工程声学/自调谐亥姆霍兹共鸣器噪声控制

引言

许多工程系统会产生不必要的声学噪声。可以使用工程噪声控制方法来降低噪声。亥姆霍兹共鸣器是一种在消声器中很受欢迎的噪声控制方法，参见 此处。它由一个腔体组成，该腔体通过一个或多个短窄管连接到感兴趣的系统。汽车排气系统是经典的例子。通过添加一个调谐的亥姆霍兹共鸣器，声音会反射回声源。

至少从古希腊时代起，亥姆霍兹共鸣器就被用来增强或衰减声场，当时它们被用在古代圆形剧场中来减少混响。从那时起，亥姆霍兹共鸣器在教堂等混响空间以及管道和管道的消声器中得到了广泛的应用。亥姆霍兹共鸣器效应是 此处看到的日间天窗抖动现象的基础。亥姆霍兹共鸣器的一个优点是它的简单性。但是，亥姆霍兹共鸣器有效的频率范围相对较窄。因此，这些设备需要精确地调谐到噪声源才能实现显著的衰减。

噪声与振动控制

噪声和振动控制有四大类：

1. 主动系统： 使用扬声器等致动器来加载或卸载不需要的噪声 [1] 和 声学/主动控制
2. 被动系统： 使用 [2] 来实现声音衰减

   2.1. 亥姆霍兹共鸣器和膨胀室等反应式装置。

   2.2. 吸声衬里和多孔膜等阻性材料

3. 混合系统： 使用主动和被动元件来实现声音降低 [3]
4. 自适应-被动系统： 使用被动装置，其参数可以改变以在工作频率范围内实现最佳噪声衰减。

亥姆霍兹共鸣器的集总元件模型

亥姆霍兹共鸣器是一种声学滤波器元件。如果亥姆霍兹共鸣器的尺寸小于声波长，那么亥姆霍兹共鸣器的动态行为可以建模为一个集总系统，参见 [4]。它实际上是质量和弹簧组合，可以被数学处理。大量的空气是弹簧，颈部的空气是振荡质量。阻尼以颈部两端的辐射损失以及颈部中振荡空气的摩擦引起的粘性损失的形式出现。图 1 显示了亥姆霍兹共鸣器和振动吸收器之间的这种类比。

图 1. 亥姆霍兹共鸣器和振动吸收器

参数定义

参数	定义	参数	定义
$M_{a}$	共鸣器的声学质量	$C_{a}$	声学顺应性
$\rho$	流体密度	P	颈口入口处的压力
ω	激励频率	S	颈口的横截面积
a	颈口的半径	L	实际颈口长度
y	指向颈口内部的位移	V	亥姆霍兹共鸣器的腔体积
F	作用在共鸣器颈口入口处y方向上的力	Leff	有效颈口长度（包括颈口内部的质量和颈口边缘附近的质量）

亥姆霍兹共鸣器的理论分析

对于两端都为法兰的颈口，L_eff大约为

$L_{\text{eff}}=\ L+\ 1.7\ a$

亥姆霍兹共鸣器的声学质量由下式给出

$M_{a}=L_{\text{eff}}\ \rho \ S$

共鸣器的刚度定义为顺应性的倒数，它定义为

$k_{r}={\frac {dF}{dy}}$

其中

$F=P\ S$

对于空气作为理想气体的绝热系统，共鸣器的热力学过程方程为

$PV^{\gamma }={\text{constant}}\,$

对该方程进行微分得到

$V^{\gamma }dP+P\gamma V^{\gamma -1}dV=0\,$

腔体积的变化为

$dV=-Sdy\$

将这些代入微分方程，可以将其重新表示为

$V^{\gamma }{\frac {dF}{S}}-P\gamma V^{\gamma -1}Sdy=0\Rightarrow {\frac {dF}{dy}}={\frac {P\gamma S^{2}}{V}}=k_{r}$

