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运动学是对运动的描述。一个质点运动的完全描述使用三个术语——位置、速度和加速度。对于真实物体（不是数学点），平移运动学描述了物体质心在空间中的运动，而角运动学描述了物体绕其质心旋转的方式。在本节中，我们只关注平移运动学。位置、位移、速度和加速度的定义如下。

位置

"位置"是一个相对术语，它描述了物体相对于某个选定的静止点的位置，这个静止点通常被称为“原点”。

向量是一个既有大小又有方向的量，通常写成一个标量列。也就是说，一个带方向的数字。

在物理学中，向量通常描述物体的运动。例如，沃蒂土拨鼠向地上的一个洞移动了 10 米。

我们可以将向量分解成称为“分量”的部分，其中向量是这些分量的总和。例如，二维向量被分解成x 和y 分量。

一维坐标系

位移

\Delta {\vec {x}}\equiv {\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}\,

位移回答了“物体是否移动了？”这个问题。

注意 $\equiv$ 符号。此符号是一种“超级等于”符号，表明 ${\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}$ 不仅等于位移 $\Delta {\vec {x}}$ ，更重要的是，位移是由 ${\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}$ 操作定义的。

我们说 ${\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}$ 操作定义了位移，因为 ${\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}$ 提供了确定位移的逐步程序。

即

测量物体最初的位置。
测量物体在稍后的时间点的位置。
确定这两个位置值的差。

请务必注意，位移不等于所走过的距离。

例如，想象一下沿着圆周走一圈。如果你回到起点，那么你的位移为零，即使你显然走过了一些距离。事实上，位移是所走过的平均距离。在你沿着圆周的旅行中，你的南北运动相互抵消，你的东西运动也相互抵消。

很明显我们丢失了一些重要的信息。重新获得这些信息的关键是使用更小的位移间隔。例如，与其在一个大的步骤中计算您沿圆形旅行的位移，不如考虑将圆形分成 16 个相等的段。计算您沿每个段所走的距离，然后将所有结果加起来。现在，您的总行程距离不再为零，而是近似于圆形的周长。您的近似值足够好吗？最终，这取决于您在特定应用程序中所需的精度级别，但幸运的是，您始终可以使用更精细的分辨率。例如，我们可以将您的行程分成 32 个相等的段来获得更好的近似值。

回到您绕圆形的旅行，您知道真实的距离就是圆形的周长。问题是我们经常面临着确定真实行驶距离的实际限制。（例如，行驶路径可能包含太多曲折。）幸运的是，我们始终可以确定位移，并且通过仔细选择足够小的位移步长，我们可以使用位移来获得对真实行驶距离的相当好的近似值。（微积分的数学提供了一种通过使用逐渐改善的近似值来估计“真实值”的正式方法。）在接下来的讨论中，我将用 $\Delta$ 替换 $\delta$ 来表示已经使用足够小的位移步长来提供对真实行驶距离的足够好的近似值。

速度

{\vec {v}}_{av}\equiv {\frac {{\vec {x_{f}}}-{\vec {x_{i}}}}{t_{f}-t_{i}}}\equiv {\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}

[Δ，delta，大写希腊字母 D，是一个前缀，通常用于表示差异。] 速度回答了“物体现在是否在移动，如果是，移动速度如何？”

我们再次有一个操作定义：我们被告知要执行哪些步骤来计算速度。

请注意，这是一个关于平均速度的定义。位移 Δx 是它所包含的较小位移的矢量和，其中一些可能会互相抵消。相比之下，行驶距离是较小距离的标量和，所有这些距离都是非负数（它们是位移的大小）。因此，行驶距离可能大于位移的大小，如上面圆形旅行的示例。因此，平均速度可能很小（或为零，或为负），而速度为正。

如果我们小心地使用非常小的位移步长，使其非常接近于近似真实的行驶距离，那么我们可以将瞬时速度的定义写为

{\vec {v}}_{inst}\equiv {\frac {\vec {\delta x}}{\delta t}}

[δ 是小写delta。] 或者，根据来自微积分的极限概念，我们有

{\vec {v}}_{inst}\equiv {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}

[d，与 Δ 和 δ 一样，仅仅是一个前缀；但是，它的使用明确地说明了这是一个足够小的差异，因此由于对数量进行步进（而不是平滑变化）而产生的误差变得可以忽略不计。]

加速度

{\vec {a}}_{av}\equiv {\frac {{\vec {v_{f}}}-{\vec {v_{i}}}}{t_{f}-t_{i}}}\equiv {\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}

加速度回答了“物体的速度是否在变化，如果是，变化速度如何？”

我们再次有一个操作定义。我们被告知要执行哪些步骤来计算加速度。

同样，也要注意从技术上讲，我们有一个关于平均加速度的定义。对于位移，如果我们小心地使用一系列小的速度变化，那么我们可以将瞬时加速度的定义写为

{\vec {a}}_{inst}\equiv {\frac {\delta {\vec {v}}}{\delta t}}

借助微积分，我们有

{\vec {a}}_{inst}\equiv {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {x}}}{dt^{2}}}

