工程声学/声悬浮

定义

声悬浮利用声辐射来提升物体。它主要涉及非线性现象（因为作用在物体上的力是由于波动的非线性特性造成的）。

开发声学反应器的动机

由声辐射压力产生的力通常远大于电磁辐射压力，这使得这些力的研究变得有趣且值得注意。

其次，这种现象将允许进行成功的无容器实验。以下说明了此类研究的重要性：

动力学研究可以分为两类：

1. 第一类包括固定在壁上的材料。
2. 第二类包括粒子进出设备的流动。

现有方法的缺点是只能使用一种类型的粒子。因此，报告的行为并不准确（因为第一种情况中的壁和第二种情况中的周围粒子会对正在研究的行为产生影响）。

这种消除壁可以提供进一步的见解，除了减少与其他粒子的相互作用之外（例如：通过处理单个气泡）。

实现这种空气应用的一种方法是采用声学的一种迷人应用，即声悬浮，它涉及使用声辐射悬浮物体。

这种现象及其对应技术的应用可以包括在太空中不使用任何容器的情况下进行材料加工。这在研究极具腐蚀性的材料时可能特别有用。

此外，声致发光 和声空化会遇到这种声力。

其他应用可以包括测量密度和分析表面张力起重要作用的流体动力学。最后，声定位是另一种潜在的应用。

• 探索新闻 列出了声悬浮的一个有趣应用。
• 火星上的声悬浮 说明了这项技术的冒险应用。

声学反应器的组成部分

图 1：装置示意图

一个简单的声学反应器需要一个：

• 换能器来产生所需的声波。这些换能器通常会产生强烈的声波，声压级超过 150 dB。
• 一个反射器

为了聚焦声音，换能器和反射器通常具有凹形表面。纵向声波在反射器上的反射会导致压缩和稀疏之间的干涉。完美的干涉将产生驻声波，即在任何时间似乎都具有相同位置的波。

通过这种简单的换能器和反射器配置，可以实现稳定的悬浮，但无法控制样品。为了做到这一点，Weber、Rey、Neuefeind 和 Benmore 在他们的论文中描述了一种使用两个换能器的配置。这些换能器通过改变声相（通过电子方式进行）来调整位置。

单泡声致发光

当单个气泡遇到非线性动态时，就会发生这种现象，即快速压缩气泡先于缓慢膨胀。当气泡快速压缩时，它会变得非常热，以至于会发出闪光。

图 2：声致发光 - 机制

理论

(来源：Löfstedt 和 Putterman 的长波长声辐射压力的理论)

从动量守恒的积分形式开始，

${\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial \Pi _{ij}}{\partial r_{j}}}=0$

$\int _{v}{\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}+\int _{S_{o}}\Pi _{ij}dS_{j}+\int _{S_{K}}\Pi _{ij}dS_{j}=0$

其中

$\Pi _{ij}$是应力张量，

$\rho ,v$是局部流体密度和速度，

$S_{o}$是物体表面（在时间t），

$S_{K}$是远离物体的一个表面，以及

V 是由这些表面包围的体积。

利用关系，

$\int _{v}{\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}dr+{\frac {d}{dt}}\int \rho v_{i}dr-\int _{S_{o}}\rho v_{i}v_{j}dS_{j}=0$

${\frac {d}{dt}}\int \rho v_{i}dr+\int _{S_{o}}(\Pi _{ij}-\rho v_{i}v_{j})dS_{j}+\int _{S_{R}}\Pi _{ij}dS_{j}=0$

对该方程进行时间平均，得到作用在运动球体上的力的表达式

$\langle F_{i}\rangle =\langle \int _{S_{o}}(\Pi _{ij}-\rho v_{i}v_{j})dS_{j}\rangle =-\int _{S_{R}}\langle \Pi _{ij}\rangle dS_{j}=0$

假设理想流体，

对应力张量的伽利略不变贡献是

$\Pi _{ij}-\rho v_{i}v_{j}=p\delta _{ij}$

和

$p=-\rho _{eq}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}-\rho _{eq}v^{2}/2+{\frac {\rho _{eq}}{2c^{2}}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}$

这里，$v=\nabla \phi$

$\rho _{eq}$代表平衡密度

$c$表示声速

理想流体中物体上的声辐射力为

$\langle F_{i}\rangle =-\int _{S_{R}}{[-{\frac {\rho \langle v^{2}\rangle }{2}}+{\frac {\rho }{2c^{2}}}\langle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}^{2}\rangle +\rho \langle v_{i}v_{j}\rangle ]dS_{j}}$