或者考虑到 $P=\rho R\ T$ 和 $c={\sqrt {\gamma RT}}$，共鸣器刚度则为

$k_{r}={\frac {\rho c^{2}\ S^{2}}{V}}$

其中c是声速，$\rho$是介质的密度。

亥姆霍兹共鸣器中可以考虑两种阻尼来源：颈口的声辐射和颈口的粘性损失，在许多情况下，与辐射损失相比，粘性损失可以忽略不计。

1. 颈口的声辐射：声辐射阻抗是颈口外部几何形状的函数。对于法兰管，辐射阻抗近似为

$R_{r}={\frac {\rho ck^{2}\ S^{2}}{2\pi }}$

其中 k 是波数，$k={\frac {w}{c}}$

2. 颈部的粘性损失： 粘性损失引起的机械阻力可以被认为是

$R_{v}=2R_{s}S{\frac {\ (L+a)}{\rho ca}}$

其中，对于足够大的颈部直径，R_s 为

$R_{s}=0.00083{\sqrt {\frac {w}{2\pi }}}$，其中 ω 是激励频率。

机械系统的机械阻抗定义为驱动力的比值和驱动点处系统的速度。驱动质量-弹簧-阻尼系统的机械阻抗是

${\hat {Z}}_{m}={\frac {\hat {F}}{\hat {u}}}=R_{m}+j(\omega m-{\frac {k_{r}}{w}})$

根据亥姆霍兹共鸣器和质量-弹簧-阻尼系统（振动吸收器）之间的类比，亥姆霍兹共鸣器的机械阻抗可以通过将亥姆霍兹共鸣器系统中的质量和阻尼替换到上述方程中得到

${\hat {Z}}_{mres}=(R_{v}+{\frac {\rho ck^{2}\ S^{2}}{2\pi }})+j(\omega \rho L_{eff}S-{\frac {\rho c^{2}\ S^{2}}{wV}})$

亥姆霍兹共鸣器的固有频率 w₀ 是电抗为零时的频率

$w_{0}=c{\sqrt {\frac {S}{L_{\text{eff}}V}}}$,

亥姆霍兹共鸣器的声阻抗为

${\hat {Z}}_{res}={\frac {{\hat {Z}}_{mres}}{\ S^{2}}}$

当共鸣器的固有频率等于激励频率时，就会发生共鸣。亥姆霍兹共鸣器通常用于在系统最初处于共鸣时衰减声压。下图显示了一个简单的带侧支亥姆霍兹共鸣器的开端管道系统，以及该系统的模拟电路。对于无阻尼共鸣器，共鸣时的阻抗为零，因此根据图 2 中的电气类比，亥姆霍兹共鸣器变成了短路。右侧的元件没有电流流动。另一方面，共鸣时的无阻尼亥姆霍兹共鸣器会导致所有声波反射回源，而在有阻尼共鸣器中，一些电流会流过亥姆霍兹共鸣器右侧的分支，从而降低衰减的幅度。

图 2. 带侧支亥姆霍兹共鸣器的开端管道系统，以及连接点 A 附近的模拟电路

1- 共鸣器体积对声音衰减的影响

图 3 显示了上述管道系统在没有亥姆霍兹共鸣器的情况下，以及在具有相同固有频率的两个不同体积的亥姆霍兹共鸣器下的频率响应。激励频率轴相对于直管系统的基频归一化，该基频也被选为共鸣器的固有频率。对于带侧支亥姆霍兹共鸣器的管道系统，当共鸣器的固有频率等于激励频率时，声压的衰减最大。通过比较两个不同颜色的曲线（蓝色和灰色），可以看出，为了增加亥姆霍兹共鸣器的衰减有效带宽，装置应尽可能大。需要注意的是，为了最大限度地减少装置内部驻波的影响，尺寸不超过共鸣器固有频率的四分之一波长。

