集合论

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集合论是研究集合的学科。本质上，集合是数学对象的集合。集合论构成了所有数学的基础。

在朴素集合论中，有一个公理被称为无限制理解模式公理。它指出存在一个集合 $x$ ，使得一阶逻辑中的公式 $\phi (y)$ 对 $x$ 中的所有元素 $y$ 成立，即 $x=\{y\,|\,\phi (y)\}$ .

1901 年，伯特兰·罗素发现这是不一致的。这种不一致现在被称为罗素悖论。罗素声称，如果它是一致的，那么 $R=\{x\,|\,x\notin x\}$ 是一个集合。这是矛盾的，因为 $R\in R$ 当且仅当 $R\notin R$ 。因此，这个理论被发现是不一致的。（有趣的事实：据报道，策梅洛在 1899 年发现了这种不一致，但没有发表 ^[1]。）