工程声学/受迫振荡（简谐弹簧-质量系统）

第一部分：集中声学系统 – 1.1 – 1.2 – 1.3 – 1.4 – 1.5 – 1.6 – 1.7 – 1.8 – 1.9 – 1.10 – 1.11

第二部分：一维波运动 – 2.1 – 2.2 – 2.3

第三部分：应用 – 3.1 – 3.2 – 3.3 – 3.4 – 3.5 – 3.6 – 3.7 – 3.8 – 3.9 – 3.10 – 3.11 – 3.12 – 3.13 – 3.14 – 3.15 – 3.16 – 3.17 – 3.18 – 3.19 – 3.20 – 3.21 – 3.22 – 3.23 – 3.24

1.3节回顾

在上一节中，我们讨论了在无外力作用下的简谐弹簧-质量系统中添加阻尼元件（例如阻尼器）会如何影响系统的响应。特别是，我们了解到在系统中添加阻尼器会将系统的固有频率从改变为新的阻尼固有频率，以及这种改变如何使系统的响应从恒定的正弦响应变为指数衰减的正弦响应，其中系统具有欠阻尼、过阻尼或临界阻尼响应。

在本节中，我们将稍微偏离一下，回到上一节的简单（无阻尼）振荡器系统，但这次，将对该系统施加一个恒定的力，我们将研究该系统在低频、高频以及共振时的性能。特别是，本节将首先介绍弹簧-质量系统中弹簧和质量元件的特性，介绍弹簧和质量元件的电气模拟，了解这些元件如何组合形成机械阻抗系统，并揭示阻抗如何描述机械系统的整体响应特性。接下来，将讨论受迫简谐弹簧-质量系统的功率耗散，以证实我们对受迫简谐弹簧-质量系统使用电气电路模拟的合理性。最后，将讨论该系统的特征响应，并引入一个称为放大率 (AR) 的参数，该参数将有助于绘制受迫简谐弹簧-质量系统的共振情况。

受迫弹簧元件

注意图1，我们看到，对于一个施加了恒定外力的弹簧，其运动方程为...

{\hat {F}}=s_{M}\Delta {\hat {x}}\qquad (1.4.1)\,

其中 $s_{M}\,$ 是弹簧的机械刚度。

请注意，在图 1(c) 中，力 ${\hat {F}}$ 在整个弹簧中持续流动（即不减弱），但弹簧的速度 ${\hat {u}}$ 从 ${\hat {u_{1}}}$ 减小到 ${\hat {u_{2}}}$ ，因为力流经弹簧。了解这个概念很重要，因为它将在后面的章节中用到。

实际上，弹簧的刚度 $s_{M}\,$ （也称为弹簧常数）通常表示为 $C_{M}={\frac {1}{s_{M}}}\,$ ，即弹簧的机械顺应性。因此，如果 $s_{M}\,$ 很大， $\Rightarrow \;C_{M}$ 则很小，弹簧就很硬。类似地，如果 $s_{M}\,$ 很小， $\Rightarrow \;C_{M}$ 则很大，弹簧就很松或“有弹性”。注意到力与速度在电气系统中分别类似于电压和电流，事实证明，弹簧的特性类似于电容器的特性，因此如果我们让 $C=C_{M}\,$ （如下面的图 2 所示），我们可以对弹簧的“反应性”进行建模，类似于电容器的电抗。

$Reactance\ of\ Capacitor:\ X_{C}={\frac {1}{j\omega C}}\qquad (1.4.2a)$

$Reactance\ of\ Spring:\ X_{MS}={\frac {1}{j\omega C_{M}}}\qquad (1.4.2b)$

受迫质量元件

请注意图 3，对具有恒定外力的质量方程为...

