几何/第 11 章

第 11.1 节数集和域

您熟悉许多或全部术语 *自然数*、*整数*、*有理数* 以及 *无理数*、*实数*、*复数*。几何学使用缩写和集合符号来表示这些。*集合* 是指一组独特的对象，例如数字。以下命题描述了以缩写方式表示的数集：自然数是 $\mathbb {N}$ ，整数是 $\mathbb {Z}$ （来自德语单词 *zahlen* [ˈtsaːlən]），有理数是 $\mathbb {Q}$ （商），实数是 $\mathbb {R}$ ，复数是 $\mathbb {C}$ ，并且左侧的每个集合都是右侧所有集合的 *子集*，即包含在集合内的集合，这由类似于 $<$ 的符号表示，因为右侧的每个集合都大于左侧的所有集合，或者看起来大于左侧的所有集合，尽管在某些情况下它们是相等的。如果您知道某些集合如何相等，那很好，但主要请注意右侧的集合比其左侧的所有集合都具有更高的复杂性。

命题 11.0

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

让我们使用 *集合构建符号* 来回顾这些集合的定义。以下是自然数；有两种定义它们的方式。大括号内的所有对象都是同一集合的元素，即成员。

计数数字

$\{1,2,3,\ldots \}$

整数

$\{0,1,2,3,\ldots \}$

整数是计数数字和负整数：很明显任何计数数字都可以称为整数。

整数

$\mathbb {Z} =\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$

每个数集都代表一条数轴，带有下标的集合表示从 0 到下标减 1 的数字，例如 $\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}$ 。这就是计数数字从 0 开始的原因。

以下语句使用符号 |，表示“使得以下为真”（人们通常直接说“使得”）和 $\in$ （希腊字母 eta）。eta 左侧的对象是 eta 右侧集合的元素。任何整数都可以写成有理数，但有理数包括分数/小数。

命题 11.1

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {p}{q}}:p,q\in \mathbb {Z} ,q\neq 0\right\}$

有理数、实数和复数是域，它们比集合更高一级。域的一个特性是它们以某种更复杂的方式排序；如果您注意到定义有理数的方式使用了一些更复杂的排序，那很好。

命题 11.2

$\mathbb {R}$ 实数仅仅是有理数的和，它们等于无限小数，例如 $3.141592\ldots$

任何有理数都可以写成一个实数（例如，后面有无限个零），但实数包括无理数。还有更复杂的方法来定义实数，你现在不需要知道，但如果你想知道，可以阅读康托尔蛇。

$\mathbb {C}$ 复数包括虚数，任何非虚数都可以写成复数。这些在几何中很少使用，除了高级主题，但有一些关于它们你可能会发现有趣的东西。带有上标n的数字集表示n维的集合，定义n条正交的数轴。

命题 11.3

$\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {C}$

第 11.2 节实空间中的维数集合

射线表示 $\mathbb {N}$ ，直线表示 $\mathbb {Z}$ ， $\mathbb {Q}$ ，但射线和直线比集合更连续（'看起来很坚实'）。

命题 11.4

$\mathbb {R}$ 表示实数轴，它是无限的。

带有上标符号的数字集表示该符号中的集合，并且 $\cup$ 符号左侧和右侧的对象被定义为在同一个集合中。例如 $\mathbb {R} ^{+}\cup 0$ 是从 0 到无穷大的实空间射线。回想一下 $\mathbb {R}$ 是一条直线，并且它是一条真实的（连续的；看起来'很坚实'）直线，并且回想一下 $\mathbb {R} ^{2}$ 是 2 条正交的直线。