工程声学/非线性声学参数

非线性声学参数

在许多非线性声学现象的应用中，声介质的非线性程度可以通过一个称为非线性参数的值来量化。这种约定通常归因于 Robert T. Beyer，源于他 1960 年发表的题为《流体中的非线性参数》 的有影响力的论文，以及他随后关于非线性声学主题的著作。 值得注意的是，在汉密尔顿的《非线性声学》教科书中， Beyer 将这个概念归因于 Fox 和 Wallace 在 1954 年的早期著作。

非线性参数的数学基础源于将扰动压力 p ' 与扰动密度 ρ ' 联系起来的泰勒级数。从物理上讲，这些小的扰动值是相对于由密度值 &rho _o 和恒定熵 s = s_o 定义的环境状态而言的。

$p'=A\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)+{\frac {B}{2!}}\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)^{2}+{\frac {C}{3!}}\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)^{3}+...$

其中系数 A、B、C 给出了泰勒展开中每一项的幅度。由于系数 B、C 应用于平方项和立方项，因此它们代表了压力 p ' 与密度 ρ ' 之间关系的非线性。A、B 和 C 的值可以通过几种技术进行实验测定。 当已知压力和密度之间的本构关系时，也可以使用 A、B 和 C 的泰勒级数定义来计算值。在后面的章节中将讨论为此目的使用理想气体或泰特状态方程。泰勒级数系数定义为

$A=\rho _{o}\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{\rho _{o},s_{o}}=\rho _{o}c_{o}^{2}$

$B=\rho _{o}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}P}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\rho _{o},s_{o}}$

$C=\rho _{o}^{3}\left({\frac {\partial ^{3}P}{\partial \rho ^{3}}}\right)_{\rho _{o},s_{o}}$

其中，环境声速的定义为 (∂p/∂ρ)_ρo,so = c_o²，已应用于证明：A = ρ_o c_o²。对于非线性声学中的大多数问题，使用该展开式的前两项足以表示遇到的密度扰动范围。在这种情况下，该级数简化为

$p'=A\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)+{\frac {B}{2}}\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)^{2}$

这种截断导致了流体中通常被称为非线性参数的B/A。通过从截断级数的两个项中提取A = ρ_o c_o²，B/A的物理意义变得更加明显

$p'=\rho 'c_{o}^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}{\frac {B}{A}}\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)\right]$

该表达式表明，比率B/A 量化了非线性对给定状态ρ' / ρ_o 的局部压力扰动的影响。类似地，也可以证明参数B/A 量化了局部声速随扰动密度的变化，具体公式如下：

$c=c_{o}\left[1+{\frac {1}{2}}{\frac {B}{A}}\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)\right]$

B/A 与状态方程的幂律关系

对于状态方程 (EOS) 的幂律方程，例如液体的 Tait-Kirkwood EOS 或理想气体的等熵压缩，B/A 参数可以与已知的幂律系数相关联。为了证明这种关系，计算了压力相对于密度的偏导数∂p/∂ρ，然后将其应用于扰动压力的泰勒级数p' 。使用理想气体 EOS 而不是 Tait 时最终结果与显示的结果相同。

${\frac {P+D}{P_{o}+D}}=\left({\frac {\rho }{\rho _{o}}}\right)^{\gamma }$

${\frac {\partial P}{\partial \rho }}=\left(P_{o}+D\right){\frac {\gamma }{\rho _{o}}}\left({\frac {\rho }{\rho _{o}}}\right)^{\gamma -1}$

在环境状态下（ρ = ρ_o）对一阶导数进行评估，得到线性声速的实用方程式：c_o² = γ(P_o+D) / ρ_o。将此表达式代入以简化∂p/∂ρ，并继续计算∂²p / ∂ρ²，得到

${\frac {\partial P}{\partial \rho }}=c_{o}^{2}\left({\frac {\rho }{\rho _{o}}}\right)^{\gamma -1}$

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial \rho ^{2}}}=c_{o}^{2}{\frac {\left(\gamma -1\right)}{\rho _{o}}}\left({\frac {\rho }{\rho _{o}}}\right)^{\gamma -2}$

将这些一阶和二阶导数代入p'关于ρ'的泰勒级数，得到从幂律 EOS 推导出的方程式，可以与之前包含 B/A 参数的级数进行比较。

$p'=c_{o}^{2}\rho '+{\frac {c_{o}^{2}\left(\gamma -1\right)}{2\rho _{o}}}\rho '^{2}+...$

$p'=c_{o}^{2}\rho '\left[1+{\frac {\left(\gamma -1\right)}{2}}\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)\right]+...$

此最终方程式表明p'的两个泰勒级数相同，B/A被(γ-1)代替。因此，对于遵循泰特-柯克伍德 EOS 的液体和已知绝热指数的等熵条件下的理想气体

${\frac {B}{A}}=\gamma -1$

B/A 的示例值

表 1 提供了各种气体、液体和生物材料中 B/A 参数的示例值。每个样本都包含参考温度，因为特定材料的B/A值会随温度而变化。表 2 包含几种有机材料，因为非线性声学效应在生物医学超声应用中尤为突出。

表 2：流体的 B/A 示例值。

材料	B/A	参考温度 oC	参考
双原子气体（空气）	0.4	20
蒸馏水	5.0	20
蒸馏水	5.4	40
盐水	5.3	20
乙醇	10.5	20

表 2：有机材料的 B/A 示例值。

材料	B/A	参考温度 oC	参考
甘油	9.1	30
血红蛋白 (50%)	7.6	30
肝脏	6.5	30
脂肪	9.9	30
胶原蛋白	4.3	25