第1部分：集中声学系统 – 1.1 – 1.2 – 1.3 – 1.4 – 1.5 – 1.6 – 1.7 – 1.8 – 1.9 – 1.10 – 1.11

第2部分：一维波运动 – 2.1 – 2.2 – 2.3

第3部分：应用 – 3.1 – 3.2 – 3.3 – 3.4 – 3.5 – 3.6 – 3.7 – 3.8 – 3.9 – 3.10 – 3.11 – 3.12 – 3.13 – 3.14 – 3.15 – 3.16 – 3.17 – 3.18 – 3.19 – 3.20 – 3.21 – 3.22 – 3.23 – 3.24

摘要

在课堂上，我们已经开始讨论多维波动方程的解。这些多维解中特别有趣的是针对圆形边界条件的贝塞尔函数解。这些解的实际应用就是定音鼓。本页将从定性和定量的角度探讨定音鼓的工作原理。更具体地说，定音鼓将被介绍为一个圆形膜，其解将以视觉形式（例如贝塞尔函数的可视化、定音鼓的视频和音频形式（定音鼓演奏的wav文件）进行讨论。此外，还将提供指向有关此材料的更多信息的链接，包括参考文献。

什么是定音鼓

定音鼓是一种打击乐器，它有一个圆形的鼓面安装在“壶状”的箱体上。当用槌敲击鼓面时，它会振动，从而产生声音。这种声音的音高由鼓面的张力决定，在演奏前需要精确调音。定音鼓的声音（在古典音乐中称为定音鼓）存在于来自世界各地许多不同地方的许多形式的音乐中。

定音鼓背后的数学：简短版本

当人们观察定音鼓如何产生声音时，应该重点关注鼓面。这个圆形膜（以及鼓箱体中的空气）的振动是该乐器产生声音的原因。这种振动鼓背后的数学原理相对简单。如果观察鼓面上的一个小元素，它看起来与振动弦的情况完全一样（见：）。唯一的区别是，该元素在两个维度上受到力的作用，这两个维度与鼓面平面平行。由于情况相同，我们有相同的方程，只是在另一个平面维度上添加了一个空间项。这使得我们能够使用亥姆霍兹方程对鼓面进行建模。下一步（下面将详细解决）是假设鼓面的位移（用极坐标表示）是两个分别针对 theta 和 r 的函数的乘积。这使得我们能够将 PDE 转化为两个可以轻松求解并应用于定音鼓头情况的 ODE。有关更多信息，请参见下文。

定音鼓背后的数学：推导

所以从可靠的通用亥姆霍兹方程开始

$\nabla ^{2}\Psi +k^{2}\Psi =0$

其中 k 是波数，即膜中强迫振荡的频率除以声速。

由于我们正在处理一个圆形物体，因此使用极坐标（以半径和角度表示）而不是直角坐标更有意义。对于极坐标，亥姆霍兹关系的拉普拉斯项 ( $\nabla ^{2}$ ) 变为 $\partial ^{2}\Psi /\partial r^{2}+1/r\partial ^{2}\Psi /\partial r+1/r^{2}\partial ^{2}\Psi /\partial \theta ^{2}$

现在我们假设： $\Psi (r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$

这个假设遵循变量分离法。（更多信息请参见参考文献3）将此结果代回我们可靠的亥姆霍兹方程，得到以下结果

$r^{2}/R(d^{2}R/dr^{2}+1/rdR/dr)+k^{2}r^{2}=-1/\Theta d^{2}\Theta /d\theta ^{2}$

由于我们将解的变量分离成两个一维函数，偏导数变为普通导数。此结果的两边必须等于同一个常数。为简单起见，我将使用 $\lambda$ 作为这个常数。这导致了以下两个方程

$d^{2}\Theta /d\theta ^{2}=-\lambda ^{2}\Theta$

$d^{2}R/dr^{2}+1/rdR/dr+(k^{2}-\lambda ^{2}/r^{2})R=0$

第一个方程很容易看成是标准的二阶常微分方程，它具有正弦和余弦的谐波解，频率基于 $\lambda$ 。第二个方程被称为贝塞尔方程。该方程的解神秘地被称为第一类和第二类的 $\lambda$ 阶贝塞尔函数。这些函数听起来很吓人，但它们只是半径乘以波数的振荡函数，在 kr（对于第二类函数）接近零时无界，并且随着 kr 变大而减小。（有关这些函数的外观，请参阅参考文献 1、2 和 3）

现在我们已经得到了该方程的通解，我们可以对无限半径的鼓面进行建模。然而，由于我还没有见过无限大的鼓，我们需要将这种振动膜的解限制在有限的半径内。我们可以通过应用我们对圆形膜的了解来做到这一点：沿着鼓的边缘，鼓面连接到鼓上。这意味着膜在鼓的半径处终止时不会发生位移。这个边界条件可以用以下数学公式来描述

$R(a)=0$

其中 a 是鼓的任意半径。除了这个边界条件之外，鼓面在中心的位移必须是有限的。这个第二个边界条件消除了解中的第二类贝塞尔函数。这将我们解的 R 部分简化为

$R(r)=AJ_{\lambda }(kr)$

其中 $J_{\lambda }$ 是 $\lambda$ 阶的第一类贝塞尔函数。在鼓的半径处应用我们的另一个边界条件要求波数 k 必须具有离散值（ $j_{mn}/a$ ），可以查阅。将所有这些结合起来，我们就得到了鼓面如何振动（即以下内容的实部）的解

$y_{\lambda n}(r,\theta ,t)=A_{\lambda n}J_{\lambda n}(k_{\lambda n}r)e^{j\lambda \theta +jw_{\lambda n}t}$

鼓的数学原理：整个鼓

以上推导仅针对鼓面。一个实际的打击乐器，其圆形膜的一侧被封闭的腔体包围。这意味着当膜振动时，腔体内的空气会被压缩，这使得问题的求解更加复杂。用数学术语来说，这使得偏微分方程变得非齐次，或者用更简单的说法，亥姆霍兹方程的右侧不等于零。这个结果需要更多的推导，这里不再进行。如果读者想要了解更多，可以在参考文献6和7中找到相关讨论。

参考文献

1.Eric W. Weisstein. "第一类贝塞尔函数." 来自 Wolfram 网页资源 MathWorld。 http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html

2.Eric W. Weisstein. "第二类贝塞尔函数." 来自 Wolfram 网页资源 MathWorld。 http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheSecondKind.html

3.Eric W. Weisstein. "贝塞尔函数." 来自 Wolfram 网页资源 MathWorld。 http://mathworld.wolfram.com/BesselFunction.html

4.Eric W. Weisstein 等人. "变量分离." 来自 Wolfram 网页资源 MathWorld。 http://mathworld.wolfram.com/SeparationofVariables.html

5.Eric W. Weisstein. "贝塞尔微分方程." 来自 Wolfram 网页资源 MathWorld。 http://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html

6. Kinsler and Frey, "声学基础", 第四版，Wiley & Sons

7. Haberman, "应用偏微分方程", 第四版，Prentice Hall Press

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工程声学/贝塞尔函数与定音鼓

摘要

什么是定音鼓

定音鼓背后的数学：简短版本

定音鼓背后的数学：推导

鼓的数学原理：整个鼓

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