几何/第 19 章

求解直角三角形

为了使用三角函数求解直角三角形，可以使用一个简单的首字母缩略词：SOH-CAH-TOA；SOH 代表正弦（对边/斜边），CAH 代表余弦（邻边/斜边），TOA 代表正切（对边/邻边）。

这项工作主要使用计算器完成，因为正弦、余弦和正切函数没有简单的分析公式。

要求解直角三角形的角度，可以使用相同的 SOH-CAH-TOA 方法，只是使用 $\arcsin$ (对边/斜边)、$\arccos$ (邻边/斜边) 和 $\arctan$ (对边/邻边)。

示例问题

示例一：查找直角三角形的缺失部分

在一个直角三角形中，有一个锐角为 38 度，斜边为 15 米，求解缺失的角和边。

解答

另一个锐角可以通过认识到三角形的角之和始终为 180 度来找到。因此，

$180^{\circ }=38^{\circ }+90^{\circ }+(m<B)$，所以 $(m<B)=52^{\circ }$。使用 SOHCAHTOA，我们看到

$\sin(38^{\circ })$ = 对边长度/斜边。因此，$\sin(38^{\circ })={\frac {a}{15}}\ \Rightarrow \ a=15\sin(38^{\circ })=9.23$ 米。为了找到邻边，

我们使用余弦函数和公式 $\cos(38^{\circ })={\frac {b}{15}}\ \Rightarrow \ b=15\cos(38^{\circ })=11.82$ 米。

勾股定理关系

这是超越基本三角函数或概念的一步。它涉及三个可以根据给定问题的需要进行操作的方程式。这三个方程式如下

${\begin{aligned}\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\\1+\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)\\1+\cot ^{2}(x)=\csc ^{2}(x)\end{aligned}}$

这些可以很容易地操作以找出范围广泛的复杂问题。为此，我们将使用 1 - sin²θ 的例子。当我们查看上面的方程式时，我们发现它与第一个方程式 (sin²θ + cos²θ = 1) 非常相似。事实上，sin²θ 只是被减掉了。使用这个原理，我们就可以将问题解为 cos²θ = 1-sin²θ。很简单，对吧？

练习题

使用勾股定理关系解出以下方程式

1. tan²θ + 1 =
2. sec²θ - 1 =
3. csc²θ - cot²θ =
4. sin²θ + cos²θ =
5. sec²θ - tan²θ =
6. sin²θ - 1 =

验证更复杂的恒等式

现在我们开始讨论三角函数世界中更复杂的函数。为了解决或证明这些函数或方程，我们必须运用之前学过的所有数学技能。我们需要使用因式分解、勾股定理表、反三角函数（sec θ = 1/cos θ，csc θ = 1/sin θ，cot θ = 1/tan θ）以及解决问题所需的任何其他知识。

这是一个非常高级的数学。为了开始这节课，让我们看一个例子。

证明（使右边看起来像左边，不要触碰左边）

sin θ /(sin θ + cos θ) = tan θ /(1 + tan θ)

我们可以看到 tan θ 除以 1 + tan θ。为了开始这个问题，让我们求出共同的公分母。

tan θ /(cos θ/cos θ + sin θ/cos θ)

现在我们可以将下面的两个方程合并起来，看起来像这样。

tan θ /((cos θ + sin θ)/cos θ)

为了简化这个表达式，将 tan θ 用 sin θ 和 cos θ 表示。

(sin θ/cos θ)/((cos θ + sin θ)/cos θ)

现在我们可以乘以倒数来消除下面的分母。

((sin θ/cos θ)*cos θ)/(((cos θ + sin θ)/cos θ)*cos θ)

注意，这个表达式仍然被 sin θ + cos θ 除。当我们相乘时，cos θ 将互相抵消，所以只剩下

sin θ/(sin θ + cos θ)

这恰好是我们试图证明的答案！

虽然这可能看起来很复杂，但你只需要多加练习。让我们来看一个更复杂的例子。

证明（使左边看起来像右边，不要触碰右边）

(2 sin θ cos θ)/(sin²θ - cos²θ + 1) = cot θ

当我们看到这样的方程时，它可能看起来不可能。让我们回顾一下基础知识。当我们看到下面的部分时，我们看到有一个 -cos²θ 和一个 +1。当我们看勾股定理表时，1 - cos²θ 等于 sin²θ。

(2 cos θ sin θ)/(sin²θ + sin²θ)

然后我们可以将两个 sin²θ 加在一起。

(2 sin θ cos θ)/(2 sin²θ)

然后我们可以进一步简化这个表达式为

cos θ / sin θ

我们可以这样做，因为 sin θ 将抵消，只剩下一个 sin θ（2/2²=1/2，对吧？），然后两个 2 将抵消。剩下 cos θ / sin θ，即 cot θ！

练习题

1. 证明（使右边看起来像左边，不要触碰左边）

   (1 - sin θ)/(cos θ) = cos θ /(1 + sin θ)

2. 证明（使左边看起来像右边，不要触碰右边）

   (cot θ - tan θ)/(tan θ cos²θ) = csc²θ - sec²θ

3. 证明（使左边看起来像右边，不要触碰右边）

   tan θ/(1 + sec θ) + (1 + sec θ)/tan θ = 2 csc θ

4. 证明（使左边看起来像右边，不要触碰右边）

   tan²θ/(1 + tan²θ) = sin²θ

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