几何/第 3 章

几何/第 3 章 讨论逻辑论证。

符号逻辑

如果-那么语句 或 条件语句 是指一个事物暗示另一个事物，但不一定反过来。例如，如果电力供应中断，那么你就无法使用你的电脑。（当给出像这样的前提时，始终假设它们是真实的——方便地忽略你的电脑可能是一个有电池的笔记本电脑这一事实）。然而，如果你无法使用你的电脑，并不一定意味着电力供应中断。它只意味着电力供应可能中断了。

但如果你的电脑是可用的呢？那么我们知道有电力——毕竟，如果没有，你将无法使用电脑。这被称为逆否命题。逆否命题 是通过将一个如果-那么语句颠倒过来并否定两部分而形成的，并且在原始语句为真的情况下始终为真。

为了在数学层面上理解逆否命题，你需要了解蕴含。蕴含是一种用 if-then 语句来表达一个事物暗示另一个事物的方式。它用箭头表示，这里排版为“→”。使用此箭头的语句称为条件语句，因为第二个值的真假取决于第一个值的真假。没有电蕴含无法使用你的电脑。蕴含语句只有在第一个条件为真而第二个条件为假时才为假。如果两者都为真，它就成立。如果第一个条件为假，则无论第二个条件是什么，该语句都被认为是真假不定。

你可能还会注意到，两个条件都被否定了。否定用于表明一个条件不为真（也称为假），并在变量前面用“~” (波浪线) 符号表示。一个给定条件是真还是假被称为它的真值。请注意，用变量表示的条件不能同时为真和假。任何总是错误的被称为谬误。总是正确的被称为重言式。因此，没有电蕴含无法使用你的电脑在符号逻辑中转化为 ~E → ~C。符号逻辑 是一种使用变量来表示条件并使用符号来表示条件之间关系的逻辑系统。现在我们已经将我们的条件语句转换为符号逻辑，很容易看出逆否命题是 C → E。

你可能还会注意到，你可以用其他方法重新排列变量和波浪线（“非”符号）。一种方法是取原始表达式并将两边都否定，就像你对方程一样。请注意，否定一个已经否定的变量会导致“非”符号的移除。这将给你 E → C。这被称为逆命题；它颠倒了原始语句的真值。你也可以将两边都颠倒过来，而不像在逆否命题中那样否定它们。这将给你 ~C → ~E。这被称为否命题；它将值颠倒过来。很容易看出它们是彼此的逆否命题，但它们与原始语句相同吗？不。这将通过真值表来证明。真值表 是一个表格，它考虑了所有变量的所有可能值（真或假），然后给出关于一个语句是真还是假的结果，前提是变量具有特定的值。

首先，让我们以表格形式回顾条件语句的性质。我们将使用的真值表将使用“F”表示假真值，使用“T”表示真真值。我们还将使用泛型条件语句 p → q。

**逻辑蕴含**
p	q	p → q
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

现在让我们看看原始语句、逆命题、否命题和逆否命题的真值表。为了清晰起见，我们将包含两个变量的否定形式。

**条件语句、逆命题、否命题和逆否命题**
p	~p	q	~q	p → q	~p → ~q	q → p	~q → ~p
F	T	F	T	T	T	T	T
F	T	T	F	T	F	F	T
T	F	F	T	F	T	T	F
T	F	T	F	T	T	T	T

由于原始语句和逆否命题在所有行中的真值都相同，因此它们被证明是相等的。同样适用于逆命题和否命题，它们彼此相等，但与另外两个不同。真值表是证明概念的一种方法，也是在符号逻辑中证明事物的唯一方法（尽管你并不总是需要写出全部内容）。但是请注意，如果我们知道 p 和 q 具有相同的真值（哪个值无关紧要），那么原始语句/逆否命题和逆命题/否命题都是真的。也就是说，p → q 和 q → p。这可以简化为双条件语句。双条件语句 是指一个条件语句及其否命题都是真的，它可以写成 p ↔ q。如果你知道一个双条件语句是正确的，你也可以使用进入它的一个或两个条件语句。真值表是证明概念的一种方法，也是在符号逻辑中证明事物的唯一方法。

我们刚刚完成了第一个证明。在数学中，证明使用逻辑而不是观察来明确地表明某件事总是正确的。（你也可以证明某件事是不可能的，这仍然被认为是证明）。被证明是错误的东西被称为“反驳”。这通常发生在某人发现一个反例时，即发现了一个例外，公式不成立或不工作。数学界对证明的要求非常高，但任何被证明的东西都被认为是毫无疑问的。任何被证明的东西都被认为是定理，并且可以用于证明其他定理。任何没有被证明的东西被称为猜想。