工程声学/谐波产生

非线性谐波产生

如冲击的定性描述条目中所述，任何介质中的有限振幅波都会经历一个陡化现象，最终形成冲击波。对于强流和波条件，其中流体速度与声速大小相近，u/c_o ≥ O(1)，其中u是粒子速度，c_o是环境声速，向冲击波的转变发生得很快，可以称为局部效应。对于较弱的波条件，其中u/c_o << 1，但非线性效应仍然可以观察到，波陡化发生在许多波长内，可以称为累积效应。在这种波强度的范围内，波形变形的另一个重要结果是在传播波形中积累谐波成分。

行波变形

为了描述变形波形的谐波成分，可以对由边界活塞驱动的在 x⁺ 方向传播的平面波的情况进行一些分析，边界活塞速度为u_o = sin(ωt)，其中ω是驱动频率，t是时间变量。在这种情况下，产生的声场只取决于x⁺波，因此属于简单波假设，可以使用无粘性流体中传播波的简化方程来定义：

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\left(c+u\right){\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\left(c_{o}+\beta u\right){\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

$\beta =1+{\frac {1}{2}}{\frac {B}{A}}$

β 与 B/A 之间的关系是为了突出与非线性声学参数的关系。给出的方程描述了一个传播的平面波，其中任何特定点的传播速度由（c_o + βu）的局部值给出，而不是在假设线性波的情况下仅仅是c_o。对于最初的正弦波形，波峰以最大的速度传播，而平衡点只以环境声速传播。这种进展在图 1 中定性地描述，其中波形最大值、最小值和平衡点的轨迹（波速）被绘制出来。由于波形上不同点的轨迹不平行，因此波形在传播过程中会变形。变形速率取决于波形中不同轨迹之间的差值大小，而这些差值又取决于诱导的粒子速度和流体的 B/A 值。因此，如果对两种流体施加相同的边界速度，则 B/A 值较高的流体将比 B/A 值较低的流体表现出更快的波形变形。

图 1：初始正弦波形渐进变形。在 x-t 轴上绘制了波峰 (c + v)、局部平衡 (c_o) 和波谷 (c + v) 的局部轨迹。

根据无粘性流体中给出的渐进波方程——以及图 1 中描述的过程——波峰最终将赶上并超过波前，形成一个不连续的激波。在真实流体中，这并不一定是唯一可能的结果，因为所有真实流体中的声波在传播过程中都会在一定程度上衰减。对于许多耗散过程，波的影响与 ω² 成正比， 因此，产生的高次谐波比基频衰减得更厉害。在这方面，耗散的影响阻碍了波陡化，对于一些波幅，可以达到准稳态波形，其中非线性陡化效应与耗散效应完美平衡。

只要有足够的振幅，或者流体几乎无粘性，就会在渐进波中形成激波。这就是为什么在水中比在空气中更容易出现累积变形导致激波的原因，因为在所需的波幅下，空气可能具有很高的耗散性。虽然在接下来的部分中没有讨论，但激波形成后，新的谐波成分的生成仍在继续。该过程的分析描述与给出的分析在根本上没有区别，因为使用了弱激波假设。有关激波后状态的更多详细信息，请参阅 Blackstock 的开创性论文 或者非线性声学方面的各种参考书。

使用特征线法得到的解的频率分析

对变形波形 u(x,t) 最直观的分析解是在使用基于特征线法 的方法时得到的。当应用于平面渐进波时，这种方法在激波的定性描述 条目中进行了描述。许多非线性声学方面的参考书中都讨论了重点关注中间波形以及激波形成特性的问题，包括 Hamilton 和 Blackstock 的书， Elfno， Beyer， 或者 Pierce。

如图 1 所示，这种方法的本质是在由 dx/dx = (c + u) 定义的特征路径上投影已知值或常微分方程。对于由正弦边界 u_o = sin(ωt) 驱动的单个传播波的情况，解法特别简单，因为域中的每个位置都对应于只有一条特征路径，该路径承载着 u、c 等等的恒定值。在域中的任何位置，都可以识别特征路径，并使用相应的 u 值来构建解。在下面的例子中，使用 Elfno 中描述的隐式方程来计算波形

$u=u_{o}\sin \left(\tau +{\frac {\beta u}{c_{o}^{2}}}x\right),$

$\tau =t-{\frac {x}{c_{o}}}$

在这个特定的例子中，波幅被设置为在五个波长后达到激波形成。为了普遍性，所有解的幅度都以无量纲形式给出。对于流体，非线性参数设置为 B/A = 5.0，这对应于 20^oC 的新鲜水。 图 2 的上半部分给出了空间波形，其中波陡化很明显。在图 2 的下三个面板中，显示了速度波的频谱，当其穿过红色条带指示的区域时。频谱图是使用每个指示位置的计算时域信号的离散傅立叶变换 (DFT) 获得的。

图 2：变形渐进波的谐波成分。β = 3.5，对应于 20^oC 的蒸馏水的 B/A = 5.0。

在频谱中，其中 f_o = 2πω，渐进波在驱动边界 x = 0 处仅包含基频。重要的是，还可以看到传播和变形后的波形仅包含初始频率的整数谐波，并且这些谐波的幅度随着传播距离的增加而增加。

对谐波轮廓的直接解析解

虽然特征线法提供了空间和时域波形，可以从中分析频率成分，但还有更直接的方法可以用来直接求解变形渐进波的谐波成分。再次考虑由正弦边界条件 u_o = sin(ωt) 驱动的平面波的例子。当系统输入是周期性的时，获得一般解的一种常用方法是假设一个周期性的系统响应，该响应用傅立叶级数 表示。正如 Pierce 所示， 将这种方法应用于渐进波问题，得到级数解为

$u\left(\omega \tau ,\sigma \right)=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\left(\sigma \right)\sin \left(n\omega \tau \right)$

$\sigma ={\frac {x}{x_{\text{shock}}}}$

$\tau =t-{\frac {x}{c_{o}}}$

$B_{n}\left(\sigma \right)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }u\left(\omega \tau ,\sigma \right)\sin \left(n\omega \tau \right)d\left(\omega \tau \right)$

从这种解的形式来看，系数的大小可以直接得到谐波振幅，而完整的傅里叶级数则可以得到时域和空间域的解。这种方法的挑战在于傅里叶系数的计算。在非线性声学中，这种解首先归因于 1935 年的 Fubini ，其中对积分项进行了处理，以得到贝塞尔函数的积分形式，因此谐波分量可以根据以下公式直接定义：

$B_{n}(\sigma )={\frac {2u_{o}}{n\sigma }}J_{n}(n\sigma )$

其中 J_n 是第一类 贝塞尔函数。历史上，Blackstock 在 1966 年的后续工作 对这个解的物理意义进行了澄清，也让这个解在非线性声学领域得到了更广泛的应用。有关这个推导的更多细节，请参考 Pierce 、Elfno 或 Hamilton 的著作。为了完整起见，图 3 绘制了连续谐波曲线作为归一化传播距离的函数。波的条件与图 2 中计算的条件相同。在这个特定的例子中，冲击形成发生在五个波长处；然而，绘制的谐波曲线对于任何 x_shock 值都具有普遍性。

图 3：变形前进波的连续谐波曲线。β = 3.5，对应于 20^oC 下蒸馏水的 B/A = 5.0。