图 3. 共鸣器体积对声音衰减的影响

2- 共鸣器阻尼对声音衰减的影响

图 5 显示了亥姆霍兹共鸣器阻尼（由辐射阻力和颈部粘性损失引起）对管道系统频率响应的影响。轻阻尼亥姆霍兹共鸣器对激励频率的变化不鲁棒，因为如果噪声频率移动到两个系统共鸣点附近，管道系统中的声压可能会被放大。为了增加亥姆霍兹共鸣器对激励频率变化的鲁棒性，可以将阻尼添加到共鸣器中，以降低共鸣峰值的幅度。这种鲁棒性的增加会降低性能，因为对于重阻尼亥姆霍兹共鸣器，最大衰减会明显降低。创建可调亥姆霍兹共鸣器的动机源于这种鲁棒性和性能之间的权衡。可调亥姆霍兹共鸣器能够调整其固有频率以匹配激励频率，因此能够保证轻阻尼亥姆霍兹共鸣器的 高性能，并跟踪频率的变化。

图 4. 共鸣器阻尼对声音衰减的影响

自适应亥姆霍兹共鸣器

可调谐亥姆霍兹共振器是一种可变体积的共振器，它允许调整共振频率。如图 5 所示，可变体积亥姆霍兹共振器可以通过在共振腔内旋转一个内部径向壁相对于一个内部固定壁来实现。活动壁固定到底部端板，该端板连接到一个直流电机，以提供改变体积的运动。

图 5. 可变体积亥姆霍兹共振器

为了确定管道中任何位置的声压和体积速度（例如图 2 中的麦克风位置），我们应该首先确定扬声器处的压力和速度。

图 5. 图 2 中管道系统的等效电路

图 6. 简化的等效电路

系统终端的声阻抗，即一个无法兰的开管，近似为

$Z_{1}={\frac {\rho c}{S_{p}}}({\frac {1}{4}})(ka)^{2}+j0.6ka$

其中 S_p 是管道的横截面积，a_p 是管道的半径。点 2 处的阻抗为

${\frac {Z_{2}}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}={\frac {{\frac {Z_{1}}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}+jtan(kL_{1})}{1+j{\frac {Z_{1}}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}tan(kL_{1})}}$

其中 L₁ 是将终端与共振器分隔开的管道的长度。共振器声阻抗与上面显示的相同。点 3 处的声阻抗由下式给出

$Z_{3}={\frac {Z_{2}Z_{res}}{Z_{2}+Z_{res}}}$

点 4 处的阻抗可以通过以下公式确定

${\frac {Z_{4}}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}={\frac {{\frac {Z_{3}}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}+jtan(kL_{2})}{1+j{\frac {Z_{3}}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}tan(kL_{2})}}$

最后，扬声器处的阻抗由下式给出

${\frac {Z_{sys}}{\frac {\rho c}{S_{enc}}}}={\frac {{\frac {Z_{4}}{\frac {\rho c}{S_{enc}}}}+jtan(kL_{enc})}{1+j{\frac {Z_{4}}{\frac {\rho c}{S_{enc}}}}tan(kL_{enc})}}$

其中 S_enc 是扬声器外壳的横截面积，L_enc 是外壳孔径到扬声器的长度。

从图 6 和系统阻抗 (Z_{sys})，可以确定扬声器处的压力和速度。考虑传递矩阵，可以根据扬声器处的压力和速度计算管道系统中任何位置的压力和速度。第一个传递矩阵可用于将直管道中下游点的压力和速度与管道起点的压力和速度联系起来。

${\begin{bmatrix}P_{d}(l)\\U_{d}(l)\end{bmatrix}}$=${\begin{bmatrix}cos(kL)&-jsin(kL){\frac {\rho c}{S_{p}}}\\-j{\frac {sin(kL)}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}&cos(kL)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{d}(0)\\U_{d}(0)\end{bmatrix}}$

第二个矩阵将旁支管下游的压力和速度与旁支管之前的压力和速度相关联。

${\begin{bmatrix}P_{d}(3)\\U_{d}(3)\end{bmatrix}}$=${\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{Z_{res}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{d}(2)\\U_{d}(2)\end{bmatrix}}$

