工程声学/机械阻抗

机械阻抗

对于大多数系统，简单振荡器并不是一个非常准确的模型。虽然简单振荡器涉及动能和势能之间的连续能量传递，并且两者之和保持不变，但真实系统涉及部分能量的损失或耗散，这些能量永远不会恢复为动能或势能。造成这种耗散的机制多种多样，取决于许多因素。其中一些机制包括物体在空气中运动时的阻力、热损失和摩擦，但还有许多其他机制。通常，这些机制要么难以建模，要么根本无法建模，并且大多数都是非线性的。然而，已经开发了一种简单的线性模型，试图解释系统中所有这些损失。

阻尼器

在阻尼系统中表示机械阻抗的最常见方法是使用阻尼器。阻尼器就像汽车中的减震器。它对系统的运动产生阻力，该阻力与系统的速度成正比。系统的运动越快，产生的机械阻抗就越大。

如上图所示，假设阻尼器力与它运动的速度之间存在线性关系。将这两个量联系起来的常数是 $R_{M}$，即阻尼器的机械阻抗。这种关系被称为粘性阻尼定律，可以写成

$F=R\cdot u$

还要注意，阻尼器产生的力始终与速度同相。

阻尼器耗散的功率可以通过观察阻尼器在抵抗系统运动时所做的功来推导

$P_{D}={\frac {1}{2}}\Re \left[{\hat {F}}\cdot {\hat {u^{*}}}\right]={\frac {|{\hat {F}}|^{2}}{2R_{M}}}$

阻尼振子的建模

为了将机械阻抗（或阻尼）纳入受迫振荡器模型，将一个阻尼器放置在弹簧旁边。它的一端连接到质量 ($M_{M}$)，另一端连接到地面。需要开发一个新的描述力的方程

$F-S_{M}x-R_{M}u=M_{M}a\rightarrow F=S_{M}x+R_{M}{\dot {x}}+M_{M}{\ddot {x}}$

它的相量形式如下

${\hat {F}}e^{j\omega t}={\hat {x}}e^{j\omega t}\left[S_{M}+j\omega R_{M}+\left(-\omega ^{2}\right)M_{M}\right]$

阻尼振荡器的机械阻抗

之前，简单振荡器的阻抗定义为 $\mathbf {\frac {F}{u}}$。利用上面的公式，我们可以计算阻尼振荡器的阻抗。

${\hat {Z_{M}}}={\frac {\hat {F}}{\hat {u}}}=R_{M}+j\left(\omega M_{M}-{\frac {S_{M}}{\omega }}\right)=|{\hat {Z_{M}}}|e^{j\Phi _{Z}}$

对于非常低的频率，由于 ${\frac {1}{\omega }}$ 的关系，弹簧项占主导地位。因此，阻抗的相位接近 ${\frac {-\pi }{2}}$ 对于非常低的频率。这种相位导致速度在低频下“滞后”于力。随着频率的增加，相位差增加到零。在共振时，阻抗的虚部消失，相位为零。此时阻抗纯粹是电阻。对于非常高的频率，质量项占主导地位。因此，阻抗的相位接近 ${\frac {\pi }{2}}$，速度在高频下“超前”于力。

根据之前关于耗散功率的公式，我们可以看到阻抗的实部确实是 $R_{M}$。阻抗的实部也可以定义为相位的余弦乘以它的模。因此，可以得到以下功率公式。

$W_{R}={\frac {1}{2}}\Re \left[{\hat {F}}{\hat {u^{*}}}\right]={\frac {1}{2}}R_{M}|{\hat {u}}|^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {|{\hat {F}}|^{2}}{|{\hat {Z_{M}}}|^{2}}}R_{M}={\frac {1}{2}}{\frac {|{\hat {F}}|^{2}}{|{\hat {Z_{M}}}|}}cos(\Phi _{Z})$

返回主页