几何/第一章 - 高中

第 1.1 节 - 导言

几何来自两个词：geo，意思是地球，metry，意思是测量。因此，几何的意思是“测量地球”。这门数学分支涉及对点和线及其组合的理解。换句话说，几何学是一种用于测量无法用设备测量的物体类型的数学。例如，没有人能用卷尺绕地球测量，但我们很有信心地球赤道处的周长为 40,075.036 公里（24,901.473 英里）。我们是怎么知道的？第一个已知的计算地球周长的案例是由埃拉托色尼在公元前 240 年左右完成的。您认为现在的科学家会使用什么工具来测量行星的大小？答案是几何学。

然而，几何学不仅仅是测量物体的大小。如果你问一个高中学过几何的人他/她记得什么，答案很可能是证明。如果你问他/她最不喜欢什么，答案很可能是证明。学习几何学并不一定要包含证明。证明并不只存在于几何学中。证明可以在代数中进行，也可以推迟到微积分。高中几何几乎总是花大量时间进行证明的原因是，第一本伟大的几何教科书“几何原本”完全是用证明写成的。

本教科书基于欧几里得几何。欧几里得指的是一本写于两千多年前的书，叫做几何原本，由一位名叫欧几里得的人写成。在这本书中，欧几里得用指南针、直尺和量角器提供了一种方法来证明几何命题。他的方法影响了今天几何学的教学方式。欧几里得的书是数学课程的一部分，直到 20 世纪初。

第 1.2 节 - 推理

得出结论通常有两种方式：归纳推理和演绎推理。

归纳推理

归纳推理是我们更常用的方法，它根据以往的观察得出结论。例如，如果我注意到太阳每天都在东边升起，那么通过归纳推理，我可以得出结论，太阳明天也会从东边升起。在数学中，我们可能会注意到一个模式，从中得出结论。看下面的模式

$1^{2}=1$ ,	$1\leq 1$
$2^{2}=4$ ,	$2\leq 4$
$3^{2}=9$ ,	$3\leq 9$
$(-1)^{2}=1$ ,	$-1\leq 1$
$(-2)^{2}=4$ ,	$-2\leq 4$

通过归纳推理，我们可以得出结论，无论何时对一个数字进行平方，结果都是一个大于或等于原数字的数字。根据对整数的平方结果，这似乎是正确的。然而，归纳逻辑并不确定。对于某些数字，我们的结论并不成立。

\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}

{\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}

同样的道理也可以应用于数学之外的问题。一位外国的美国棒球观察者在观看了几场比赛后可能会得出结论，比赛由九局组成。只有在观看了九局结束时仍处于平局的比赛后，他才会意识到这种观察是错误的。归纳推理很有用，但不确定。总会有机会出现一个观察结果，表明这种推理是错误的。只需要一个观察结果就可以证明结论是错误的。这个理论最早是由库恩在他的归纳法定律研究中提出的。问题是，一个范式是否具有正确的概括性，从而得出事实性的结论。

几何中的大部分推理都类似于此，包含三个简单的阶段（见示例 A）

1. 寻找共同点: 一种模式。
2. 做出猜想: 一个未经证实的陈述，你需要证明它。
3. 证明/反驳: 猜想。

演绎推理

演绎推理是通过结合已知的真理来创造新的真理，从而得出结论。与归纳推理不同，演绎推理是确定的，前提是使用正常的逻辑规则来得出这些真理。为了使用演绎推理，必须有一个起点，通常称为理论的公理或假设。例如，几何中的一个公理断言，给定两点，只有一条直线包含这两点。注意，虽然这是一个公理，但它可以用来推导出两条不同的非平行直线只在一个点相交。

不仅公理可以用来推导出新的真理。使用逻辑规则从公理中推导出的其他知识可以用来验证新的真理。例如，我们可以得出结论，如果三个点 A、B 和 C 不在同一条直线上，由其中两点确定的直线只能在 A、B 和 C 处相交（因为我们已经知道两条直线只在一个点相交，因此唯一需要证明的是由其中两点确定的直线是不同的，而这显然是正确的，因为给定的点不属于任何一条直线上）。

词汇

猜想：一个需要证明的陈述。

示例 A：做出猜想

前x个正奇数的和可以表示为 $n^{2}$

解法 - 归纳法
前 1 个正奇数的和：1 = 1 = 1²
前 2 个正奇数的和：1 + 3 = 4 = 2²
前 3 个正奇数的和：1 + 3 + 5 = 9 = 3²
前 4 个正奇数的和：1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
前 5 个正奇数的和：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²
前 6 个正奇数的和：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6²

前x个正奇数的和为x²。

解法 - 演绎法

证明前 n 个奇数的和： $\sum _{x=1}^{n}(2x-1)=n^{2}$ .
	$\sum _{x=1}^{n}(2x-1)$
$=$	$2\sum _{x=1}^{n}x-\sum _{x=1}^{n}1$
$=$	$2{\frac {n(n+1)}{2}}-n$
$=$	$n^{2}+n-n$
$=$	$n^{2}$

注意，演绎示例是一个方程，它被简化直到左侧项被简化为与右侧项相等。这是证明，并且“方程”这个词的根源不断地提醒着欧几里得关于等式的公理

等于同一个东西的东西也彼此相等。
如果将相等的东西加到相等的东西上，则整体相等。†
如果从相等的东西中减去相等的东西，则余数相等。†
与彼此重合的东西彼此相等。
整体大于部分。

† 作为 C.N.s 2 & 3 的一个明显扩展——如果在不等式的两边加上或减去相等的值，不等式仍然成立。

Σ 是求和符号，告诉读者要使用的第一个数字位于求和符号的下方。数学中使用的小写字母 "n" 指的是一个自然正数，其值未指定。大写 $\mathbb {N}$ 用于表示自然数集，例如 $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$ .