正确组合这些传递矩阵可以用来确定图 2 中麦克风位置处的系统压力。

附录 A：带亥姆霍兹共鸣器的直管的 Matlab 代码

%This Matlab code is used for calculating pressure at the place of
%microphone for the pipe without Helmholtz resonator
clear all
clc
V0=1;
for f=10:1:200;
   omega=2*pi*f;
   freq(f-9)=f;
   c=343;                                     % speed of sound
   rho=1.21;                                  % density of the medium (air)
   ap=0.0254;                                 % radius of the pipe
   Sp=pi*(ap^2);                              % cross sectional area of the pipe
   k=omega/c;                                 % wave number
   Lenc=0.10;                                 %distance separating the enclosure aperture and the speaker face
   L1=0.34+(0.6*ap);                          % length of the pipe separating the termination from the resonator
   L2=0.62+(0.85*ap);                         % length of the pipe between the resonator and speaker enclosure
   Lx=0.254;                                  % length of the pipe from HR to microphone
   Lm=Lx+L2;                                  %distance from speaker to microphon
   Ld=L1+L2;
   Rm=1;                                      % loudspeaker coil resistance
   Bl=7.5;
   Cm=1/2000;                                 %Complience of the speaker
   OmegaN=345;                                %Natural frequency of the speaker(55HZ)
   a=0.0425;                                  %effective radius of the diaphragm
   Senc=pi*(a^2);                             % cross sectional area of the speaker enclosure  (Transformer ratio)
   Mm=0.01;                                   %Air load mass on both side of the driver
   Gamma=1.4;                                 %Specific heat ratio for air
   P0=10^5;
   b=0.38;
   Pref=20e-6;                                %Reference pressure for sound pressure level
       
   %calculate the system impedance
   Z1=(rho*c*Sp)*(((1/4)*((k*ap)^2)+i*(0.6*k*ap))/(Sp^2));      %open ended unflanged pipe
   % impedance at point 4( after speaker)
   Z4=(rho*c/Sp)*(((Z1/(rho*c/Sp))+i*tan(k*Ld))/(1+i*(Z1/(rho*c/Sp))*tan(k*Ld))); 
   Zsys=(rho*c/Senc)*(((Z4/(rho*c/Senc))+i*tan(k*(Lenc)))/(1+i*(Z4/(rho*c/Senc))*tan(k*(Lenc)))); 
   %calculating the impedance of the loud speaker 
   Induct=(Mm/(Senc^2));                                                   
   Resist=((Bl^2)/((Senc^2)*(Rm)));
   Drivimp=Resist+(i*omega*Induct)+(1/(i*omega*Cm));           % impedance moadel for speaker
   Impedance=Zsys+ Drivimp;
   Voltage=V0*Bl/((Rm)*Senc);
   Velocity=Voltage/Impedance;
   Pressure=Velocity*Zsys;
   Pressure=Pressure*sqrt(2);
   Velocity=Velocity*sqrt(2);
   TR1=[Pressure;Velocity];
   TR15=[cos(k*(Lenc)) -i*(rho*c/Senc)*sin(k*(Lenc)); -i*(sin(k*(Lenc)))/(rho*c/Senc) cos(k*(Lenc))];
   TR3=[cos(k*Lm) -i*(rho*c/Sp)*sin(k*Lm); -i*(sin(k*Lm))/(rho*c/Sp) cos(k*Lm)];
   Tf=TR3*TR15*TR1;
   Pmike=Tf(1)/(sqrt(2));                                % pressure at microphone
   Vmike=Tf(2);                                          % velocity at microphone
   MagP(f-9)=20*log10(Pmike/Pref);
end;
nondim=freq/(OmegaN/2/pi);
plot(nondim,MagP,'k-.');
title('frequency response of system with Helmholtz Rsonator');
xlabel('Normalized Excitation Frequency (Hz)');
ylabel('Sound pressure level (dB)');