统计/分布

最近一次SAT考试的结果如何？赞比亚21岁以下女性的平均身高是多少？工程学院的大学生与文理学院的大学生在啤酒消费方面有什么区别？

为了回答这些问题，我们将收集数据并将其整理成易于汇总、可视化和讨论的形式。简单地说，数据的收集和聚合导致了分布。分布通常以直方图或表格的形式出现。这样，我们就可以立即“看到”数据并开始我们的科学探究。

例如，如果我们想了解更多关于学生最近SAT考试成绩的信息，我们将从ETS收集SAT分数，以对我们有意义的方式对其进行整理，然后形成这些分数的分布。结果可能是数据表，也可能是图表。无论如何，一旦我们“看到”了数据，我们就可以开始提出更多关于我们数据的有趣研究问题。

我们创建的分布通常与数学生成的分布平行。例如，如果我们获得所有高中生的身高并绘制这些数据，图形可能类似于正态分布，正态分布是通过数学生成的。那么，我们可以简单地使用正态分布来近似所有高中生的身高，而无需费力地收集所有高中生的身高，并且不会牺牲太多精度。

在统计学研究中，我们为了简化和与现实世界的相关性而关注数学分布。理解这些分布将使我们能够更容易地可视化数据并更快地建立模型。然而，它们不能也不应该取代手动数据收集和生成实际数据分布的工作。

多少百分比位于某个范围内？分布显示了多少百分比的数据位于某个范围内。因此，给定一个分布和一组值，我们可以确定数据落在某个范围内的概率。

如果将相同的数据叠加到不同的分布上，可能会得出不同的结论。因此，在所有统计分析中，将数据放到正确的分布上至关重要。

分布

一些分布的比较

**一些分布**
名称	符号	公式	符号	用途	连续/离散	备注
伯努利	f(x)=	$p^{x}(1-p)^{1-x}$	p x	2个结果	离散	1次试验
二项式	b(x;n, p)=	${n \choose k}{p^{k}(1-p)^{n-k}}$	n次试验 k次成功 p概率	成功的次数特定概率非随机	离散
泊松	P(x)=	${\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!}}$	$\mu =\lambda t$ $\sigma ^{2}=\lambda t$	结果/时间结果/区域	离散
超几何	h(x;N,n,k) =	${{{k \choose x}{{N-k} \choose {n-x}}} \over {N \choose n}}$	从n个样本 N个项目 N个项目中的k个是成功， N-k个是失败	成功发生X次与位置无关是随机的	离散	无放回
多元超几何	$h(x_{1},x_{2}...,x_{k};a_{1},a_{2},...a_{k},N,n){=}$	${a_{1} \choose x_{1}}{a_{2} \choose x_{2}}\dots {a_{k} \choose x_{k}} \over {N \choose n}$	样本量 N个项目 k 个单元格 $A_{1}\dots A_{k}$ 每个单元格包含 $a_{1}\dots a_{k}$ 个元素		离散	无放回
正态分布	$\int _{a}^{b}n(x;\mu ,\sigma ){=}$	$Z{=}{\frac {x-\mu }{\sigma }}$	x $\mu$ 平均值 $\sigma$ 标准差	: ${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$	连续分布	Z 是一个随机变量，具有 $\mu {=}0and\sigma ^{2}{=}1$
卡方分布	$\chi ^{2}{=}$	${\frac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}$	$S^{2}$ 是从具有方差 $\sigma ^{2}$ 的正态总体中抽取的样本量的方差	随机样本的方差与总体的关系	连续分布
学生t分布	T=	${\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}$	${\bar {X}}$ 随机样本大小为 n 的平均值	如果不知道 $\sigma$	连续分布	v=n-1
F	F=	${\frac {\sigma _{2}^{2}S_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}S_{2}^{2}}}{=}{\frac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}$	连续分布