工程声学/边界条件和波特性

边界条件

表示先前讨论的波动方程解的函数，

即 $y(x,t)=f(\xi )+g(\eta )\,$ 其中 $\xi =ct-x\,$ 和 $\eta =ct+x\,$

取决于边界条件和初始条件。如果假设波在弦上传播，则初始条件与 t=0 时弦上的特定扰动相关。这些特定扰动由位置和接触类型决定，可以是简单的振荡，也可以是剧烈的脉冲。边界条件的影响没有那么微妙。

最简单的边界条件是固定支撑和自由端。在实践中，自由端边界条件很少遇到，因为假设没有横向力支撑弦（例如，弦只是漂浮）。

- For a Fixed Support:

在支撑处，沿弦传播的波的总位移必须为零。假设支撑处 x=0，这需要

$y(0,t)=f(ct-0)+g(ct+0)=0\,$

因此，x=0 处的总横向位移为零。

- For a Free Support:

与固定支撑边界条件不同，支撑处的横向位移不必为零，但必须要求横向力的总和抵消。如果假设位移角度很小，

$\sin(\theta )\approx \theta =\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\,$

因此，

$\sum F_{y}=T\sin(\theta )\approx T\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)=0\,$

但当然，弦的张力或 T 不会为零，这需要 x=0 处的斜率为零。

例如，$\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)=0\,$

- Other Boundary Conditions:

还有许多其他类型的边界条件不属于我们简化的类别。正如预期的那样，将众多“复杂”系统的特征与基本边界条件联系起来并不困难。典型的或现实的边界条件包括质量负载、阻抗负载、阻尼负载和阻抗负载的弦。更多信息请参见 Kinsler 的《声学基础》第 54-58 页。

波的特性

首先，我们将讨论一些有用变量的定义。这些包括：波数、相速度和波长，这些都是描述波在弦上传播的特性。

波在弦上传播的速度用相速度表示，通常以米每秒 (m/s) 为单位，由以下公式给出：

$c={\sqrt {T/\rho _{L}}}\,$ 其中 $\rho _{L}\,$ 是弦的单位长度密度。

波数用于将横向位移方程简化为更简单的形式，对于简谐运动，它乘以横向位置。它的公式为：

$k=\left({\frac {\omega }{c}}\right)\,$ 其中 $\omega =2\pi f\,$

最后，波长定义为

$\lambda =\left({\frac {2\pi }{k}}\right)=\left({\frac {c}{f}}\right)\,$

它定义为周期波形上两个点之间的距离，通常是波峰。

这些“波的特性”在计算各种情况下的波动方程解时具有实际意义。正如稍后将看到的那样，波数被广泛用于图形化和定量地描述波现象。

更多信息：波的特性

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编辑者：Mychal Spencer