工程声学/简谐运动

位置方程

本节介绍如何形成描述弹簧上质量位置的方程。

对于一个由质量 *m* 连接到弹簧一端（弹簧常数为 *s*）的简单振荡器，恢复力 *f* 可以用以下公式表示：

$f=-sx\,$

其中 *x* 是质量相对于静止位置的位移。将 *f* 的表达式代入线性动量方程，

$f=ma=m{d^{2}x \over dt^{2}}\,$

其中 *a* 是质量的加速度，我们可以得到

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-sx$

或者，

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {s}{m}}x=0$

注意，振荡频率 $\omega _{0}$ 由以下公式给出：

$\omega _{0}^{2}={s \over m}\,$

为了解该方程，我们可以假设

$x(t)=Ae^{\lambda t}\,$

则力方程变为

$(\lambda ^{2}+\omega _{0}^{2})Ae^{\lambda t}=0,$

得到方程

$\lambda ^{2}+\omega _{0}^{2}=0,$

解方程求解 $\lambda$

$\lambda =\pm j\omega _{0}\,$

这得出了 *x* 的方程为

$x=C_{1}e^{j\omega _{0}t}+C_{2}e^{-j\omega _{0}t}\,$

注意

$j=(-1)^{1/2}\,$

以及 *C₁* 和 *C₂* 是由系统初始条件决定的常数

如果质量在 *t* = 0 时的位置表示为 *x₀*，那么

$C_{1}+C_{2}=x_{0}\,$

如果质量在 *t* = 0 时的速度表示为 *u₀*，那么

$-j(u_{0}/\omega _{0})=C_{1}-C_{2}\,$

解这两个边界条件方程得到

$C_{1}={\frac {1}{2}}(x_{0}-j(u_{0}/\omega _{0}))$

$C_{2}={\frac {1}{2}}(x_{0}+j(u_{0}/\omega _{0}))$

然后位置由下式给出

$x(t)=x_{0}cos(\omega _{0}t)+(u_{0}/\omega _{0})sin(\omega _{0}t)\,$

此方程也可以通过假设 *x* 具有以下形式找到

$x(t)=A_{1}cos(\omega _{0}t)+A_{2}sin(\omega _{0}t)\,$

并应用相同的初始条件，

$A_{1}=x_{0}\,$

$A_{2}={\frac {u_{0}}{\omega _{0}}}\,$

这导致了相同的位移方程

$x(t)=x_{0}cos(\omega _{0}t)+(u_{0}/\omega _{0})sin(\omega _{0}t)\,$

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位移方程的替代形式

如果A₁和A₂是以下形式

$A_{1}=Acos(\phi )\,$ $A_{2}=Asin(\phi )\,$

那么位移方程可以写成

$x(t)=Acos(\omega _{0}t-\phi )\,$

通过应用初始条件 (x(0)=x₀, u(0)=u₀) 可以发现

$x_{0}=Acos(\phi )\,$

${\frac {u_{0}}{\omega _{0}}}=Asin(\phi )\,$

如果将这两个方程平方后相加，则可以发现

$A={\sqrt {x_{0}^{2}+({\frac {u_{0}}{\omega _{0}}})^{2}}}\,$

如果找到这两个相同方程的差，则结果是

$\phi =tan^{-1}({\frac {u_{0}}{x_{0}\omega _{0}}})\,$

位移方程也可以写成虚位移方程的实部

$\mathbf {Re} [x(t)]=x(t)=Acos(\omega _{0}t-\phi )\,$

根据欧拉公式 (e^jφ = cosφ + jsinφ)，x(t) 具有以下形式

$x(t)=Ae^{j(\omega _{0}t-\phi )}\,$

示例 1.1

已知: 两个弹簧的刚度为 $s$，两个物体的质量为 $M$

求解: 以下系统草图的固有频率

1. 

   简谐振荡器-1.2.1.a

$s_{TOTAL}=s+s{\text{ (springs are in parallel)}}$

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {s_{TOTAL}}{m_{TOTAL}}}}={\sqrt {\frac {2s}{M}}}$

$\mathbf {f_{0}} ={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}=\mathbf {{\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2s}{M}}}}$

2. 

   简谐振荡器-1.2.1.b

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {s_{TOTAL}}{m_{TOTAL}}}}={\sqrt {\frac {s}{2M}}}$

$\mathbf {f_{0}} ={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}=\mathbf {{\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {s}{2M}}}}$

3. 

   简单振荡器-1.2.1.c

$\mathbf {1.} {\text{ }}s(x_{1}-x_{2})=sx_{2}$

$\mathbf {2.} {\text{ }}-s(x_{1}-x_{2})=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

${\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+{\frac {s}{2m}}x_{1}=0$

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {s}{2m}}}$

$\mathbf {f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {s}{2m}}}}$

4. 

   简单振荡器-1.2.1.d

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {2s}{m}}}$

$\mathbf {f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2s}{m}}}}$

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