{\hat {F}}=M_{M}{\hat {a}}=M_{M}{\hat {\dot {u}}}=M_{M}{\hat {\ddot {x}}}\qquad (1.4.3)

如果质量 $M_{M}\,$ 可以改变其值，并在机械系统中以最大振幅 $A_{M}\,$ 振荡，使得系统接收的输入在频率 $\omega \,$ 保持恒定，随着 $M_{M}\,$ 增加，系统在 $\omega \,$ 下以 $A_{M}\,$ 移动质量会变得更加困难，最终，质量完全不再振荡。另一种等效的看法是，让 $\omega \,$ 变化，保持 $M_{M}\,$ 恒定。类似地，随着 $\omega \,$ 增加，让 $M_{M}\,$ 在 $\omega \,$ 下振荡并保持相同的振幅 $A_{M}\,$ 会变得更加困难，最终，质量完全不再振荡。因此，随着 $\omega \,$ 增加，质量 $M_{M}\,$ 的“反应性”降低（即 $M_{M}\,$ 开始越来越少地移动）。回想一下力/电压和速度/电流的类比关系，事实证明，质量的特性与电感器类似。因此，如果我们让 $L=M_{M}\,$ ，我们可以用类似电感器的电抗来模拟质量的“反应性”，如图 4 所示。

$Reactance\ of\ Inductor:\ X_{L}=j\omega L\qquad (1.4.4a)$

$Reactance\ of\ Mass:\ X_{MM}=j\omega L_{M}\qquad (1.4.4b)$

弹簧-质量系统的机械阻抗

如前所述，力类似于电压，速度类似于电流。由于这些关系，这意味着强迫简单弹簧-质量系统的机械阻抗可以表示如下

{\hat {Z_{M}}}={\frac {\hat {F}}{\hat {u}}}\qquad (1.4.5)\,

一般来说，无阻尼弹簧-质量系统可以是“弹簧状”或“质量状”。“弹簧状”系统可以被描述为“有弹性”，当系统引入输入时，它们往往会大大超过其目标工作水平。这些类型的系统相对需要很长时间才能达到稳态。相反，“质量状”可以被描述为“迟钝”，它们往往达不到其预期的工作水平，即使在稳态下也是如此！就复杂的力和速度而言，我们说在质量状系统中“力超前速度”，而在弹簧状系统中“速度超前力”（或者等效地，在质量状系统中“力滞后速度”，而在弹簧状系统中“速度滞后力”。图 5 以图形方式显示了这种关系。

简单弹簧-质量系统的能量传递

从电路理论来看，系统中耗散的平均复功率 $P_{E}\,$ 表示为...

P_{E}={\frac {1}{2}}\mathbf {Re} \left\{{\hat {V}}{\hat {I^{*}}}\right\}\qquad (1.4.6)\,

其中 ${\hat {V}}\,$ 和 ${\hat {I^{*}}}\;$ 分别代表（时间不变的）复电压和复共轭电流。类似地，我们可以表达机械系统的净功率耗散 ${\hat {P}}_{E}\,$ 以及弹簧状系统的功率耗散 ${\hat {P}}_{MS}\,$ 或质量状系统 ${\hat {P}}_{MM}\,$ 为...

{\hat {P}}_{E}={\frac {1}{2}}\mathbf {Re} \left\{{\hat {F}}{\hat {u^{*}}}\right\}\qquad \qquad \qquad (1.4.7a)\,}

{\hat {P}}_{MS}={\frac {1}{2}}\mathbf {Re} \left\{{\hat {F}}\left({\frac {j{\hat {F}}\omega }{s_{M}}}\right)^{*}\right\}\qquad (1.4.7b)

{\hat {P}}_{MM}={\frac {1}{2}}\mathbf {Re} \left\{{\hat {F}}\left({\frac {\hat {F}}{j\omega M_{M}}}\right)^{*}\right\}\qquad (1.4.7c)

在公式 1.4.7 中，我们可以看到复数力与速度的乘积纯粹是虚数。由于无功元件，或通常称为无损元件，不能耗散能量，这意味着系统的净功率耗散为零。这意味着在我们简单的弹簧-质量系统中，能量只能在弹簧和质量之间来回传递（完全）。但这正是简单的弹簧-质量系统所做的事情。因此，通过评估功率耗散，这证实了用电气电路元件模拟我们弹簧-质量系统中的机械元件的概念。

受迫简单弹簧-质量系统的响应

下图 6 显示了施加了力的简单弹簧-质量系统。

该系统具有与无阻尼振荡器系统相似的响应特性，唯一的区别是，在稳态时，系统以恒定的力幅值和频率振荡，而在无强迫的情况下，系统以指数衰减至零。回忆公式 1.4.2b 和 1.4.4b，令为弹簧-质量系统的自然（共振）频率，令 $\omega _{n}\,$ 为系统接收的输入频率，受迫弹簧-质量系统的特征响应在下图 7 中以图形方式显示。