工程声学/机电类比

为什么使用电路类比？

声学器件通常是机械和电气元件的组合。一个常见的例子是连接到电源的扬声器。在工程应用中，使用一种方法对整个系统进行建模非常有用。这就是在振动机械系统中使用电路类比的原因。相同的方法可以应用于机电声学类比。

机电类比的工作原理

电回路用其电势（电压）和通量（电流）来描述。为了构建机械系统的电路类比，我们定义了系统的通量和电势。这导致了两个独立的类比系统。阻抗类比将作用于元件的力表示为电势，将元件的速度表示为通量。迁移率类比将通量等同于力，将速度等同于电势。

	机械	等效电路
阻抗类比
电势	力	电压
通量	速度	电流
迁移率类比
电势	速度	电压
通量	力	电流

对于许多人来说，迁移率类比被认为更容易用于机械系统。力作为电流流动以及以相同频率振荡的物体并联连接，这更直观。但是，两种方法都会产生相同的结果，并且也可以使用对偶（点）方法进行转换。

振动机械系统基本元件

机械弹簧

理想弹簧被认为在其弹性极限内工作，因此可以使用胡克定律对其行为进行建模。还假设它没有质量并且没有阻尼效应。

$F=-cx,\$

机械质量

在振动系统中，质量元件会抵抗加速度。根据牛顿第二定律

$F=mx^{\prime \prime }=ma=m{\frac {du}{dt}}$

$F=K\int \,udt$

机械阻力

阻尼器是一种理想的粘性阻尼器，它会抵抗速度。

$F=Ru\displaystyle$

理想发生器

可以驱动任何系统的两个理想发生器是理想速度发生器和理想力发生器。理想速度发生器可以用曲柄图表示，或者简单地声明$u(t)=f(t)$，理想力发生器可以用箭头表示，或者声明$F(t)=f(t)$

简单阻尼机械振荡器

在接下来的部分中，我们将考虑这个简单的机械系统作为移动性和阻抗模拟。它可以通过理想力或理想速度发生器驱动，我们将考虑简谐运动。下标中的 m 表示机械系统，目前是冗余的，但在组合机械和声学系统时可能有用。

阻抗模拟

机械弹簧

在弹簧中，力与偏离平衡位置的位移有关。根据胡克定律，

$F(t)=c_{m}\Delta x=c_{m}\int _{0}^{t}u(\tau )d\tau$

电路中等效的行为是电容器

$V(t)={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}\,i(\tau )d\tau$

机械质量

作用在质量上的力与加速度（速度变化）有关。根据牛顿第二定律，其行为为

$F(t)=m_{m}a=m_{m}{\frac {d}{dt}}u(t)$

电路中等效的行为是电感器

$V(t)=L{\frac {d}{dt}}i(t)$

机械阻力

对于粘性阻尼器，力与速度直接相关

$F=R_{m}u\displaystyle$

等效的是一个值为$R_{m}\displaystyle$的简单电阻。

$V=Ri\displaystyle$

示例

因此，上一节中的简单机械振荡器变成了一个串联 RCL 电路。

所有三个元件的电流相等（它们的速度相同），并且每个元件上的电压降之和将等于发生器上的电压（驱动力）。此处描绘的理想电压发生器将等效于理想力发生器。

重要说明：弹簧和阻尼器的测量速度是相对速度（一端的速度减去另一端的速度）。但是，质量的速度是绝对速度。

阻抗

元件		阻抗
弹簧	电容器	$Z_{c}={\frac {V_{c}}{I_{c}}}={\frac {c_{m}}{j\omega }}$
质量	电感器	$Z_{m}={\frac {V_{m}}{I_{m}}}=j\omega m_{m}$
阻尼器	电阻	$Z_{d}={\frac {V_{m}}{I_{m}}}=R_{m}$

迁移类比

与上述阻抗类比一样，可以通过将机械元件的基本方程与电路元件的方程进行比较来找到等效元件。但是，由于电路方程通常根据电流定义电压，因此在这种情况下，类比将是根据力表示速度的表达式，这与惯例相反。但是，这可以通过简单的代数运算来解决。

机械弹簧

$F(t)=c_{m}\int u(t)dt$

该电路的等效行为是电感器的行为。

$\int Vdt=\int L{\frac {d}{dt}}i(t)dt$

$i={\frac {1}{L}}\int \,Vdt$

机械质量

$F=m_{m}a=m_{m}{\frac {d}{dt}}u(t)$

类似于弹簧元件，如果我们取电容器的一般方程并求导，

${\frac {d}{dt}}V(t)={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{C}}\int \,i(t)dt$

$i(t)=C{\frac {d}{dt}}V(t)$

机械阻力

由于力和速度之间的关系成正比，唯一的区别是机械阻力被反转了

$F={\frac {1}{r_{m}}}u=R_{m}u$

$i={\frac {1}{R}}V$

示例

上面绘制的简单机械振荡器将成为一个并联RLC电路。每个元件上的电势是相同的，因为它们都以相同的速度工作。这通常是两种类比方法中更直观的一种，因为您可以将力“流动”可视化为穿过系统的通量。此图中的理想电压发生器将对应于理想速度发生器。

**重要说明：**由于质量速度的度量是绝对的，因此在此类比中，电容器必须始终有一个端子接地。两个端子都处于除接地以外的电势的电容器可以在物理上实现为一个逆变器，它完成了此类比的所有元素。

阻抗

元件		阻抗
弹簧	电感器	$Z_{c}={\frac {V_{m}}{I_{m}}}={\frac {j\omega }{c_{m}}}$
质量	电容器	$Z_{m}={\frac {V_{c}}{I_{c}}}={\frac {1}{j\omega m_{m}}}$
阻尼器	电阻	$Z_{d}={\frac {V_{m}}{I_{m}}}=r_{m}={\frac {1}{R_{m}}}$

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