几何/SMSG 欧几里得几何公理

SMSG 公理

未定义术语

点
直线（为简单起见，称为“线”）
平面

公理 1.（线唯一性）给定任何两个不同的点，只有一条线包含它们。
公理 2.（距离公理）对于每对不同的点，都对应一个唯一的正数。
公理 3.（尺子公理）一条线上的点可以与实数建立对应关系，使得
1. 对于线的每个点，都对应一个唯一的实数，称为该点的坐标。
2. 对于每个实数，都对应线的唯一一个点，并且
3. 两点之间的距离是对应坐标差的绝对值。
公理 4.（尺子放置公理）给定一条线上的任意两点 $P$ 和 $Q$，坐标系可以选择使得 $P$ 的坐标为零，$Q$ 的坐标为正。
公理 5.（点存在）(a) 每个平面至少包含三个不共线的点。 (b) 空间至少包含四个不共面的点。
公理 6.（点）如果两个点在一个平面上，那么包含这两个点的整条直线都在同一个平面上。
公理 7.（平面唯一性）至少存在一个包含三个点的平面，且只有一个包含三个不共线的点的平面。
公理 8.（平面交集）如果两个不同的平面相交，那么它们的交集是一条直线。
公理 9.（平面分离公理）给定一条直线和一个包含它的平面，平面中不在直线上的点形成两个集合，使得
1. 每个集合都是凸的，并且
2. 如果 P 在一个集合中，Q 在另一个集合中，那么线段 ${\overline {PQ}}$ 与直线相交。
公理 10.（空间分离公理）不在给定平面上的空间点形成两个集合，使得
1. 每个集合都是凸的，并且
2. 如果 P 在一个集合中，Q 在另一个集合中，那么线段 ${\overline {PQ}}$ 与平面相交。
公理 11.（角测量公理）对于每个角，都对应一个 0° 到 180° 之间的实数。
公理 12.（角构造公理）设 ${\overrightarrow {AB}}$ 是半平面 $H$ 边缘上的射线。对于 0 到 180 之间的每个 $r$，都只有一条射线 ${\overrightarrow {AP}}$ 使得 P 在 H 中，且 $m\angle PAB=r$ .
公理 13.（角加法公理）如果 D 是 $m\angle BAC$ 的内部一点，那么 $m\angle BAC = m\angle BAD + m\angle DAC$.}
公理 14.（互补公理）如果两个角构成一个线性对，那么它们是互补的。
公理 15.（边角边公理）给定两个三角形（或三角形与自身的）之间的一一对应关系，如果第一个三角形的两条边和夹角与第二个三角形对应部分全等，那么该对应关系就是全等关系。
公理 16.（平行公理）过给定外部点，最多只有一条直线平行于给定直线。
公理 17. 对于每个多边形区域，都对应一个唯一的正实数，称为它的面积。
公理 18. 如果两个三角形全等，那么三角形区域具有相同的面积。
公理 19. 假设区域 $R$ 是两个区域 $R_1$ 和 $R_2$ 的并集。如果 $R_1$ 和 $R_2$ 至多在有限条线段和点上相交，那么 $R$ 的面积是 $R_1$ 和 $R_2$ 面积的和。
公理 20. 矩形的面积等于底边长度和高的乘积。
公理 21. 长方体的体积等于高乘以底面积的乘积。
公理 22.（卡瓦列里原理）给定两个立体和一个平面，如果对于每个与给定平面平行的，并且与立体相交的平面，这两个交集所确定的区域具有相同的面积，那么这两个立体具有相同的体积。