几何/第 2 章

第 2.1 节 - 证明

证明是为了让用户理解为了获得给定输出而采取了哪些步骤。根据学生最容易理解的方式，证明有三种类型。

两列证明

两列证明（也称为形式证明）以两值表的形式设置，一个为“语句”，另一个为“理由”。要使用此方法证明一个简单的问题，请设置一个如下所示的表格

语句	理由

确保为两列中的值留出空间。在几何学中，第一行是问题的“已知”。这是关于特定问题的信息，不使用图片。最后一行应该是你要证明的结论。

两列证明的示例

现在，假设一个问题告诉你求解 $x+1=2$ 的 $x$ ，展示所有步骤以获得答案。证明展示了如何做到这一点

语句	理由
$x+1=2$	已知
$x=1$	减法性质

我们使用“已知”作为第一个理由，因为它在问题中是“已知”的。

文字证明

文字证明（也称为非形式证明、段落证明或“证明计划”）以段落的形式写成。除了这种格式上的区别外，它们与两列证明类似。

有时在将证明正式化为两列形式之前，先进行文字证明会很有帮助。如果你在将证明转化为两列形式时遇到困难，请尝试先在文字证明中“说出来”。

文字证明的示例

我们已知 x + 1 = 2，因此如果我们从等式两边减去 1（x + 1 - 1 = 2 - 1），那么根据减法的定义，我们可以看到 x = 1。

流程图证明

流程图证明或更简单的流程证明是两列证明的图形表示。每个语句和理由都记录在一个框中，然后用箭头将一个步骤连接到另一个步骤。这种方法展示了不同的想法如何结合起来形成证明。

第 2.2 节 - 理由

几何学中的每个概念都以逻辑的顺序发展。没有解释如何或为什么，人们就不能从 A 到 B。例如，以下不是证明

$5(x+1)^{2}-x$
$x=4$

此外，我们也不能编造理由来解释为什么我们采取了下一步。因此，我们只能使用某些信息作为我们的理由。这些包括

1. 已知：这通常是我们试图解决的问题（等式），或问题中给出的某些重要信息。

2. 性质：这些性质大多数都是加、减、乘、除的基本数学运算，例如上面示例中的第二个理由（减法性质）。

3. 定义：再说一遍，“因为它就是那样”不是理由。这种推理不像其他推理那样常见。通过使用定义，有时可以缩短答案或证明的一部分工作。例如，通过使用“角平分线的定义”作为理由（并且已经能够通过已知信息或证明的早期部分进行证明），你可以证明两个相邻角全等，而无需进行更长的证明。

4. 公理：在大多数情况下，与公设相同。区别在于公理是代数性质，而公设主要来自几何学。例如“任意两点之间只有一条直线”。虽然它不能通过证明来证明（尽管作者挑战任何人不相信它），但它被接受为一个理由。公理很少，所以虽然它听起来不错，但如果你编造了它，有人会注意到。

5. 定理：定理是通过自身证明被证明为真的语句。它们本身就是非常有用的捷径，因为通过陈述一个定理，许多事情都被证明了，你就不必重新证明定理。定理可以很简单（“如果两条直线相交，它们在一点相交。”）或者非常复杂（“两个等距的合成是一个等距。”[如果你不明白，不要惊慌；稍后会解释]）。有时，你会被给出定理的证明；其他时候，作为练习的一部分，你会被要求自己证明它。

6. 公理：在大多数情况下，与公设相同。区别在于公理是代数性质，而公设主要来自几何学。

7. 推论：这些语句源于定理和定义中被证明的内容，不需要（尽管通常有）单独的证明。

在许多教科书中，证明为了方便后面的索引而被编号。在进行正确的几何证明时，不应写下“定理 15”。请将陈述完全照原样写出来（是的，你需要背诵一些几何内容）。你必须确保框中的信息与前面的框相关。

第 2.3 节 - 几何中的证明应用

练习

每道练习的答案可以在附录中单独找到。

1.

已知

$r||s$ r 平行于 s
$\angle 1=60^{\circ }$ 角 1 = 60 度。

证明：求出附图（上方）中其他七个角的度数。

2.

已知

$\angle 2\cong \angle 3$ 角 2 和角 3 全等

证明：直线 r 和 s 平行。

3.

已知

$\angle 1=\angle 2=90^{\circ }$ 角 1 和角 2 都是 90 ⁰

证明：图中的直线 a 和 b 平行。

4.

已知

${\overline {GH}}||{\overrightarrow {DK}}$ 线段 GH 平行于射线 DK
$\angle 6=75^{\circ }$ 角 6 = 75 度。
$\angle 2=30^{\circ }$ 角 2 = 30 度。

证明：求出上图中每个编号角的度数。

第 2.4 节：反证法

反证法，也称为间接证明，通过证明命题为假会导致矛盾来证明命题为真。

一个经典例子：证明 2 的平方根是无理数

假设 ${\sqrt {2}}$ 是一个有理数，这意味着存在一个整数 $a$ 和一个整数 $b$ 使得 $a/b={\sqrt {2}}$ 。
然后， ${\sqrt {2}}$ 可以写成一个简化的分数 $a/b$ ，使得 $a$ 和 $b$ 是互质整数，也就是说，它们的最大公约数为 1。
由此可知 $a^{2}/b^{2}=2$ 并且 $a^{2}=2b^{2}$ 。 ( $(a/b)^{n}=a^{n}/b^{n}$ )
因此 $a^{2}$ 是偶数，因为它等于 $2b^{2}$ 。( $2b^{2}$ 一定是偶数，因为它是另一个整数的 2 倍，偶数是 2 的倍数。)
由此可知 $a$ 必须是偶数（因为奇数的平方永远不会是偶数）。
由于 $a$ 是偶数，存在一个整数 $k$ 满足： $a=2k$ 。
将步骤 6 中的 $2k$ 代入步骤 3 中的第二个方程的 $a$ ： $(2k)^{2}=2b^{2}$ 等价于 $4k^{2}=2b^{2}$ ，它等价于 $2k^{2}=b^{2}$ 。
因为 $2k^{2}$ 可以被 2 整除，因此是偶数，并且由于 $2k^{2}=b^{2}$ ，因此 $b^{2}$ 也是偶数，这意味着 $b$ 是偶数。
根据步骤 5 和 8， $a$ 和 $b$ 都是偶数，这与步骤 2 中所述的 $a/b$ 是不可约的矛盾。