波/一维波

波 : 一维波
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波的数学

我们从一个非常简单的波的方程开始讨论波，并描述其特征。这种波的基本方程是

$y=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha \right)$

其中 $y$ 是波在位置 $x$ 和时间 $t$ 的高度。这个方程描述了一个相当简单的波，但大多数复杂的波只是更简单波的叠加。如果我们在时间 $t=0$ 处冻结这个方程，我们会得到

$y=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}+\alpha \right)$

它看起来像这样：[TODO - 添加一个图]

从图中我们可以看到三个参数中的每一个都有其含义。 $a$ 是波的振幅，即波的高度。 $\lambda$ 是波长，即波在一个周期中的一个部分到下一个周期中同一部分的距离。 $\alpha$ 是波的相位，它将波向左或向右移动。波长是一个距离，通常用米、毫米甚至纳米来衡量，具体取决于波。相位是一个角度，用弧度来衡量。

现在我们已经将波在空间中映射出来，让我们改为设置 $x=0$ 并看看波如何随时间变化

$y=a\ \sin(-2\pi ft+\alpha )$

振幅 $a$ 和相位 $\alpha$ 保持不变，但波长消失了，出现了一个新的量：$f$，它是频率，即波上下移动的速度。频率用时间倒数的单位来衡量：在固定的时间段内，波上下移动多少次？通常使用的单位是赫兹，或每秒。

现在让我们将这两幅图结合起来，看看波是如何移动的。图 3 是一个图表，它显示了当你在空间和时间中绘制波时的样子。直线是简单波达到最大值、最小值或零值（穿过 x 轴的地方）的地方。

我们可以通过观察零点来确定波的相速度。相速度是指波的一部分移动的速度。我们可以将其视为波的速度，但对于更复杂的波来说，它只是其中一种速度——在后面的章节中会详细介绍。

我们可以通过将我们的方程设置为零来得到零点的方程。

$0=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha \right)$

$0={\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha$

$x=f\lambda t-{\frac {\alpha \lambda }{2\pi }}$

您可以看到这里我们有一个直线方程，描述了一个以速度 $f\lambda$ 运动的点。这给了我们波的相速度方程，即

${\mbox{velocity}}={\mbox{frequency}}\times {\mbox{wavelength}}\quad v=f\lambda$

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