声辐射力的多极展开

考虑线性波动方程，

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta ^{2}\phi =0$

其中

$\phi =\phi _{i}+\phi _{s}$

这里$\phi _{i}$由换能器给出，

$\phi _{s}$由物体上的相应边界条件给出，其中 s 代表 '散射'

$\phi _{s}=Re\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}h_{n}(kr)P_{n}(cos\theta )e^{-i\omega t}$

$h_{n}$是外向球面汉克函数

$P_{n}$是勒让德多项式

$\omega =kc$

k：施加在物体上的声场的波数

当 r 趋于无穷大时，

$\lim _{r\to \infty }\phi _{s}\to Re{\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{n}(-i)^{n+1}B_{n}P_{n}(cos\theta )$

对于驻波，

$\phi _{i}=ReAsin(kz)e^{-i\omega t}$

因此，通过计算 $\phi$ 并将其代入辐射力的表达式，我们得到

$F_{z}=2\pi \rho A[coskz_{o}(ImB_{o})-sinkz_{o}(ImB_{1})$ ............................................ (1)

球形物体上的辐射力

考虑一个半径为 $R_{o}$、密度为 ρ_o 的球体。

球体内部的波动方程为： $:{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}-c_{o}^{2}{\nabla ^{2}\Phi _{o}}-\zeta _{o}\rho _{o}{\frac {\partial \nabla ^{2}\Phi _{o}}{\partial t}}=0$

其中

$\Phi _{o}$是速度势

$c_{o}$是球体内的声速

$\zeta _{o}$表示球体中的阻尼

(忽略了热传导和剪切粘度的影响)

该方程的解为

$:\Phi _{o}=Re\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}j_{n}(k_{o}r)P_{n}(cos\theta )e^{-i\omega t}$

其中$j_{n}$是球贝塞尔函数

$k_{o}$是复数（由于耗散）

$k_{o}=k_{o}+i\alpha _{o}$

其中

$k_{o}=\omega /c_{o}$

$\alpha _{o}=k_{o}^{2}\zeta _{o}/2c_{o}\rho _{o}$

这里，$\alpha _{o}$是球体中声波的衰减系数

边界条件为

$\rho \Phi (R_{o})=\rho _{o}\Phi _{o}(R_{o})$

在 r =$R_{o}$

${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {\partial \Phi _{o}}{\partial t}}$

为了满足这些条件，入射波使用球谐函数展开

$sin(kz)=sin(kz_{o})\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n}(kr)P_{2l}cos\theta +cos(kz_{o})\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n+1}(kr)P_{2l+1}cos\theta$

其中

$a_{2l}={\frac {4l+1}{2}}.\int _{-1}^{1}coskrxP_{2l}(x)dxa_{2l+1}={\frac {4l+3}{2}}.\int _{-1}^{1}sinkrxP_{2l+1}(x)dx$

利用上述关系，可以计算 $a_{o}$

$a_{o}={\frac {sinkr}{kr}}.$

当$kR_{o}<<1$

$sinkz=sinkz_{o}[1-{\frac {1}{2}}.k^{2}r^{2}cos^{2}\theta +...]+coskz_{o}[krcos\theta -...]$

驻波情况下的边界条件可以推导如下

对于单极项，

$\rho Asinkz_{o}-\rho B_{o}{\frac {ie^{ikR_{o}}}{kR_{o}}}=\rho _{o}C_{o}j_{o}(x_{o})$,

和

$-A({\frac {k^{2}R_{o}}{3}}sinkz_{o}+B_{o}e^{ikR_{o}}({\frac {1}{R_{o}}}+{\frac {i}{(kR_{o})^{2}}})=C_{o}k_{o}j_{o}^{'}(x_{o})$

对于偶极项

$\rho A(kR_{o})coskR_{o}-\rho B_{1}e^{ikR_{o}}({\frac {1}{kR_{o}}}+{\frac {i}{(kR_{o})^{2}}})=\rho _{o}C_{1}j_{1}(x_{o})$,

和

$Akcoskz_{o}+B_{1}e^{ikR_{o}}({\frac {-i}{R_{o}}}+{\frac {2}{kR_{o}^{2}}}+{\frac {2i}{k^{2}R_{o}^{3}}})=C_{1}k_{o}j_{1}^{'}(x_{o})$,

