几何/第 8 章

周长

某个形状的周长是其所有边长的总和。

• 对于三角形

$P=l_{a}+l_{b}+l_{c}$ 周长等于边 a 的长度，$l_{a}$，加上边 b 的长度，$l_{b}$，加上边 c 的长度，$l_{c}$。

• 对于正方形

$P=4l$ 周长等于边长 (l) 的 4 倍。

• 对于矩形

$P=2(b+h)$ 周长等于底边加上高的总和的 2 倍。

• 对于正多边形

$P=nl$ 周长等于边数 (n) 乘以边长 (l)。

圆形不像多边形那样由线段组成，但它确实有一个称为周长的周长。$C=2\pi r$ 周长等于 2 乘以 pi 乘以半径 (r)。

面积

形状的面积是指其周长内的空间大小。

• 对于三角形

$A={\frac {bh}{2}}$ 面积等于底边 (b) 乘以高 (h) 的积除以 2。

• 对于正方形

$A=l^{2}$ 面积等于边长 (l) 的平方。

• 对于矩形

$A=bh$ 面积等于底边 (b) 的长度乘以高的长度 (h)。

• 对于圆形

$A=\pi r^{2}$ 面积等于 pi 乘以半径 (r) 的平方。

• 对于形状不规则的多边形，可以使用较小面积的总和。较小的面积必须完全构成多边形。有用的较小面积可以是正方形、三角形或矩形。

• 还有一种计算位于二维坐标系中的多边形面积的方法

$A={\frac {{\big |}x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}+\cdots +x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n}{\big |}}{2}}$ 其中 $(x_{k},y_{k})$ 是多边形的第 i 个顶点，它们必须按正确的顺序给出，顺时针和逆时针都可以。多边形无需是凸形的。

体积

体积是指物体所占的空间大小。只有三维形状才具有体积。这是因为二维物体没有厚度，因此不占空间。

• 对于立方体

$V=l^{3}$ 体积等于边长 (l) 的立方。

• 对于长方体

$V=bwh$ 体积等于底 (b) 乘以宽 (w) 乘以高 (h)。

• 对于球体

$V={\frac {4\pi }{3}}r^{3}$ 体积等于四分之三乘以圆周率乘以半径的立方。

• 对于圆锥体或棱锥体

$V={\frac {Bh}{3}}$ 体积等于底面积乘以高的三分之一。

• 对于底面为任何形状的圆柱体（只要横截面积恒定），

$V=A_{base}\cdot h$ 其中 h 是圆柱体的高度（不是斜高），$A_{base}$ 是底面积。例如，圆柱体的体积是 $\pi r^{2}h$

表面积

对于大多数形状，您可以通过将所有侧面的面积加起来来找到表面积。例如，

• (封闭) 长方体，尺寸为 w、l 和 h：$SA=2(lw+lh+wh)$
• 封闭立方体：$SA=6s^{2}$
• 封闭圆柱体，底面积为 A，底面周长为 P：$SA=Ph+2A$

  对于圆柱体，$SA=2\pi r(r+h)$

球体很特殊，因为它们没有边，但使用微积分可以证明

• 球体：$SA=4\pi r^{2}$

练习

1. 如果圆柱体的底面积为 10 厘米，高度为 12 厘米，它的体积是多少？

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