度。
法布里-珀罗干涉仪（见图 1.20）由两个平行放置的半镀银镜组成，它们之间的距离为 $d$ ，如图所示。穿过直线的射束与在两个镜面表面都反射一次的射束发生干涉，如图所示。对于波长 $\lambda$ ， $d$ 的哪些值会导致相长干涉？
法布里-珀罗干涉仪的玻璃板之间的间距为 $d=2{\mbox{ cm}}$ ，导致直接光束和双反射光束发生干涉（见图 1.20）。当从板之间的间隙中抽气时，光束经历了 23 个相长-相消-相长干涉周期。如果干涉光束的波长为 $5\times 10^{-7}{\mbox{ m}}$ ，确定干涉仪中最初空气的折射率。
对某种波的测量表明，波的角频率随波数的变化如下表所示

1. 当 $k=3{\mbox{ m}}^{-1}$ 和 $k=4{\mbox{ m}}^{-1}$ 时，计算波的相速度。
2. 使用有限差分近似导数，估计 $k=3.5{\mbox{ m}}^{-1}$ 时的群速度。
假设某类型的波具有图 1.21 所示的色散关系（这 admittedly 比较奇怪）。
1. 对于 $k$ 的哪些值，波的相速度为正？
2. 对于 $k$ 的哪些值，群速度为正？

图 1.21：奇怪色散关系的示意图。