工程声学/弦的横向振动

简介

本节讨论了受限于一维的振动的波动性质。这种类型波动运动的例子可以在诸如直径很小的管道和管子（流体无横向运动）或乐器上拉伸的弦之类的物体中找到。

拉伸的弦可以用来发声（例如，吉他等乐器）。拉伸的弦构成一个机械系统，本章将对其进行研究。稍后，该系统的特性将被用来通过类比来帮助理解声学系统。

什么是波动方程？

存在各种类型的波（即电磁波、机械波等），它们在我们周围起作用。使用波动方程来描述这些波中感兴趣变量的时空行为非常重要。波动方程以一种消除了所有变量但一个变量的方式求解运动的基本方程。波可以纵向或平行于传播方向传播，也可以垂直（横向）于传播方向传播。要直观地了解这些波的运动，请点击 这里（凯特林大学 Dan Russell 博士提供的声学动画）

一维情况

假设 

- 弦的大小和密度均匀

- 弦的刚度在小变形情况下可以忽略不计

- 忽略重力影响

- 没有摩擦力等耗散力

- 弦在平面内变形

- 弦的运动可以使用单个空间坐标来描述

振动弦的空间表示

文件：1Dwave graph1.png

以下是空间坐标系中运动弦的自由体图

文件：String dwg.jpg

从上图可以看出，弦两侧的张力相同，如下所示

文件：Equations1.jpg

使用泰勒级数展开，我们得到

文件：Equations2.jpg

机械系统的特性

一维波可以用以下方程（称为波动方程）来描述

$\left({\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}\right)=\left({\frac {1}{c^{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}\right)$

其中，

$y(x,t)=f(\xi )+g(\eta )\,$ 是一个解，

当 $\xi =ct-x\,$ 且 $\eta =ct+x\,$

这是达朗贝尔解，更多信息请参见：[1]

求解该方程的另一种方法是变量分离法。这在模态分析中很有用。它假设解的形式为

$y(x,t)=f(x)g(t)\$

结果与上面相同，但形式更适合模态分析。

有关此方法的更多信息，请参见：Eric W. Weisstein 等人。“变量分离”。摘自 Wolfram Web 资源 MathWorld。 [2]

有关变量 c 的信息，以及其他重要属性，请参见 波动特性。

有关波动方程的更多信息，请参见：Eric W. Weisstein。“波动方程”。摘自 Wolfram Web 资源 MathWorld。 [3]

函数 $f(\xi )$ 的示例

示例：Java 字符串模拟

这展示了固定两端的拨弦的简单模拟。

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