求和符号右边的括号表示奇数的表达式

(2x-1)

您可以通过将求和符号下给出的 $x$ 的起始值输入，然后完成计算来确认这一点。不断将 $x$ 的值增加 1。

练习

以下是逻辑的简单陈述，它们有一个主要前提，然后由一个次要前提进一步阐明，结论要么是肯定的，要么是否定的。答案必须包含前提的主题。

1) 所有蔬菜对您有益。西兰花是一种蔬菜。因此，西兰花对您有益。 这是哪种推理类型的例子？

2) 西兰花是一种蔬菜。西兰花是绿色的。因此，所有蔬菜都是绿色的。 为什么这个结论无效？

3) 浆果是甜的。浆果是水果。因此，所有水果都是甜的。 为什么这个结论无效？

4) 如果 x 的所有部分都是正数，而 y 是 x 的一部分，那么 y 是正数。 这是什么类型的推理？

示例

 Group A     
    (D is negative)  
    (B is negative)            
    (E is positive)  
    (C is positive)                  
    (F is positive)

仅仅因为 D 为负，并且是 A 组的一部分，并不意味着 A 组的所有部分都是负数。

 Group Z  [ = 5 ]
    (Y is 5)
    (X is 5)
    (W is 5)
    (V is 5)
    (U is 5)

由于 Z 组的所有部分都等于 5，因此您可以说 Y=W，W=U，U=X，X=V，并且 V=Y 等。

因为您知道 Z 组的所有部分都等于同一个值，因此您可以说，因为 T = 5，它就是 Z 组的一部分。

第 1.3 节 - 未定义术语

在几何学中，有三个未定义的术语：点、线和平面。尽管几何学中的大多数术语都是基于先前定义的术语来定义的，但不可能以这种方式定义每个几何术语。第一个几何术语不能基于先前定义的术语来定义。

虽然我们不能正式定义这三个术语，但我们可以非正式地描述它们。我们还使用这些术语来帮助我们编写其他术语的定义，例如线段或射线。没有公理说明线是直线。这意味着线的定义取决于您正在学习的理论。因此，在双曲几何中，线看起来不像欧几里得几何中的线，因为它们的定义不同。

在欧几里得几何中，点被认为没有宽度、高度或厚度。现在想象一下拿起一支非常锋利的铅笔，在一张纸上点一个点。现在想象一下用放大镜观察它，这个点会很大，我们就能看到它有高度和宽度。点不是一个点，因为点既没有高度也没有宽度，但我们可以想象在点的正中间有一个点。休谟在他的《人性论》中使用它来证明公理和公设不是先验的，而是人类理解的产物，因此是后验的。

在摆脱了非定义之后，让我们看看这些东西是如何工作的。点通常用一张纸上的一个点来表示。点很有用，因为它告诉我们某样东西的确切位置，然后我们可以从这些信息中构建观察结果、猜想和规则。例如，我们可以说两点决定一条直线。这意味着一旦知道两点的位置，就知道包含这两点的直线的位置。请注意，如果您只知道一个点的位置，那么可以包含该点的直线数量是无限的，如果您知道三个点的位置，那么很有可能没有一条直线可以包含所有三个点。

在欧几里得几何中，线被认为有长度，但没有宽度或高度。线是如此，线上的任意两点描述了这两点之间的最短距离。线在两个方向上也永远延伸。想象一根绳子，抓住两端并拉紧。绳子表示两端之间的最短距离。但请记住，线没有任何宽度或高度。在放大镜下，我们看到绳子有宽度。一根拉紧的绳子不是一条线，因为线没有宽度，但我们可以想象线在绳子的正中间。

现在，当我们在几何中谈论线时，我们通常是指上面描述的直线，但在欧几里得几何中还有其他线，称为曲线。曲线不是直线。圆的周长就是一个曲线示例。（我们将在教学大纲的后面讨论圆形）。

好了，我们已经讨论了线，那么它们是如何表现的呢？我们通常用一支尺子将点连接起来并将它延伸到点之外，然后在一张纸上画线来表示线。我们可以取线的片段并将其称为线段，我们可以使两条线相交，得到一个点（它们相交的地方）和一些角。我们还可以选择通过在一个点处将其切断来忽略线的一半，并将我们剩下的部分称为射线。

平面有两个维度：宽度和长度。这两个维度都是无限的，并且由于只有两个维度，所以平面是完全平坦且无限薄的，这意味着它没有厚度维度。正因为如此，平面实际上没有顶部或底部，因为顶部上的任何东西都在底部。如果您取两个平面并使它们相交，您将得到一条线（稍后会详细介绍），如果您取三个点，这些点不在同一条线上，那么只有一条平面可以包含所有三个点（稍后也会详细介绍）。平面很有用，因为平面可以容纳几何学使用的所有二维（平面）形状。我们通常将一张纸（或电脑屏幕）的一面视为平面的一个部分。虽然这并不完全正确，但与点和线的表示一样，这很有用。