其中

$x_{o}=k_{o}R_{o}$

$B_{1}$和$B_{o}$可以作为A的函数获得

使用这些关系$B_{o}$和$B_{1}$在辐射力表达式中，我们得到

因此，球体上的辐射力由下式给出：

$F_{z}=-\pi k^{3}R^{3}A^{2}sin2kz_{o}Re[f_{o}+f_{1}]$

其中 $f_{o}={\frac {(1/3)(\rho _{o}/\rho )k^{2}R_{o}^{2}b_{o}(x_{o})+1}{k^{2}R_{o}^{2}[1+(\rho _{o}/\rho )b_{o}(x_{o})+ikR_{o}]}}$

$f_{1}={\frac {(\rho _{o}/\rho )b_{1}(x_{o})-1}{2(\rho _{o}/\rho )b_{1}(x_{o})+1}}$

其中

$b_{o}(x_{o})={\frac {j_{o}(x_{o})}{x_{o}j_{o}^{'}(x_{o})}}$

$b_{1}(x_{o})={\frac {j_{1}(x_{o})}{x_{o}j_{1}^{'}(x_{o})}}$

如果我们忽略阻尼，假设 $x_{o}<<1$ 并假设球体是不可压缩的（即 $c_{o}$ 趋于无穷大），那么辐射力简化为

$F_{z}=-\pi k^{3}R_{o}^{3}A^{2}sin2kz_{o}\rho _{o}{5\rho _{o}-2\rho \over 3(2\rho _{o}+\rho )}$

这个关于辐射力（在驻波场中）的表达式最初是由 King 推导出来的。请注意，辐射力与半径的立方成正比，并且与速度振幅成正比。

假设

1. kR << 1，即声场的波长远大于球体的尺寸。
2. 不可压缩物体（由 King 使用，尽管 Gorkov 推导出了允许球体有限压缩性的结果）

当作用在球体上的所有力之和等于零时，球体悬浮，即当重力产生的力平衡向上浮力时。

因此，物体被吸引到最小势能区域（压力节点）。反节点是经历高压的区域。

为了确保产生驻波，换能器必须放置在反射器的一定距离处，并且应该使用特定频率才能获得满意的结果。这个距离应该是声波产生的波长的一半的倍数，以确保节点和反节点是稳定的。

其次，声波产生的辐射压力的力的方向必须平行于重力的方向。

由于稳定的区域应该足够大，并且能够支撑要悬浮的物体，物体的尺寸应该介于波长的三分之一到二分之一之间。重要的是要注意，频率越高，试图悬浮的物体的尺寸越小（因为波长和频率彼此成反比）。

物体的材料也很重要，因为密度和尺寸将给出其质量的值，并确定重力，因此确定压力辐射产生的向上力是否合适。

在讨论材料特性时，另一个重要的特征是Bond 数，它在处理液滴时很重要。它表征了表面张力和液体的尺寸相对于周围流体的关系。Bond 数越低，液滴爆裂的可能性越大。

最后，要实现如此高的压力（可以抵消重力），线性波是不够的。因此，非线性波在声悬浮中起着重要作用。这很容易成为声悬浮研究具有挑战性的原因之一。非线性声学是一个处理难以理解的物理现象的领域。根据实验观察，重的球体倾向于速度反节点，轻的粒子更靠近节点。

其他影响悬浮力的因素

温度、压力、流体介质特性（密度、粒子速度）会影响悬浮力。重要的是要记住，介质会随着条件的变化而变化。流体介质由反应物和产物组成，它们会随着反应速率而变化。

因此，悬浮力会受到影响。为了补偿介质变化，可以使用共振跟踪系统（它有助于在研究的粒子下保持稳定的悬浮）。

设计注意事项

所研究的球体或粒子应该经历一个侧向力，该力将作为定位力（以及更明显的垂直悬浮力）球体绕其轴旋转将确保均匀加热和稳定性。

使用非球形粒子

当悬浮非球形粒子时，物体的最大横截面将最终垂直于驻波轴对齐。

行波与驻波

King 发现驻波产生的辐射压力远大于行波产生的压力（行波与驻波具有相同的振幅）。

这是因为驻波产生的压力是由于入射波和散射波之间的干涉。行波产生的压力是由于散射场的贡献。

参考文献

1. Löfstedt 和 Putterman 关于长波长声辐射压力的理论
2. 曹竹友 a、刘淑琴 a、李志敏 a、龚明利 a、马玉龙 b 和王成浩 b 开发的声悬浮反应器
3. HowStuffWorks

有用网站

1. 球形汉克尔函数
2. 勒让德多项式
3. 多极展开