跳转到内容

几何/第 6 章

Add links
来自维基教科书，开放世界中的开放书籍

三角形不等式

[编辑 | 编辑源代码]

三角形不等式 指出三角形中任意两边的长度之和必须大于第三边的长度。

例如，如果你有一个边长为 A、B 和 C 的三角形。那么你知道

  • A + B > C
  • A + C > B
  • C + B > A

在欧几里得几何中，不可能画出一个违反三角形不等式的三角形。

使用三角形不等式

[编辑 | 编辑源代码]

三角形不等式可以用来求三角形边长。例如，假设你有一个边标记为 A、B 和 C 的三角形。如果你知道 A = 7，B = 5，那么你可以通过以下步骤计算 C 的近似值

语句原因
7 + 5 > C三角形不等式
12 > C加法的定义
C < 12小于的定义


所以我们知道三角形的第三边小于 12，但这对我们帮助不大。事实证明，三角形不等式可以再次帮助我们。

语句原因
C + 5 > 7三角形不等式
C > 7 - 5减法的定义
C > 2减法的定义


在这种情况下，C 可以取值的范围。C 必须大于 2 且小于 12。2 < C < 12。

因此，事实证明任何三角形的第三边的度量都落在了其他两边之和与差之间。示例：如果两边是 9 和 6，那么剩余边的度量将在 15（9 和 6 的和）和 3（9 和 6 的差）之间。这将导致以下不等式：3 < c < 15。

有很多三角形可以满足我们的条件。

练习

[编辑 | 编辑源代码]

1) 尝试画一个违反三角形不等式的三角形。

2) 对于以下每一组 A、B 和 C，请说明这 3 个长度是否可以作为三角形的边。

  • A = 3，B = 4，C = 5
  • A = 3，B = 8，C = 5
  • A = 14，B = 5，C = 8
  • A = 5，B = 5，C = 5

3) 假设你有一个边长为 12 和 2 的三角形，写一个证明，说明第三边可以取值的范围。使用上面所示的两栏格式。

三角形不等式定理

[编辑 | 编辑源代码]

在任何三角形中，最长边与最大角相对，中等长度的边与中等度量的角相对，最短边与最小角相对。

示例问题在三角形 ABC 中，如果角 A 为 100 度，角 B 为 35 度，角 C 为 45 度，那么从最长到最短的边长是多少？

答案

       Since side BC is opposite the largest angle, it is the largest side.
       Since side AB is opposite the middle sized angle, it is the middle sized side.
       Since side AC is opposite the smallest angle, so it is the smallest side.

两个三角形中的三角形不等式：铰链定理或 SAS 不等式定理

[编辑 | 编辑源代码]

如果一个三角形的两边与第二个三角形的两边全等，并且第一个三角形中这两边之间的角大于第二个三角形中这两边之间的角，那么第一个三角形的第三边大于第二个三角形的第三边。

        Example: If triangles ABC and DEF have sides AB = DE and 
        AC = DF and m<A = 80 degrees and m<D = 70 then BC > EF.

两个三角形中的三角形不等式：铰链定理的逆定理或 SSS 不等式定理

[编辑 | 编辑源代码]

如果一个三角形的两边与第二个三角形的两边全等，并且第一个三角形中这两角之间的边大于第二个三角形中这两角之间的边，那么第一个三角形的第三个角大于第二个三角形的第三个角。

      Example: If triangles ABC and DEF have the sides 
        AB = DE BC = EF and AC > DF then, angleB > angleE.
取自 “https://wikibooks.cn/w/index.php?title=Geometry/Chapter_6&oldid=4431645”
华夏公益教科书