向量

请注意，上面给出的 **位移**、**速度** 和 **加速度** 的定义在许多术语上包含了小箭头。小箭头提醒我们，方向是位移、速度和加速度的重要组成部分。这些量是 **向量**。按照惯例，小箭头放在字母上时始终指向右侧。例如， ${\vec {v}}$ 只是提醒我们速度是一个向量，并 **不** 意味着该特定速度是向右的。

为什么我们需要向量？举一个简单的例子，考虑速度。单纯知道物体的运动速度是不够的。我们还需要知道物体的运动方向。更重要的是，考虑一个物体可能以多少种不同的方式经历加速度（速度的变化）。最终，物体可以以三种不同的方式加速

物体可能在加速。
物体可能在减速。
物体可能以恒定速度运动，同时改变其运动方向。

更一般的加速度只是 1 和 3 或 2 和 3 的组合。

重要的是，运动方向的变化与加速或减速一样是一种加速度。

在经典力学中，没有方向与时间相关联（你无法指向下一个星期二）。因此， ${\vec {a}}_{av}$ 的定义告诉我们，加速度将指向速度变化 $\Delta {\vec {v}}$ 的方向。

理解 ** $\Delta {\vec {v}}$ 的方向决定了 ${\vec {a}}$ 的方向** 导致了三个非数学但非常有力的经验法则

如果物体的速度和加速度方向相同，则物体的速度正在增加。
如果物体的速度和加速度方向相反，则物体的速度正在减小。
如果物体的速度和加速度相互垂直，则物体的初始速度保持恒定（在该初始方向上），而物体在加速度方向上的速度增加。想想一颗在垂直重力场中水平发射的子弹。由于一个方向上的速度保持恒定，而另一个方向上的速度增加，因此整体速度（绝对速度）也会增加。

同样，更一般的运动只是 1 和 3 或 2 和 3 的组合。

使用这三个简单的规则将极大地帮助你直观地理解特定问题中正在发生的事情。实际上，大学物理第一学期的很大一部分只是这三个规则在不同格式下的应用。

运动方程（恒定加速度）

如果粒子的速度在相等的时间间隔内变化相同的量，无论这些间隔有多小，则该粒子被称为以 **恒定加速度** 运动

{\frac {d{\vec {a}}}{dt}}=0\ \mathrm {\frac {m}{s^{3}}}

由于加速度是一个向量，恒定加速度意味着该向量的 **方向** 和 **大小** 在运动过程中都不会改变。这意味着平均加速度和瞬时加速度是相等的。我们可以利用这一点，通过对恒定加速度进行积分来推导出速度关于时间的方程。

{\boldsymbol {v}}(t)={\boldsymbol {v}}(0)+\int \limits _{0}^{t}{\boldsymbol {a}}\ dt

得到以下速度关于时间的方程。

{\boldsymbol {v}}(t)={\boldsymbol {v}}_{0}+{\boldsymbol {a}}t

为了推导出位置的方程，我们只需对速度方程进行积分。

{\boldsymbol {x}}(t)={\boldsymbol {x}}(0)+\int \limits _{0}^{t}{\boldsymbol {v}}(t)\ dt

再次积分得到位置的方程。

{\boldsymbol {x}}(t)={\boldsymbol {x}}_{0}+{\boldsymbol {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2}

以下是 **运动方程**

运动方程
方程	描述
${\vec {x}}={\vec {x}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}\$	位置随时间变化
${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t\$	速度随时间变化

通过结合以上两个公式并消去变量，可以得出以下公式。

$v^{2}=v_{0}^{2}+2{\vec {a}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})\$	消去时间（非常有用，参见能量章节）
${\vec {x}}={\vec {x}}_{0}+{\frac {{\vec {v}}_{0}t+{\vec {v}}t}{2}}$	消去加速度

符号
符号	描述
${\vec {v}}$	速度（在时间 t 时）
${\vec {v_{0}}}$	初始速度
${\vec {a}}$	（恒定）加速度
$t\$	时间（运动过程中的持续时间）
${\vec {x}}$	位置（在时间 t 时）
${\vec {x_{0}}}$	初始位置

一维加速度

二维加速度

（需要内容）

三维加速度

（需要内容）

运动中的力意味着什么？

力意味着强度和力量。运动意味着移动。这就是为什么我们在生活中需要力和运动。当我们想知道物体运动的速度、旅行以及其他涉及力和运动的事情时，我们就需要计算。……

我们如何计算速度？

如果你想计算平均速度、行驶距离或所用时间，你需要使用这个公式并记住它

 ${speed}={\frac {distance}{time\ taken}}$

这是一个易于使用的公式，你可以找到行驶距离、所用时间或平均速度，你需要至少2个值来找到完整的答案。

速度和速率是一样的吗？

速度是一个矢量量，指的是“物体改变位置的速率”，而速率是一个标量量，不能为负数。想象一个快速移动的孩子，一步向前一步后退，总是回到最初的起始位置。虽然这可能导致疯狂的活动，但它会导致零速度，因为孩子总是回到原始位置，运动永远不会导致位置变化，换句话说， $\Delta {\vec {x}}$ 将为零。

