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几何/介绍

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高中几何简介

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几何这个词最初来自希腊语，字面意思是测量地球。它是数学的一个古老分支，但其现代含义在很大程度上取决于语境。

  • 对于小学或初中生（美国学校系统中六到十三岁），几何是研究简单形状的名称和属性（例如，三角形、正方形、矩形、梯形、圆形、棱柱等的定义属性，以及它们的面积或体积公式）。
  • 对于高中生（美国学校系统中十四到十七岁），几何有两种形式：合成几何和解析几何。合成几何使用演绎证明来研究点、线、角、三角形、圆形和其他平面图形的属性，大致遵循公元前 300 年左右希腊教科书作者欧几里得制定的计划。解析几何遵循法国数学家勒内·笛卡尔 (1596-1650) 和皮埃尔·德·费马 (1601-1665) 的开创性工作，在平面上施加坐标网格，使得可以通过代数（例如，线性方程和二次方程）来研究几何对象（例如，线、抛物线和圆形），反之亦然。
  • 对于数学研究人员来说，几何是一个已经远远超出其根源的学科，他可能会将自己的领域称为现代几何，以区别于学校科目。现代几何主要有两种形式：代数几何（代数曲线和曲面，代数簇）和微分几何（黎曼几何，自旋几何，李群和代数）。微分几何在很多方面都有应用；用来描述广义相对论中的宇宙（洛伦兹 4-流形），用来描述肥皂膜（极小曲面）以及作为粒子物理学的基石（李群）。

这本维基教科书的第一部分力求成为一本高中几何教科书，足以满足加州课程内容标准。

为什么要投入精力学习几何？

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基础几何是一个非常强大的实际问题解决工具。它被古代埃及人和希腊人用来解决大多数问题，是理性思维的原型。今天我们使用代数，而希腊人则使用几何。它在所有建筑和制造行业中仍然非常流行。在建造大型且昂贵的物体之前，最好先在小型模型中解决问题。在花费大量精力制作模型之前，最好先绘制图纸。借助几何，图纸变得非常精确，可用于预测尺寸和成本。几何很容易掌握；证明比数独更有趣；它的应用就像锤子和锯一样实用。它将赋予你先进的视觉直觉以及对理性证明和纯数学中最抽象领域跳板的强烈理解。很难想象没有几何的数学教育。

在尝试阅读本文之前，我应该了解些什么？

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  • 阅读小学几何。它将使你熟悉这里使用的术语和图表。
  • 你应该能够进行不使用计算器（1/4 + 2/5 = 13/20）的加法分数运算；以及解决简单的代数问题（2x -1= 0 则 x= 1/2）和 (X^2-16=0)。代数和几何通常一起教授，学生在需要的时候会了解足够的代数。在进行几何学习的同时，阅读算术和初等代数的前几章不会有什么坏处。数学是建立在自身基础上的。这意味着，只有当你完成所有示例并学习定义时，后面的内容对你才有意义。保留一个笔记本，并多画图。与他人讨论你所学到的内容是无价的。你尽到你的责任，一本好的教科书会让你达到目的。来自代数的单元 1应该足以让你掌握这本教材所需的知识。

难度几何？直觉与严谨

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十五个小男孩坐在他们的第一个足球教练面前，对这项运动一无所知。教练站起来教他们踢足球。他是如何开始的？

也许他讲课几个小时，解释足球规则以及常见的策略和战术。小男孩感到厌倦。由于没有比赛经验，他们很难理解规则，更难记住规则。到最后，他们对足球比赛的感觉毫无头绪。

另一方面，也许教练将男孩分成两队，带他们到足球场，扔给他们一个球，告诉他们，“试着把球踢进对方球门，并守住自己的球门”，然后让他们比赛。由于不知道规则，男孩们玩的游戏与足球没什么相似之处。他们捡起球，抱着球跑，毫不理会球场的界限。当他们最终想到踢球时，他们没有运球、传球或团队合作的技巧。他们玩得很开心，但最后他们还是不知道足球比赛的感觉。

第一种方法（在比赛前教授所有规则）是数学家可能称之为足球的严谨方法，而第二种方法（不考虑规则就比赛）是他们可能称之为直觉的方法。严谨强调规则。直觉强调玩法。好的教学和好的学习都需要两者兼顾。一位优秀的足球教练从教男孩们一些最重要的规则开始，让他们练习一些基本练习，然后让他们比赛。一开始，他可能更强调直觉，让他们多比赛，这样他们就能了解比赛是如何进行的，以及比赛的乐趣所在。后来，当他们对比赛产生了兴趣时，他更多地关注技能和练习，关注规则、策略和战术。

开始几何学习的老师也面临着与足球教练相同的问题：强调严谨还是强调直觉？遵循优秀教练的例子，本章强调直觉，同时引入一些严谨。具体来说，本章在对欧几里得几何的直观处理的背景下介绍了许多几何的基本概念和大部分术语。后面的章节将以更大的严谨性重新审视这些主题。

因此，例如，本章讨论了欧几里得几何，但没有解释是什么让它成为欧几里得几何，也没有提及其他类型的几何。同样，由于初级几何学家将点视为点，本章解释了点就像一个无限小的点。这是一个有用的心理意象，已经为几何学家服务了 2000 多年。对几何的严谨方法没有定义点这个词，但这本文档为后面的章节保留了这种微妙而令人困惑的惯例。同样，本文假设读者已经对面积和体积以及用于测量它们的单位有所了解，因此没有试图定义和解释标准的面积和体积单位。


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