速度以与速度相同的物理单位测量，但不包含方向元素。因此，速度是速度的大小分量。速度包含大小和方向分量。你可以将速度视为位移/持续时间，而速率可以视为距离/持续时间。

加速度

当汽车加速时，我们说它正在加速，当它减速时，我们说它正在减速。

我们如何计算它？

当我们想要计算它时，方法是这样的：一辆卡车司机猛踩刹车，在5秒内从25米/秒减速到5米/秒。车辆的加速度是多少？

 ${acceleration}={\frac {change\ in\ velocity}{time\ taken}}={\frac {5-25}{5}}={\frac {-20}{5}}=-4\ ms^{-2}$

什么是初始速度和最终速度？ 初始速度是运动开始之前或运动中间的速度，最终速度是运动停止时的速度。

还有另一种计算方法，是这样的。这些方程式是主要的，这意味着如果你没有最终速度，你将如何计算方程式？

这就是你将要计算的方式。

观察运动

如果你想知道一个运动员跑得多快，你需要一个秒表在手，然后当这个人开始跑步时，你启动秒表，当正在冲刺的人在终点停止时，你停止秒表，看看他跑了多快，如果你想看看运动员是否在浪费他的能量，在他跑步的时候看看他的运动，你就可以知道他是否在浪费能量。

这个运动员正在跑步，当他跑步时，科学家可以通过秒表和观察他的动量来知道他是否在浪费能量。

测量加速度

取一个斜坡、一辆手推车、一些胶带和一个秒表，然后将胶带放在斜坡上，将手推车放在斜坡上，秒表放在你的手里，当你释放手推车时，开始计时手推车将以多快的速度移动，当手推车在末端停止时，停止计时。之后，在看到计时后，记录下来，然后你让斜坡稍微高一点，你会看到，它将如何一点一点地减速。

牛顿

艾萨克·牛顿是一位英国物理学家、数学家（在他的时代被称为“自然哲学家”）、天文学家和炼金术士。牛顿是有史以来最具影响力的科学家之一，他以对经典力学发展和独立于戈特弗里德·莱布尼茨发明微积分而闻名，除此之外，他还有其他贡献。

牛顿运动定律

牛顿还以他的三条运动定律而闻名，这些定律描述了物体与其作用在它上面的力以及它对这些力的运动响应之间的关系。

第一定律（也称为惯性定律）指出，每个物体都保持其静止状态或匀速直线运动状态，除非受到外力的作用而被迫改变其状态。惯性矩被定义为物质抵抗其运动状态或静止状态发生任何变化的趋势。
第二定律物体上的外力的矢量和 $F$ 等于物体的质量 $m$ 乘以物体的加速度向量 $a$ ，或代数地 $F=ma$ .
第三定律指出，当一个物体对另一个物体施加力时，另一个物体同时施加大小相等、方向相反的力作用于第一个物体。

符号

一些有用的符号，我们已经见过和将要看到的

名称	符号
行驶距离	$d$ 或 $s$
力	$F$
速度	${\vec {v}}$
初速度	${\vec {v}}_{0}$ 或 ${\vec {v}}_{i}$
末速度	${\vec {v}}_{f}$
速度变化	$\Delta {\vec {v}}$
加速度	${\vec {a}}$
质量	$m$
牛顿	$N$
重力	$G$
重量	$W$

力

力是任何能改变物体运动状态的相互作用。换句话说，力可以使有质量的物体改变其速度。力也可以用直观的概念来描述，例如推或拉。力既有大小又有方向，因此它是一个矢量量。它以牛顿为单位测量，用符号 $F$ 表示。

如何计算力？

当我们想要计算力，并且我们有质量和加速度时，我们可以简单地使用牛顿第二定律中所述的简单公式，即 $F=ma$ ，其中 $m$ 是质量（或物体中物质的数量）， $a$ 是加速度。请注意，牛顿第二定律被定义为惯性的数值度量。

什么是惯性？

惯性是物体保持其静止状态或匀速直线运动状态的趋势，除非受到外力作用。

罗伯特·胡克

罗伯特·胡克是一位英国博学家，他在科学革命中发挥了重要作用，通过实验和理论工作都做出了贡献。

胡克定律

胡克定律是物理学中的一个原理，它指出使弹簧伸长或压缩某个距离 $X$ 所需的力 $F$ 与该距离成正比，或者代数上 $F=-kX$ ，其中 $k$ 是弹簧特性的一个常数因子，即其刚度。

位置

位移

速度

加速度

向量